由于课题研究需要，这星期看了几篇GCN相关的文章和书籍，并对其进行了代码复现，现将最近学习的内容做一个梳理与总结，用于日后复习巩固。由于能力有限，文章中有错误或者不当之处，还望各位读者多多指出。之后对GCN应用方面相关的论文阅读笔记，也会及时文末跟新。（本文作为笔者的学习笔记，如有错误，希望各位读者批评指正）- - 更新时间:2020年11月1日

[学习笔记(1)]深入浅出了解GCN原理(公式+代码)
[学习笔记(2)]深入浅出了解GNN的几种变体

引言

   相信大多数读者在了解GCN（Graph Convolutional Networks）之前，对CNN（Convolutional Neural Network）都是非常熟悉的，我们知道，在连续信号中的卷积是表征函数f与g经过翻转和平移的重叠部分函数值乘积对重叠长度的积分,如下公式（1）。
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(\tau )g(x-\tau )d\tau (1)$$

对于离散信号而言，离散卷积的本质也是平移叠加之后的加权和，所以在CNN中图像上的卷积，本质上是利用参数共享的过滤器（kernel），通过计算中心像素点以及相邻像素点的加权和来构建成Feature Map,实现空间特征的提取，而加权的系数就是卷积核的权重，这其实在很多传统图像的算法中也有体现，就比如高斯平滑算子，拉普拉斯算子，边缘检测算子（提取边缘特征），包括SIFI（Scale-invariant feature transform）特征点提取，也是一系列的卷积和后处理操作。这些在图像上通过卷积核特征提取的操作，之所以有效很大一部分原因是因为图像本身是结构化数据，它是多个像素点排列整齐的矩阵，而CNN具有平移不变性（即图像如果经过平移，得到的特征图也会相应平移）。然而在真实世界中，还含有很多非欧几里得距离的数据，比如社交网络关系、交通连通图、脑网络连接等等，对于这类具有抽象意义的拓扑图关系的数据，它们是无法保证平移不变性的，这就需要我们有类似cnn的方法，来提取和挖掘有效的空间关系进行建模学习。广义来说，对于任何数据，都可以建立一定的拓扑关联，来进一步挖掘数据内部之间的关联性，所以GCN有很大的应用空间。

GCN发展

  GCN真正开始运用和发展是从这篇于2016年提出，2017年发表的文章开始：SEMI-SUPERVISED CLASSIFICATION WITHGRAPH CONVOLUTIONAL NETWORKS ，详细文章内容，读者可以自行阅读原文。

1、基于损失函数的考虑

  在2016年以前，就有前人尝试利用正则化约束的方法，通过在损失函数中引入图的拉普拉斯正则项，来对节点分类任务进行半监督学习，如下公式（2）.
$$\mathcal{L}={\mathcal{L}}_0+\lambda {\mathcal{L}}_{reg}with{\mathcal{L}}_{reg}=\sum _{i,j}{A}_{ij}||f(X_i)-f(X_j)|{|}^2=f(X{)}^T△f(X).(2)$$
其中 ${\mathcal{L}}_0$为监督损失（与label定义的损失），${\mathcal{L}}_{reg}$为约束项，$f(.)$可以是神经网络可微函数，$X$是节点特征向量$X_i$的矩阵，$△=D-A$是无向图$G=(V,E)$的非标准化拉普拉斯矩阵。这里说明下，拉普拉斯矩阵是用来研究图结构性质的核心对象，其定义为$L=D-A$，其中D是一个对角矩阵,$A$是邻接矩阵，$D_{ii}={\sum }_j{A}_{ij}$ 表示$i$节点的度。拉普拉斯矩阵还有一种正则化的形式(symmetric normalized laplacian) $$L_{sym}=D^{-\frac{1}{2}}L{D}^{-\frac{1}{2}}=I_N-D^{-\frac{1}{2}}A{D}^{-\frac{1}{2}}(3)$$,其元素级别的定义如下：
$$L_{sym}[j,j]\{\begin{array}{rlr}1& & ifi=j\\ \frac{-1}{\sqrt{deg(v_i)deg(v_j)}}& & if{e}_{ij}\in E\\ 0& & otherwise\end{array}(4)$$
拉普拉斯矩阵的定义源自于拉普拉斯算子，拉普拉斯算子它是$n$维欧式空间种的二阶微分算子，在二维空间的图像中表示就是我们熟悉的边缘检测算子（两者之间的关系这里不多展开，感兴趣的读者可以看看这篇文章 拉普拉斯算子与拉普拉斯矩阵的关系

