【算法】高精度计算π(pi)值

😀大家好，我是白晨，一个不是很能熬夜😫，但是也想日更的人✈。如果喜欢这篇文章，点个赞👍，关注一下👀白晨吧！你的支持就是我最大的动力！💪💪💪文章目录📔前言📕1.公式选择📗2.实现难点解析📘3.代码实现📙后记📔前言π 一直是一个备受数学界青睐的数字。从古至今，无数的学者都在努力探求着 π 精确值。

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白晨并不是很能熬夜

9368人浏览 · 2022-03-21 09:13:34

白晨并不是很能熬夜 · 2022-03-21 09:13:34 发布

😀大家好，我是白晨，一个不是很能熬夜😫，但是也想日更的人✈。如果喜欢这篇文章，点个赞👍，关注一下👀白晨吧！你的支持就是我最大的动力！💪💪💪

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📔前言

$π$ 一直是一个备受数学界青睐的数字。从古至今，无数的学者都在努力探求着 $π$ 精确值。🤼‍♂️从祖冲之到欧拉，📖从圣经到《数理精蕴》，从东至西，历经几千年的发展，特别是在计算机发明之后，对于 $π$ 的求解可以说是一日千里，现在计算到几十亿位以后已经不值得惊讶。

🧐这篇文章，白晨想带大家去了解利用计算机求解 $π$ 的一种方法，其中涉及到 C++，链表，大数四则运算等知识点。我会尽可能详细的讲解每一个难点的实现。

题目参考：

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这次我们的最低目标是在3000ms的限制内，实现计算 $π$ 到小数点后500位。

📕1.公式选择

首先，如果不清楚如何计算 $π$ 的同学可以先参考下面的文章，有助于理解下面的公式选择。

π 是怎么算出来的？

相信大家看完后已经对 $π$ 的求法有一定的认识了，所以这里给出几个关于 $π$ 的几个公式：

在这里插入图片描述

我们这里选择第三个公式，为什么呢？

当然是因为第三个公式是题目给出的反正切函数的幂次展开式啦（bushi）

其实是因为第三个公式是线性收敛，平均每计算一次就会得到0.3个有效数字，相比于第四个 $a r c t a n x$ 泰勒展开公式（莱布尼茨公式）来说，效率上会高出很多，而且最重要的一点是它比较容易实现，递推公式如下：

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将其展开就是第三个公式，大家可以对比着看。

关于 $a r c t a n x$ 泰勒展开计算 $π$ 可以参考此篇文章：π的计算

反正切函数的幂次展开式的推导具体过程：

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📗2.实现难点解析

关于大数实现：

这里我们选择 C++ 模板中的 list 类来实现（也可以使用string类等，只要可以进行大数四则运算就可以，这里为了符合题意使用链表），由于 $π$ 的整数部分为3，所以我们只需要一位来存储整数部分，也即front存储整数部分，其余小数点以后的位顺次向后连接。

我们的核心目标是要实现：

在这里插入图片描述

我们将上面的任务拆开，分解成一个个独立的任务

$R (n) * n$

这里我们选择模拟竖式乘法：

从链表尾结点开始，每个结点的数乘n。
结点中只能存放个位数，所以当乘得结果大于等于10，需要保存进位。
每次计算乘法时，还需要加上前一个数的进位。
循环上述过程，直到头节点。

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$R (n) * n / （ 2 * n + 1 ）$

这里我们选择模拟竖式除法：

用上面乘法得到的结果除以(2n + 1)。
除法与乘法相反，我们要从头节点开始除法。
每一位除以(2n + 1)得到的结果就是：(此节点的值 + 上一个结点的余数*10) /(2n + 1)。
再保存这个结点除以(2n + 1)后所得的余数。
循环上述过程，直到尾节点

