导数的两大特性：

1. 导数的介值性（达布定理）。
2. 导数无第一类间断点。

1. 达布定理（导数介值定理）

若函数 $f$ 在 [a,b] 上可导，且 $f_{+}^{\prime }(a)\ne f_{-}^{\prime }(b)$，$k$ 为介于 $f_{+}^{\prime }(a),f_{-}^{\prime }(b)$ 之间的任一实数，则至少存在一点 $\xi \in (a,b)$，使得 $f^{\prime }(\xi )=k$。

证明：设 $F(x)=f(x)-kx$，由于f 可导，则 $F(x)$ 在 [a,b] 上可导。且由于 $k$ 为介于 $f_{+}^{\prime }(a),f_{-}^{\prime }(b)$ 之间的一实数，所以 $F_{+}^{\prime }(a)\cdot F_{-}^{\prime }(b)=[f_{+}^{\prime }(a)-k]\cdot [f_{-}^{\prime }(b)-k]<0$。

不妨设 $F_{+}^{\prime }(a)>0,F_{-}^{\prime }(b)<0$，于是

$$\begin{gathered} F_{+}^{\prime }(a)=\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{F(x)-F(a)}{x-a}>0 \\ {F}_{-}^{\prime }(b)=\underset{x\to b^{-}}{\lim }\frac{F(x)-F(b)}{x-b}<0 \end{gathered}$$

根据极限的保号性，$\exists {\delta }_1>0$，对 $\forall x\in (a,a+{\delta }_1)$，有
$$\frac{F(x)-F(a)}{x-a}>0，可得F(x)>F(a)$$
同理，$\exists {\delta }_2>0$，对 $\forall x\in (b-{\delta }_2,b)$ ，有
$$\frac{F(x)-F(b)}{x-b}<0，即F(x)>F(b)$$

因为 $F$ 在 [a,b] 上可导，则 $F$ 在 [a,b] 上连续，根据最大最小值定理，存在一点 $\xi \in [a,b]$，使得 $F$ 在 $\xi$ 取得最大值，由$F(x)>F(a)(x\in (a,a+{\delta }_1)，F(x)>F(b)(x\in (b-{\delta }_2,b)$ 可知 $\xi \ne a,b$，由费马引理得 $F^{\prime }(\xi )=0$，即 $f^{\prime }(\xi )=k,\xi \in (a,b)$。

证法二：

不妨设 $f_{+}^{\prime }(a)<f_{-}^{\prime }(b)$，对于任意介于 $f_{+}^{\prime }(a),f_{-}^{\prime }(b)$ 的实数 $k$ 有：$f_{+}^{\prime }(a)<k<f_{-}^{\prime }(b)$

构造函数 $F(x)=f(x)-kx$，若F(a) = F(b)，则由罗尔定理，存在 $\xi \in (a,b)$ 使 $F^{\prime }(\xi )=0$。

若 $F(a)<F(b)$，又 $F_{+}^{\prime }(a)=f_{+}^{\prime }(a)-k<0$ 由极限保号性，存在 $\chi \in (a,b)$ 使 $F(\chi )<F(a)$。从而 $F(\chi )<F(a)<F(b)$。

由介值定理知存在 $\zeta \in (\chi ,b)$，使$F(\zeta )=F(a)$.

又由罗尔中值定理，存在 $\xi \in (a,\zeta )$，使 $F^{\prime }(\xi )=0$。

若 $F(a)>F(b)$，又 $F_{-}^{\prime }(b)=f_{+}^{\prime }(b)-k>0$ 由极限保号性，存在 $\chi \in (a,b)$ 使$F(\chi )<F(b)$。从而 $F(\chi )<F(b)<F(a)$。

由介值定理知存在 $\zeta \in (a,\chi )$，使$F(\zeta )=F(b)$.

又由罗尔中值定理，存在 $\xi \in (\zeta ,b)$，使 $F^{\prime }(\xi )=0$。

所以总存在 $x\in (a,b)$，使 $F^{\prime }(x)=0$ 即 $f^{\prime }(x)=k$。

2. 导函数的零点定理：其实和达布定理是等价的，可以等同

设 $f(x)$ 在 [a,b] 上可导，证明当$f_{+}^{\prime }(a)\cdot f_{-}^{\prime }(b)<0$时，存在 $\xi \in (a,b)$，使得 $f^{\prime }(\xi )=0$。

证法一：由达布定理，对于任意介于$f_{+}^{\prime }(a)$和$f_{-}^{\prime }(b)$之间的值，都存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $f^{\prime }(\xi )=k$，显然，0 介于$f_{+}^{\prime }(a)$和$f_{-}^{\prime }(b)$之间（$f_{+}^{\prime }(a)\cdot f_{-}^{\prime }(b)<0$），所以存在$\xi \in (a,b)$ 使得 $f^{\prime }(\xi )=0$.