图1 拉普拉斯矩阵计算（图片来源维基百科）

回到公式（2），从表达式上我们可以清晰的看到，正则部分相当于衡量相邻节点之间的差异性，因为$A_{i,j}$是邻接矩阵上的元素，两个节点处于邻接关系时为1，其他为0.这样的正则项，使得拓扑图上相邻节点尽可能相似，物以类聚，这是很自然的想法。从信号的角度上来看，减少该正则项，就是期望经过模型之后的图信号更加平滑。从频域上来看，是对图信号做了低通滤波的处理，但是这样的假设可能会限制模型的表达能力，因为图上边不只包含相似度的信息，还可能包含其他相关信息。

2、从谱图卷积开始

  最初标准的第一代GCN出自Spectral Networks and Locally Connected Networks on Graphs，其对于图上的卷积有如下定义：
$$g_{\theta }\ast x=U{g}_{\theta }{U}^{T}x(5)$$
这里$U$是图的标准化拉普拉斯（Laplacian）矩阵$L_{sym}$(公式3)的特征向量矩阵,因此有$L_{sym}=U\Lambda U^T$,$x$是数据中提取出来的特征，也就是输入，定义$g_{\theta }=diag(\hat{h}({\lambda }_l))$是特征值的响应函数，进一步为了类比CNN中的共享卷积核的设计，在神经网络中将其设置为可训练参数的卷积核，如$diag({\theta }_l)$。而$U^{T}x$的本质是将$x$映射到傅里叶空间,$U$是傅里叶空间的一组正交基。对于如何将傅里叶分解推广到图卷积，可以参考这篇The Emerging Field of Signal Processing on Graphs: Extending High-Dimensional Data Analysis to Networks and Other Irregular Domains ，太过复杂的推导和证明这里不过多解释。
对于第一代版本的GCN主要有以下几点弊端：

1. 每一层的计算涉及$Udiag(\hat{h}({\theta }_l))U^T$三个矩阵乘法，复杂度为$O(N^2)$，代价较高
2. 卷积核具有n个参数，n是L的特征值个数。
3. 计算Hermitian Matrix特征值的代价非常昂贵

过高的计算复杂度和过大的计算参数，在实际运用中都是不允许的,于是基于以上两点的考虑，就产生了第二代版本的GCN，详细内容和公式推导可参考论文：Convolutional Neural Networks on Graphs with Fast Localized Spectral Filtering
，文中作者将卷积核巧妙地设计成了如下公式：
$$g_{\theta }(\Lambda )=\sum _{k=0}^{K-1}{\theta }_k{\Lambda }^k=\left(\begin{array}{ccc}{\sum }_{j=0}^{k-1}{\theta }_j{\lambda }_1^j& & \\ & \ddots & \\ & & {\sum }_{j=0}^{k-1}{\theta }_j{\lambda }_n^j\end{array}\right)(6)$$
经过这样的设计，原本需要训练n个参数，缩小到了K个，同时将公式（6）带入公式（5）得到公式（7），从公式（7）中不难发现，此时我们不在需要在求矩阵的特征向量了，可直接使用拉普拉斯矩阵进行运算。第二代版本的GCN解决了第一代的2、3两个问题的弊端，但是矩阵乘法的复杂度依旧是$O(N^2)$。
$$g_{\theta }\ast x=\sum _{j=0}^{k-1}{\theta }_j{L}^{j}x(7)$$

