线性判别分析 Linear Discriminant Analysis | LDA

JasonH2021

8047人浏览 · 2023-06-03 09:58:57

JasonH2021 · 2023-06-03 09:58:57 发布

七、类库scikit-learn实现线性判别分析的例子

总结

前言

线性判别分析是机器学习中有监督学习的一种分类或降维算法。

一、线性判别分析是什么？

线性判别分析（Linear Discriminant Analysis，简称LDA）是一种经典的监督学习算法，主要用于降维和分类任务。是对费舍尔线性鉴别方法的归纳，试图找到两类物体或事物的特征的一个线性组合，以能够特征化或区分他们。所得的组合可用来作为一个线性分类器，或者为分类做降维处理。它可以将多维数据映射到低维空间，并保留数据之间的类别差异。

主要思想是将数据投影到一个新的空间，使得不同类别的数据在新空间中尽可能分开，同一类别的数据尽可能靠近。具体来说，LDA通过计算类内散度矩阵和类间散度矩阵来确定投影方向，然后将数据投影到这个方向上。类内散度矩阵描述了同一类别内部数据的分布情况，类间散度矩阵描述了不同类别之间的差异。LDA的目标是最大化类间散度矩阵与类内散度矩阵的比值，从而得到最佳的投影方向。

二、线性判别分析的优点和缺点

优点：

可以有效地降低维度并提高分类准确率；
可以最大化类内距离和最小化类间距离，从而更好地区分不同类别之间的差异；
可以通过计算特征值和特征向量来确定最佳投影方向，从而提高分类性能；
可以很好地处理多分类问题，并且对于数据集中有噪声的情况也比较鲁棒；

缺点：

LDA假设数据符合正态分布，并且每个类别的协方差矩阵相等，这些假设在实际情况中不一定成立；
对于不平衡的数据集可能会产生偏差，因为它更倾向于将样本分配到占据大部分空间的类别中；
对于高维数据集可能会出现维度灾难问题，因为它需要计算协方差矩阵并求解特征向量，计算复杂度较高；
对于非线性可分的数据集效果可能不好，因为它只能找到线性判别边界；

三、线性判别分析的应用场景

线性判别分析（LDA）适用于以下场景：

图像分类：LDA可以用于图像分类任务，例如将数字手写体图像分类为不同的数字类别。通过将图像数据投影到最佳线性判别方向上，可以提高分类准确率。
语音识别：LDA可以用于语音识别任务，例如将不同说话人的语音信号分类为不同的人。通过将语音数据投影到最佳线性判别方向上，可以提高分类准确率。
生物医学：LDA可以用于生物医学领域，例如将肿瘤组织分类为良性或恶性。通过将生物医学数据投影到最佳线性判别方向上，可以提高分类准确率。
金融领域：LDA可以用于金融领域，例如将客户分为不同的信用评级。通过将客户数据投影到最佳线性判别方向上，可以提高分类准确率。
模式识别：LDA可以用于模式识别任务，例如将手势识别为不同的手势类别。通过将模式数据投影到最佳线性判别方向上，可以提高分类准确率。
数据可视化：LDA可以用于数据可视化，例如将高维数据可视化为二维或三维图形。通过将数据投影到最佳线性判别方向上，可以保留尽可能多的信息并减少数据的维度。
特征提取：LDA可以用于特征提取任务，例如从图像或语音信号中提取重要的特征。通过将数据投影到最佳线性判别方向上，可以提取最具有区分度的特征

总之，LDA适用于需要降维并提高分类准确率的场景，特别是在数据符合正态分布、协方差矩阵相等的情况下效果更好。LDA是一种多功能的分类算法，适用于许多不同的领域和任务。

四、构建线性判别分析模型的注意事项

线性判别分析对于数据的分布形态依赖性比较高，因此事前对数据的分布形态尽心确认很有必要；
因为是通过线性判别边界进行的分类和降维，对于非线性可分的数据集效果可能欠佳，因此和其他分类或降维模型进行对比或结合使用，效果更好；

五、线性判别分析模型的实现类库

在Python中，可以使用以下方法实现线性判别分析（LDA）：

Scikit-learn库：Scikit-learn是Python中常用的机器学习库之一，提供了LDA算法的实现。可以使用`sklearn.discriminant_analysis.LinearDiscriminantAnalysis`类来实现LDA，该类提供了训练和预测方法。
NumPy库：NumPy是Python中常用的数学计算库之一，可以使用NumPy计算LDA所需的协方差矩阵和特征向量。然后，可以将数据投影到最佳线性判别方向上进行分类。
SciPy库：SciPy是Python中常用的科学计算库之一，可以使用SciPy计算LDA所需的协方差矩阵和特征向量。然后，可以将数据投影到最佳线性判别方向上进行分类。
Statsmodels库：Statsmodels是Python中常用的统计分析库之一，可以使用`statsmodels.api.DiscriminantAnalysis`类来实现LDA，该类提供了训练和预测方法。

总之，Python中有多种方法可以实现LDA算法，可以根据具体需求选择相应的方法。

六、线性判别分析模型的评价指标

准确率（Accuracy）是指分类正确的样本数占总样本数的比例，用来衡量模型的分类准确度。
精确率（Precision）是指分类为正类的样本中，实际为正类的样本数占分类为正类的样本数的比例，用来衡量模型对正类的分类准确度。
召回率（Recall）是指实际为正类的样本中，被分类为正类的样本数占实际为正类的样本数的比例，用来衡量模型对正类的识别能力。
F1 分数（F1-score）是精确率和召回率的调和平均数，用来综合衡量模型的分类准确度和识别能力。
ROC 曲线和 AUC 值是用来评估二元分类器性能的常用指标。ROC 曲线是以假正率（False Positive Rate，FPR）为横轴，真正率（True Positive Rate，TPR）为纵轴，绘制出来的曲线。AUC 值是 ROC 曲线下面积的大小，取值范围为 0~1，AUC 值越大，说明分类器的性能越好。

需要注意的是，精确率和召回率是有一定关系的，一般来说，当精确率高时，召回率可能会偏低，当召回率高时，精确率可能会偏低。因此，在实际应用中需要根据具体情况选择合适的指标。

七、类库scikit-learn实现线性判别分析的例子

from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.discriminant_analysis import LinearDiscriminantAnalysis
import matplotlib.pyplot as plt

# 加载鸢尾花数据集
iris = load_iris()
X = iris.data
y = iris.target

# 训练 LDA 模型
lda = LinearDiscriminantAnalysis(n_components=2)
lda.fit(X, y)

# 获取 LDA 转换后的数据
X_lda = lda.transform(X)

# 绘制 LDA 转换后的数据
plt.scatter(X_lda[:, 0], X_lda[:, 1], c=y)
plt.show()

八、线性判别分析的模型参数

以下是sklearn.discriminant_analysis.LinearDiscriminantAnalysis 的模型参数：