此处不再演示，大家可以类比乘法动手模拟一下，其实非常相似，代码也很相似。

$S u m (n + 1) = S u m (n) + R (n + 1)$

这就是递推公式的最后一步，将上面计算得到的 $R (n + 1)$ 加到 $S u m (n)$ 上，这其实就是一个大数加法的问题，我们选择模拟竖式加法：

从最低位开始， $R (n + 1)$ 与 $S u m (n)$ 对应的位相加。
相加得到的值如果大于等于10，需要进位。
对应位相加得到的结果需要加上进位
循环上述过程，直到头节点

此过程与乘法非常相近，在后面的代码实现中我们可以看出。

关于链表结点个数

链表结点数代表着小数点后的位数，所以当然是结点越多越精确，但是结点数太多会影响性能。如果我们要实现500位的精确值，我的建议是创建550~600个结点即可。

关于要迭代的次数

这里有两种根据所求精度估算大致的迭代的次数的方法：

估算精度

int count(int n) 
{
	int i = 1;
	double sum = 0;
	int a, b;
	while(1)
	{
		a = 2 * i + 1;
		b = i;
		sum = sum + log10(a / b);
		i++;
		if (sum > n + 1) {
			return i;
		}
	}
}

参考文章：数据结构实验1.2—高精度计算PI值（西工大）

估算有效数字

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int count(int n)
{
	double ret = (double)n;
	return (int)(ret / 0.3);
}

参考文章：目前求 π 的算法中哪种收敛最快？

以上两种方法都可以使用，根据我在release发布版本的测试下，两种方法没有数量级的差别，所以使用哪一种都可以。

注：如果要提升精度，必须也增大结点个数，不能只增加迭代次数

测试结果：

方法一：

方法二：

📘3.代码实现

#include <time.h>
#include <iostream>
#include <list>
#include<math.h>
using namespace std;

// 估测要计算的次数
// 方法一：
int count(int n) 
{
	int i = 1;
	double sum = 0;
	int a, b;
	while(1)
	{
		a = 2 * i + 1;
		b = i;
		sum = sum + log10(a / b);
		i++;
		if (sum > n + 1) {
			return i;
		}
	}
}

// 方法二：
int count(int n)
{
	double ret = (double)n;
	return (int)(ret / 0.3);
}

int main()
{
// 定义我们需要多少个结点
#define NODE_NUM 550
	list<int> num(NODE_NUM, 0);// 存放R(n)
	list<int> sum(NODE_NUM, 0);// 存放Sum(n)
	int print;// 所需精度
	cin >> print;
	int cnt = count(print);// 所需迭代次数
    
	// 我们直接将 R(1) 初始化为2，这样就可以免去后面再统一乘2
	num.front() = 2;
	sum.front() = 2;
	
	// 这里循环的 i 就是 n 
	for (int i = 1; i <= cnt; ++i)
	{			
		int ret = 0;// 记录进位，补位情况

	 // 计算R(n + 1)
	
		// 计算 R(n) * n
		for (list<int>::reverse_iterator cur1 = num.rbegin(); cur1 != num.rend(); cur1++)
		{
            // 每一位都是本位乘i，再加上进位
			int val = *cur1 * i + ret;
            // 保存进位
			ret = val / 10;
            // 保存本位
			*cur1 = val % 10;
		}

		ret = 0;
		// 计算 R(n) * n / (2n + 1)
		for (list<int>::iterator cur1 = num.begin(); cur1 != num.end(); cur1++)
		{
            // 除数
			int div = (i << 1) + 1;
            // 加上前一位的余数
			int val = *cur1 + ret * 10;
            // 除法，保存本位
			*cur1 = val / div;
            // 保存余数
			ret = val - *cur1 * div;
		}

		ret = 0;
		// 计算 sum += R(n + 1)
		for (auto cur2 = sum.rbegin(), cur1 = num.rbegin(); cur2 != sum.rend(); cur2++, cur1++)
		{
            // 大数加法
			int val = *cur1 + *cur2 + ret;
			*cur2 = val % 10;
			ret = val / 10;
		}
	
	}
	// 打印
	cout << sum.front() << '.';
	list<int>::iterator it = sum.begin();
	it++;

	int i = 0;
	while (i < print)
	{
		cout << *it;
		it++;
		i++;
	}
	
	return 0;
}