3、切比雪夫卷积核

  计算多个大型稠密矩阵的乘法复杂度是很高的，这运用中在实际场景是不被允许的，尤其是计算像社交关系网络这种超大拓扑图的数据，显然是无法实现的，为解决这个问题，我们采用切比雪夫多项式（Chebyshev polynomials）来近似$g_{\theta }(\Lambda )$，具体内容的讨论读者可阅读知乎：chevyshev多项式作为卷积核 或Hammond等人对这一问题深入的讨论Wavelets on graphs via spectral graph theory，我们直接给出近似公式：
$$g_{{\theta }^{’}}(\Lambda )\approx \sum _{k=0}^K{\theta }_k^{{}^{\prime }}{T}_k(\tilde{\Lambda })(8)$$
这里$\tilde{\Lambda }=\frac{2}{{\lambda }_{max}}\Lambda -I_N$是对$\Lambda$的一种缩放，${\lambda }_{max}$是$L$的最大特征值，${\theta }^{{}^{\prime }}\in {\mathbb{R}}^k$是切比雪夫系数向量，切比雪夫的递归式定义为$T_k(x)=2x{T}_{k-1}(x)-T_{k-2}(x)$，设$T_0(x)=1$,$T_1(x)=x$,由此就可以的得到一个计算近似特征值的方法，将公式(8)带入之前的卷积定义公式(5)，我们有：$$g_{\theta }\ast x=\sum _{k=0}^K{\theta }_k^{{}^{\prime }}{T}_k(\tilde{L})x(9)$$这里$\tilde{L}=\frac{2}{{\lambda }_{max}}L-I_N$,这个表达式是局部化的，它是拉普拉斯式的一个K阶多项式，也就是说，它只依赖于距离中心节点(K阶邻域)，公式（9）的复杂度是$O(|\epsilon |)$,即计算复杂度取决于图的边的数量。

4、GCN图卷积网络

  为了简化问题，同时减轻由于局部节点度过大而导致过拟合的问题，我们设置K=1,即只考虑中心节点的一阶邻近,将$T_0(x)=1$,$T_1(\tilde{L})=\tilde{L}$带入公式(9)，进一步，我们将尺度变换的${\lambda }_{max}$固定为2。于是我们就得到卷积新的近似表达:

$$g_{\theta }\ast x\approx {\theta }_0^{{}^{\prime }}x+{\theta }_1^{{}^{\prime }}(L-I_N)x=\theta (I_N+D^{-\frac{1}{2}}A{D}^{-\frac{1}{2}})x.(10)$$
由盖尔圆盘定理我们知道，公式（10）中$I_N+D^{-1/2}A{D}^{-1/2}$的特征值范围为[0,2]，重复的进行卷积操作，可能会导致数值不稳定，在神经网络中多层的图卷积之后，容易导致梯度消失或者梯度爆炸。为了解决这个问题，我们将其进一步标准化:
$$I_N+D^{-\frac{1}{2}}A{D}^{-\frac{1}{2}}\to {\tilde{D}}^{-\frac{1}{2}}\tilde{A}{\tilde{D}}^{-\frac{1}{2}}(11)$$
其中$\tilde{A}=A+I_N$,$\tilde{D}={\sum }_j{\tilde{A}}_{ij}$，此时我们就将其特征值规范到了[0,1]之间。可以看到，$\tilde{A}$相当于每个节点增加了自连接关系，直观上来看，就是每个节点的跟新与邻近节点的表征以及节点上一层的表征有关。
将公式（11）带入公式（10）我们的图卷积表达式最终可写成如下形式：
$$Z={\tilde{D}}^{-\frac{1}{2}}\tilde{A}{\tilde{D}}^{-\frac{1}{2}}X\Theta (12)$$
这里$X\in {\mathbb{R}}^{N\times C}$,N表示节点数，C表示节点的特征向量维度如C-dimensional,$\Theta \in {\mathbb{R}}^{C\times F}$表示可训练的参数矩阵,F表示输出维度，$Z\in {\mathbb{R}}^{N\times F}$就是卷积后的信号，这个公式的计算复杂度为$O(|\epsilon |FC)$,由于$\tilde{A}X$可以执行稀疏矩阵乘法运算，所以实际计算速度会很快。

图2 GCN模型对节点分类任务半监督的训练迭代过程，颜色表示类别

代码设计与实现

在GCN中，将公式（12）写成如下多层传播的形式:
$$H^{(l+1)}=\sigma ({\tilde{D}}^{-\frac{1}{2}}\tilde{A}{\tilde{D}}^{-\frac{1}{2}}{H}^{(l)}{W}^{(l)})(13)$$
代码实现方面非常简单，主要是前期对邻接矩阵的处理，以及图卷积层的构建，这里是一个pytorch实现的代码：

import torch
import torch.nn as nn
import torch.nn.init as init
import torch.nn.functional as F
# 图卷积层
class GraphConvolution(nn.Module):
    def __init__(self, input_dim, output_dim, use_bias=True):
        """图卷积：L*X*\theta

