本文参考：https://www.cnblogs.com/gxcdream/p/7597865.html

• 一、向量的内积

• 1.1向量内积的定义

向量内积（点乘/点积/数量积）：两个向量对应元素相乘之后求和：

 

注意：点乘的结果是一个标量，而不是向量。

• 1.2向量内积的性质

1. (λa + μb)·c = λa·c + μb·c，对任意实数λ, μ成立（线性）
2. cos∠(a,b) =a·b/(|a||b|)
3. |a·b| ≤ |a||b|，等号只在a与b共线时成立

• 1.3向量内积的几何意义

1. 表征或计算两个向量之间的夹角
2. b向量在a向量方向上的投影

公式推导过程如下，首先看一下向量组成：

根据余弦定理有：

将c=a-b带入上式中得出：

因此可以得出：

则：

进而可以判断两个向量的位置关系：

           a∙b>0：方向相同，夹角在0°到90°之间 
           a∙b=0： 正交，相互垂直 
           a∙b<0：方向相反，夹角在90°到180°之间

• 二、向量的外积

• 2.1向量外积的定义

向量外积（叉乘/叉积/向量积）：向量a与b的外积是一个向量，其方向正交于a与b，并且(a,b,a×b)构成右手系。其长度等于|a×b| = |a||b|sin∠(a,b)，为a、b构成的四边形的面积。

a和b的外积公式为：                                             

   

还可写成：

其中是反实对称矩阵，a、b的外积写成了矩阵与向量的乘法，即线性运算。

• 2.2向量外积的性质

1. a × b = -b × a. （反称性）
2. (λa + μb) × c = λ(a ×c) + μ(b ×c). （线性）