欢迎来到计算机世界的奇妙旅程！今天，我们将探讨一个基本但强大的概念：位运算中的取反运算。这个概念在计算机科学和电子工程中扮演着重要角色，尤其是在进行低级编程和硬件设计时。

一、取反运算（~）

什么是取反运算？

取反运算，用符号 ~ 表示，是一个单目运算符，作用于整数的二进制表示，也就是只有一个操作数，表示为 ~x 。

在这个操作中，所有的二进制位都会被反转：1变为0，0变为1。

取反运算符，右结合性，作用是对参与运算的二进制位取反。~1为0，~0为1。

为什么要用取反运算？

取反运算在多种场合中都非常有用，如反转标志位、生成数值的补数，以及在某些特定算法中实现快速计算。

如何计算取反？ --- 对9取反的两种方法总结

我们考虑在32位整数环境中对数字9进行取反操作。

9的二进制表示为：

        0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1001（9 在内存中的存储）

-10的补码：（稍后会详细介绍）

        1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0110（这就是-10的补码）

方法1：直接取反：

简单直接，对9的每个二进制位取反，

结果为 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0110，这表示-10。

方法2：补码表示取反：

由于9是正数，它的补码与原码相同。对这个补码取反，

结果为 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0110，同样表示-10。

在这两种方法中，结果是一样的。无论是直接对原码取反还是对补码取反，最终都得到了-10。

-10的补码表示

对于负数，在计算机中用补码来表示。补码是原码的二进制反码（即每一位取反）加1。

下面我们以-10为例，来展示这两种从补码转换回原码的步骤：

        首先，我们需要知道-10在计算机中的补码表示。对于32位整数，-10的补码是：

10的原码（正数）        0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1010

取反：                ​​​​​​           1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0101

加1：                             1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0110（这就是-10的补码）

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方法1: 先取反再加1

1. 取反：对补码1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0110每一位取反（除了符号位），得到 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1001。
2. 加1：将上述结果加1，得到 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1010，这是-10的原码。

方法2: 先减1再取反

1. 减1：从补码1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0110 减1，得到 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0101。
2. 取反：对上一步的结果取反（除了符号位），得到 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1010，这同样是-10的原码。

在这两种方法中，我们最终都得到了相同的原码表示 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1010，它代表了-10。这两种方法都是有效的，用于将负数的补码转换回其原码表示。

总结：

• 所有正整数 x 的按位取反结果是 −(x+1)。
• 所有负整数 y 的按位取反结果是 ∣y∣−1。
• 0的按位取反是 -1（0在数学界既不是正数也不是负数） 

所有正整数的按位取反：对于任何正整数 x，其按位取反的结果是 −(x+1)。这是因为正整数的补码就是其本身，取反后，你得到了它的补码的负数形式，即该数+1的负数。

所有负整数的按位取反：对于任何负整数 y，其按位取反的结果是 ∣y∣−1。这里的关键是理解负整数在计算机中是以补码形式存储的。补码是原码取反加1。因此，当你对一个负数的补码进行取反操作时，你实际上得到了它的绝对值减1。

以~11为例：

        ~11的计算步骤：

                计算11的补码

                转二进制：0 1011

                计算补码：0 1011

                按位取反：1 0100 (按位取反是在这进行的，即补码的形式进行按位取反) 注意：这里是 补码

                将转为原码：

                取其反码(因为补码是负数)：1 1011

                末位加一：1 1100

                符号位为1是负数，即-12

以~(-11)为例：

        ~(-11)的计算步骤：

                计算-11的补码

                转二进制：1 1011

                计算补码：1 0101

                按位取反：0 1010 (按位取反是在这进行的，即补码的形式进行按位取反) 注意：这里是补码

                将转为原码：

                正数补码就是原码：0 1010

                符号位为0是正数，即10

二、按位取反运算符的应用

（1）0的取反

（有符号整型int：~0 为 -1；无符号整型 unsigned int ：~0 为 4294967295）

（2）相反数

（直接利用不嘛定义，对于正数x，他的 相反数的补码就是x二进制取反加1. ~x+1）

（3）代替减法

（由（2）延伸 ：x - y = x + (-y) = x + ~y + 1）

（4）代替加法

（由（2）延伸 ： x - ~y + 1）