响应的分类和求解方法

一.初始值和初始状态

初始值：$t=0_{+}$时的响应的值，即$y(0_{+})$。

初始状态：$t=0_{-}$时的响应的值，即$y(0_{-})$。

二者的关系：初始值是我们解微分方程所需要带入的值，我们通过初始状态求解得出初始值。

二.微分方程的求解方法

①微分方程的全解为：齐次解+特解。

②齐次解的求解方法：根据特征方程求出特征根，进而求出齐次解。

③特解的求解方法：根据激励函数的形式设特解并带入特征方程。

全解得到以后带入初始值，求系数，则求解完成。

部分特解和齐次解的常用函数形式如下表

三.分类

1.零输入响应和零状态响应

零输入响应：

①定义：输入为零时，系统的响应，即仅由系统初始状态所引起的响应。

②初始值：$y_{zi}^{(i)}(0_{+})=y_{zi}^{(i)}(0_{-})=y^{(i)}(0_{-})$，其中最后一项一般是题中给出的条件。该式子还说明了零输入响应不会在零时刻发生跃变。

③解法：1.解出齐次解 2.带入初始值

④解的形式：零输入响应 = 齐次解1

零状态响应

①定义：系统初始状态为0时，系统的响应，即仅由输入产生的响应

②初始值：

1.方程右边不含$\delta$函数时：$y_{zs}^{(i)}=0$

2.方程右边含$\delta$函数时：用系数匹配法求解

注：系数匹配法简单来说就是在方程两边进行积分，积分限为$(0_{-},0_{+})$。结论为：仅在$y(t)$的次高阶处产生跃变，次高阶的初始值不为0。

③解法：1.解出齐次解 2.根据激励形式设定特解，带入方程求出特解 3.带入初始值，得出待定系数

④解的形式：零状态响应 = 齐次解2 + 特解

2.固有响应和强迫响应

固有响应（自由响应）

①定义：固有响应是仅与系统本身特性有关，而与激励无关的响应。齐次解对应的就是固有响应。

②解法：一般是把全响应求出之后再判断。

强迫响应

①定义：强迫响应与激励的函数形式有关。特解所对应的就是强迫响应

②解法：一般是把全响应求出之后再判断。

3.暂态响应和稳态响应

暂态响应

①定义：暂态响应是响应中暂时出现的分量。$t\to \infty 时，y\to 0$

②解法：一般是把全响应求出之后再判断。

稳态响应

①定义：稳态响应是响应中稳定的分量

②解法：一般是把全响应求出之后再判断。

4.冲激响应和阶跃响应

①冲激响应：由单位阶跃函数$\delta (t)$所引起的零状态响应，记为$h(t)$。

②阶跃响应：由单位阶跃信号$u(t)$所引起的零状态响应，记为$g(t)$。

③$h(t)=\frac{dg(t)}{dt}$ $g(t)={\int }_{-\infty }^{t}h(\tau )d\tau$

四.总结

①求解系统响应时我们一般从全响应 = 零状态响应 + 零输入相应入手。

②固有响应 （自由响应）= 零状态响应（齐次解1）+零输入响应的齐次解部分（齐次解2）

③强迫响应 = 零输入响应的特解部分

五.例题