【离散数学笔记】逻辑运算之吸收律
吸收律：
(
1
)
A
∨
(
A
∧
B
)
⇔
A
(1)\ A\lor(A\land B)\Leftrightarrow A
(1) A∨(A∧B)⇔A
(
2
)
A
∧
(
A
∨
B
)
⇔
A
(2)\ A\land(A\lor B)\Leftrightarrow A
(2) A∧(A∨B)⇔A
证法一： 先证明这两个定律等价。由
(
1
)
(1)
(1)：
A
∨
(
A
∧
B
)
⇔
(
A
∨
A
)
∧
(
A
∨
B
)
⇔
A
∧
(
A
∨
B
)
A\lor(A\land B)\Leftrightarrow(A\lor A)\land(A\lor B)\Leftrightarrow A\land(A\lor B)
A∨(A∧B)⇔(A∨A)∧(A∨B)⇔A∧(A∨B)此即
(
2
)
(2)
(2)。
因此只需证明
(
1
)
(1)
(1)成立。
当
B
=
1
B=1
B=1时，
A
∨
(
A
∧
B
)
⇔
A
∨
(
A
∧
1
)
⇔
A
∨
A
⇔
A
A\lor(A\land B)\Leftrightarrow A\lor(A\land 1)\Leftrightarrow A\lor A\Leftrightarrow A
A∨(A∧B)⇔A∨(A∧1)⇔A∨A⇔A；
当
B
=
0
B=0
B=0时，
A
∨
(
A
∧
B
)
⇔
A
∨
(
A
∧
0
)
⇔
A
∨
0
⇔
A
A\lor(A\land B)\Leftrightarrow A\lor(A\land 0)\Leftrightarrow A\lor 0\Leftrightarrow A
A∨(A∧B)⇔A∨(A∧0)⇔A∨0⇔A，
故知
(
1
)
(1)
(1)成立。
证法二：
(
1
)
(1)
(1)
A
∨
(
A
∧
B
)
⇔
(
A
∧
1
)
∨
(
A
∧
B
)
⇔
A
∧
(
1
∨
B
)
⇔
A
∧
1
⇔
A
A\lor(A\land B)\Leftrightarrow (A\land 1)\lor(A\land B)\Leftrightarrow A\land(1\lor B)\Leftrightarrow A\land 1\Leftrightarrow A
A∨(A∧B)⇔(A∧1)∨(A∧B)⇔A∧(1∨B)⇔A∧1⇔A
(
2
)
(2)
(2)
A
∧
(
A
∨
B
)
⇔
(
A
∨
0
)
∧
(
A
∨
B
)
⇔
A
∨
(
0
∧
B
)
⇔
A
∨
0
⇔
A
A\land(A\lor B)\Leftrightarrow (A\lor 0)\land(A\lor B)\Leftrightarrow A\lor(0\land B)\Leftrightarrow A\lor 0\Leftrightarrow A
A∧(A∨B)⇔(A∨0)∧(A∨B)⇔A∨(0∧B)⇔A∨0⇔A
用集合来理解：
(1)
A
∨
(
A
∧
B
)
A\lor(A\land B)
A∨(A∧B)就是在上图中就是
A
∪
(
A
∩
B
)
A\cup(A\cap B)
A∪(A∩B)，而
(
A
∩
B
)
⊆
A
(A\cap B)\subseteq A
(A∩B)⊆A，所以
A
∪
(
A
∩
B
)
=
A
A\cup(A\cap B)=A
A∪(A∩B)=A。
(2)
A
∧
(
A
∨
B
)
A\land(A\lor B)
A∧(A∨B)就是在上图中就是
A
∩
(
A
∪
B
)
A\cap(A\cup B)
A∩(A∪B)，而
A
⊆
(
A
∪
B
)
A\subseteq(A\cup B)
A⊆(A∪B)，所以
A
∩
(
A
∪
B
)
=
A
A\cap(A\cup B)=A
A∩(A∪B)=A。
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