        Args:
        ----------
            input_dim: int
                节点输入特征的维度
            output_dim: int
                输出特征维度
            use_bias : bool, optional
                是否使用偏置
        """
        super(GraphConvolution, self).__init__()
        self.input_dim = input_dim
        self.output_dim = output_dim
        self.use_bias = use_bias
        self.weight = nn.Parameter(torch.Tensor(input_dim, output_dim))#权重
        if self.use_bias:
            self.bias = nn.Parameter(torch.Tensor(output_dim))
        else:
            self.register_parameter('bias', None)
        self.reset_parameters()

    def reset_parameters(self):
        init.kaiming_uniform_(self.weight)
        if self.use_bias:
            init.zeros_(self.bias)

    def forward(self, adjacency, input_feature):
        """邻接矩阵是稀疏矩阵，因此在计算时使用稀疏矩阵乘法"""
        support = torch.mm(input_feature, self.weight)
        output = torch.sparse.mm(adjacency, support)
        if self.use_bias: 
            output += self.bias
        return output

    def __repr__(self):
        return self.__class__.__name__ + ' (' \
            + str(self.input_dim) + ' -> ' \
            + str(self.output_dim) + ')'
# 将邻接矩阵标准化
def normalization(adjacency):
    """计算 L=D^-0.5 * (A+I) * D^-0.5,

    Args:
        adjacency: sp.csr_matrix.

    Returns:
        归一化后的邻接矩阵，类型为 torch.sparse.FloatTensor
    """
    adjacency += sp.eye(adjacency.shape[0])    # 增加自连接
    degree = np.array(adjacency.sum(1))
    d_hat = sp.diags(np.power(degree, -0.5).flatten())
    L = d_hat.dot(adjacency).dot(d_hat).tocoo()
    # 转换为 torch.sparse.FloatTensor
    indices = torch.from_numpy(np.asarray([L.row, L.col])).long()
    values = torch.from_numpy(L.data.astype(np.float32))
    tensor_adjacency = torch.sparse.FloatTensor(indices, values, L.shape)
    return tensor_adjacency

更多相关代码，可以从GitHub上下载：
《深入浅出图神经网络：GNN原理解析》配套代码

图神经网络相关算法详述及实现

关于GCN的论文集合：GCN相关论文汇总

总结

  从第一个版本到最终图卷积网络，每一次都在前一次的基础上大大减少了计算复杂度，最终才使得GCN的端到端训练成为可能，然而科学是不断进步和发展的，GCN还存在很多问题。

1、谱域卷积

在谱域图卷积中，我们对图的拉普拉斯矩阵进行谱分解，并通过在傅里叶空间特征分解帮助我们理解潜在的子图结构，GCN和ChebNet就是典型的应用。但是对于有向图的邻接矩阵是非对称矩阵，此时不能对拉普拉斯矩阵进行谱分解，需要我们重新定义邻接关系，或者通过其他形式的GCN来挖掘拓扑图上的关系。

2、空域卷积

空域卷积作用在节点的邻域上，我们通过聚合距离中心节点k-hop邻居来得到节点的特征表示。空域卷积相比谱域卷积更加简单和高效，GraphSAGE(Graph SAmple and aggreGatE)和GAT(Graph Attention Network) 是空域卷积的典型代表（GCN变体）。

未来围绕GCN的工作可以从以下几点围绕展开：
1、过度平滑问题
2、下游任务的处理应用
3、可解释性
4、处理有向图
5、inductive任务
…

参考文献

[1] T. N. Kipf and M. Welling, “Semi-supervised classification with graph convolutional networks,” 5th Int. Conf. Learn. Represent. ICLR 2017 - Conf. Tra

[2] M. Defferrard, X. Bresson, and P. Vandergheynst, “Convolutional neural networks on graphs with fast localized spectral filtering,” Adv. Neural Inf. Process. Syst., no. 59, pp. 3844–3852, 2016.

[3] Y. Jin, N. Duffield, P. Haffner, S. Sen, and Z. L. Zhang, “Learning Convolutional Neural Networks for Graphs Mathias,” 2010 22nd Int. Teletraffic Congr. - Proceedings, ITC 22, vol. 1, 2010.

[4] J. Bruna, W. Zaremba, A. Szlam, and Y. LeCun, “Spectral networks and deep locally connected networks on graphs,” 2nd Int. Conf. Learn. Represent. ICLR 2014 - Conf. Track Proc., pp. 1–14, 2014.

[5] 《深入浅出图神经网络：GNN原理解析》刘忠雨，李彦霖，周洋

[6] 知乎：如何理解 Graph Convolutional Network（GCN）