证法二：不妨设 $f_{+}^{\prime }(a)>0,f_{-}^{\prime }(b)<0$，于是
$$\begin{gathered} f_{+}^{\prime }(a)=\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}>0\Rightarrow \exists {\delta }_1>0，对\forall x\in (a,a+{\delta }_1)，f(x)>f(a) \\ {f}_{-}^{\prime }(b)=\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(b)}{x-b}<0\Rightarrow \exists {\delta }_1>0，对\forall x\in (b-{\delta }_2,b)，f(x)>f(b) \end{gathered}$$

因为 $f(x)$在 [a,b] 上可导，所以 $f(x)在[a,b]$ 上连续，根据最大最小值定理，存在一点 $\xi \in [a,b]$，使 $f$ 在该点取得最大值，又由$f(x)>f(a)(x\in (a,a+{\delta }_1),f(x)>f(b)(x\in (b-{\delta }_2,b)$可知 $\xi \ne a,\xi \ne b$，则 存在 $\xi \in (a,b)$，$f^{\prime }(\xi )=0$。

对于闭区间上连续函数的零点定理（即根的存在性定理），不必要求 $f^{\prime }(x)$连续，只需要原函数在[a,b]可导。

推论：设函数$f(x)$在区间 $I$ 可导，且对任意 $x\in I$，满足 $f^{\prime }(x)\ne 0$，那么 $f(x)$在区间 $I$ 上严格单调。

证明：若对 $\forall x\in I,f^{\prime }(x)\ne 0\Rightarrow f^{\prime }(x)$保号（恒正或恒负）
反证法，如若不然，即f(x)既有负值又有正值，则由导数零点定理，必$\exists \xi \in I$，使得 $f^{\prime }(\xi )=0$，从而 $f$ 在 $I$ 上严格单调。

推论2：$f$ 在区间$I$ 上满足 $f^{\prime }(x)\ne 0\Rightarrow f^{\prime }(x)$保号（恒正或恒负）$\Rightarrow f$ 在 $I$ 上严格单调 $\Rightarrow f$在 $I$ 上必有反函数。

3. 导数无第一类间断点

设 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内处处有导数 $f^{\prime }(x)$，则 $(a,b)$ 中的点或者为 $f^{\prime }(x)$ 的连续点，或者为 $f^{\prime }(x)$ 的第二类间断点。

证明：因为 $f(x)$ 在 (a,b) 内处处可导，所以 $\forall x_0\in (a,b)$：
$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x_0)=f_{+}^{\prime }(x_0)& =\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\\ & =\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }\frac{f^{\prime }(\xi )(x-x_0)}{x-x_0}(拉格朗日中值定理）\\ & =\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }{f}^{\prime }(\xi )(x_0<\xi <x)\end{array}$$

若 $f^{\prime }(x)$ 在 $x_0$ 处有右极限，不妨设为 k，即
$$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }{f}^{\prime }(x)=f^{\prime }(x_0+0)=k$$
由右极限的定义，有：对 $\forall ϵ,\exists \delta >0$，当 $x_0<x<x_0+\delta$ 时，有 $|f^{\prime }(x)-k|<ϵ$。

而又因为 $x_0<\xi <x<x_0+\delta$，从而有 $|f^{\prime }(\xi )-k|<ϵ$，

又因为 $f^{\prime }(\xi )=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$（拉格朗日中值定理），

从而有 $|\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-k|<ϵ$

故当 $x_0<x<x_0+\delta$ 时，有 $|\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}|<ϵ$ 成立， 即
$$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=k$$

则有 $f^{\prime }(x_0)=f_{+}^{\prime }(x_0)=k=f^{\prime }(x_0+0)$

同理可证，若 $f^{\prime }(x)$ 在 $x_0$ 处有左极限，则有

$$f^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(x_0-0)$$

因此，在 (a,b) 内任一点处，除非至少有一侧 $f^{\prime }(x)$ 无极限（这时 $f^{\prime }(x)$ 在该点为第二类间断点），不然，$f^{\prime }(x)$ 在此处连续，即 $f^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(x_0+0)=f^{\prime }(x_0-0)$

f’(x) 在某点存在震荡间断点的例子

$$f(x)=\{\begin{array}{r}{x}^{2}sin\frac{1}{x},x\ne 0\\ 0,x=0\end{array}$$
当 $x\ne 0$ 时，$f^{\prime }(x)=2xsin\frac{1}{x}-cos\frac{1}{x}$，${\lim }_{x\to 0}{f}^{\prime }(x)$ 不存在
当 $x=0$ 时，$f^{\prime }(0)={\lim }_{x\to 0}\frac{x^{2}sin\frac{1}{x}-0}{x}=0$
所以 f 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上处处可导，但 $f^{\prime }(x)$ 在 $x=0$ 处振荡间断。

根据上述定理及内容，我们给出两个比较有用的结论：

1. 如果 ${\lim }_{x\to x_0}{f}^{\prime }(x)$ 与 $f^{\prime }(x_0)$ 存在，肯定有 ${\lim }_{x\to x_0}{f}^{\prime }(x)=f^{\prime }(x_0)$，这是导数无第一类间断点的推论
2. 如果 ${\lim }_{x\to x_0}{f}^{\prime }(x)$ 存在，$f(x)$ 在 $x=x_0$连续，则 $f’(x_0) 存在，便有 $f^{\prime }(x_0)$ 存在，且 ${\lim }_{x\to x_0}{f}^{\prime }(x)=f^{\prime }(x_0)$，即导数极限定理。