看《实用极值统计方法》--史道济所得。

前言

什么是极值?从概率意义上讲，极值表示随机变量的极端变异性；从统计意义上讲，极值是指数据集中的最大值或最小值。

极值统计方法？在大多数应用中，观测数据所服从的分布是未知的。因此只能得到极值的渐进分布。极值统计方法是为观测到的基于某个样本的极值建立一个概念模型，但必须具备某些条件：①观测对象是随机变量；②其分布保持不变，或其变化可通过某些变换减少其影响；③观测到的极值是独立的。

正文：

1、设是独立同分布的随机变量，分布函数为F(x)(称为底分布），对自然数n，令，分别表示n个随机变量的最大值和最小值。

理解：这里的最大值/最小值是变量，而不是定值，即在本独立分布中的n个随机变量中最大值/最小值的分布函数如上式所述。

但是，在通常情况下，是未知的，所以我们需要研究最大值/最小值的极限分布。

2、概念介绍：，

称A为分布F的支撑，和分别为分布F支撑的上端与下端。

理解：A是使取值（0，1）的x的集合，而上端是集合中x的最大取值，下端为集合中x的最小取值。

3、（Fisher-Tippett的极限类型定理）设是独立同分布的随机变量序列，如果存在常数列和，使得

   （规范化处理，和为规范化常数）

成立，为非退化的分布函数，那么必然属于下列三种类型之一：

Ⅰ型分布：    称为Gumbel分布，其密度函数为

其分布函数如下图所示：

其密度函数如下图所示：

 

Ⅱ型分布：        称为Frechet分布，时为标准Frechet分布，其密度函数为

其分布函数如下图所示：

其密度函数如下图所示：

Ⅲ型分布：    称为Weibull分布，时为标准Weibull分布，其密度函数为

其分布函数如下图所示：

其密度函数如下图所示：

 

此定理说明，当经过线性变换，对应的规范化变量依分布收敛于某一非退化分布，那么不论是什么形式，这个极限分布必然属于上述三种类型之一。从数学角度来讲，这三个模型可以互相转化，因此在某些场合，为方便起见，可以任意假设某一类型。

理解：退化的分布函数是指分布中的参数取特殊情况，使分布式变得更加简单。

4、对于给定的分布函数，如果存在序列，，使得，则称分布函数是最大值稳定的。易证：对于极值Ⅰ型分布取值为：；对于极值Ⅱ型分布取值为：；对于极值Ⅲ型分布取值为：。

进一步结论：如果一个分布函数是最大值稳定分布，那么该分布是三种分布之一。

5、如果引进位置参数和尺度参数，那么三种类型的分布分别为：

   ，  

   ，   

，    

这三个分布分别代表三种不同的极值行为，但是可以用统一的形式

表示，其中，为广义极值分布简称GEV分布，为形状参数。

易证：

当时，分布表示Ⅰ型分布；

当时，，分布表示Ⅱ型分布；

当时，，分布表示Ⅲ型分布。Ⅱ、Ⅲ型分布的位置参数和尺度参数进行适当变换。

6、极值分布的数字特征

称函数

为Gamma函数。它具有如下性质：

（1）；（2）

（3）（其中n为正整数）（此处的正确标志在CSDN中找不到，，，，）

若随机变量X的密度函数为，定义它的k阶原点矩为

当k=1时，表示随机变量的数学期望。

k阶中心距为，随机变量X的方差为

分别称，为偏度系数和峰度系数。

理解：偏度系数：指分布函数偏斜方向和程度的度量。

峰度系数：反映概率密度分布曲线在平均值处峰值高低的特征，形象来说就是峰部的尖度。

7、极限分布的分位数

设是定义在上的不减函数，称

 

（按照惯例，空集的下确界是）为函数的广义反函数。（inf为下确界，指任意数集E的最大下界）

称分布函数的广义反函数

为它的分位数函数，称为的分位数。

一般分布函数在其支撑上都是单调连续的，其广义反函数即普通的反函数，即。

理解：此处分位数即为该分布中超过的值发生的概率小于p的最小值（例如，2分位数）。