问题提出

善始者繁多，克终者盖寡。

在学习的过程中遇到了这么一个问题：已经通过查阅资料确定了某个因变量受到好几个自变量的影响，可是不同的自变量对因变量的影响程度肯定不同，那这个时候不太能自变量对因变量的影响程度如何确定呢？换句话说就是各指标的权重是多少？

使用一个形象的例子来说明：假设已经通过查阅资料确定，一个人的气质受到身高、体重、年龄三个因素的影响，那么我们期望得到这么一个等式。

W=aX1+bX2+cX3
X1、X2、X3分别代表身高、体重、年龄三个指标；W表示气质的量化分数

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一、熵权法

用来确定评价体系中各指标权重的方法大抵可以分为三类：经验的方法，数学的方法以及两者混合的方法。常见的经验方法有层次分析法、模糊层次分析法、德尔菲法等；常见的数学方法有熵权法、离差法等。

熵权法是从信息量的角度判断各指标权重大小的。
不同指标的变化必定引起测量目标的变化，变化程度越大，说明该指标的影响越大，其占据的权重也应当大。

说到信息量就不得不提到信息论奠基人香农及其相关理论。

1.1 信息量与信息熵

关于信息量及信息熵的详细描述可以参考这位博主转载的文章。
信息熵

信息量很好理解，它反映的是某个时间所包含的信息的多少，即信息量越大其包含的信息越多，事物的不确定越小；信息熵则是对事物不确定性的描述，熵越大表示事物的不确定性越高，其包含的信息越少，熵越小表示事物的不确定性越小，其包含的信息越多。

熵反映了事物的不确定性，熵越小，事物的不确定性越小，其能够提供的信息越多。

1.2 信息量与信息熵的计算

信息量的多少可以通过事物发生的概率反映出来，一件事情发生的概率越高，其包含的信息量越大，信息量的计算公式为：

p(X)表示事件X发生的概率；I(X)表示事件X包含的信息，其结果是[0,1]的某个值。
至于为什么用对数函数，已经有大量研究说明了。

通过信息量我们可以来描述系统的不确定性，即熵，熵的计算公式为：

n表示系统中事件的个数；p(Xi)表示系统中的每一个事件发生的概率；H(X)表示系统的信息熵，取值范围仍为[0,1]，其取值越大表明系统不确定性越大，包含的信息越少。

熵权法是根据各指标的熵值来判断指标权重的，指标包含的信息越多，其占据的权重应当大，即越是重要的指标，其熵值越小。

1.3 熵权法的计算

我们使用信息熵的计算公式就能够计算出每一个指标（列）的熵，其计算公式为：
我们可以发现，每一个指标（列）熵的计算公式就是在信息熵计算公式前加了一个“ln(x)”，那这个“ln(x)”表示什么呢?

从数学角度看，当所有事件发生概率相同时，系统信息熵最大，其值为ln(x)，为了保证我们计算出来的数值在[0,1]内，我们在前面除以ln(x)

但是请注意，我们此时计算出来的只是某一个指标（列）的熵，熵反映的这个指标的不确定性，我们使用“信息效用”来表示该指标包含的信息量，信息效用的计算公式为：

d=1-H(x)
d表示该指标包含的信息量，值越大说明其包含的信息越多；H(X)是先前计算出的指标的熵，

使用相同的方法依次计算出每一指标的熵及其信息效用，再计算当前指标在所有指标中的比重，即当前指标在系统中的权重。假设W=[w1,w2…,wm]，m表示系统中指标的个数,wi表示第i个指标的权重；H=(h1,h2…,hm)，hi表示第i个指标的信息熵；D=(d1,d2…,dm)，di表示第i个指标的信息效用，各指标权重的计算公式表示为：

二、使用Excel计算指标权重

假设已通过查阅文献资料确定气质由身高、体重、年龄三个因素影响，并收集到了5名背时的相关信息。

2.1 数据归一化

归一化的目的是消除量纲的影响。

“身高”的单位是cm；体重的单位是kg；年龄的单位是岁。使用原始数据可能会过分放大某一指标对最终结果的影响，例如假设最终求得“身高”和“年龄”的权重都为0.5，那么最终得分高低肯定是由“身高”主导的，因为大头在“身高”这边。

常用的数据归一化方法为极差法，计算公式为：

Xi表示当前数据；Ci表示当前数据归一化后的结果，其取值范围为[0,1]；min(X)、max(X)分别表示当前指标中的最小值与最大值。

以A2单元格为例，数据归一化的计算公式为：

=(A2-MIN(A$2:A$6))/(MAX(A$2:A$6)-MIN(A$2:A$6))

归一下后数据变为：

2.2 计算各记录信息熵

根据信息熵计算公式，求得每一个单元格中数据的信息熵：

注意：此时概率表示为：p=当前数据值/该列数据总和

以A2单元格为例，其计算公式为：

=E2/SUM(E$2:E$6)LOG(E2/SUM(E$2:E$6))-1

依次计算所有单元格的信息熵，结果为：
各单元格的信息熵计算完毕后可以计算每一个指标的总熵，以“身高”为例，其计算公式为：

=SUM(I2:I6)/LOG(5)
注意：此时记录中仅包含5条数据，所有使用LOG(5)，对于记录较多的数据可以使用count函数代替

“身高”的权重计算公式为：

=(1-I8)/(3-SUM($I$8:$K$8))
注意：此时分母中的3为指标的个数，可以使用count函数代替；各指标权重和为1

最终三指标的权重分别为：

根据计算出的权重重新计算每一条记录的最终得分，结果为：

三、使用Python计算指标权重

3.1 读取Excel文件

本人习惯于将需要用到的数据集存放在同级目录“files”下，保持一份数据底稿用以计算每条记录最终得分。

import pandas
import math

filename = "示例信息熵.xlsx"
path = "files/"
data = pandas.read_excel(path+filename,sheet_name=0)
#保留原始数据
data_yuanshi = data.copy()
print(data)

3.2 归一化化数据

使用2.1提到的极差法将数据归一化，同时也保存一份归一化后的数据。

max = data.max()
min = data.min()
cols = data.columns
#归一化数据
for i in range(data.shape[0]):
    for j in range(data.shape[1]):
        data.iloc[i,j] = (float(data.iloc[i,j])-float(min[cols[j]]))/(float(max[cols[j]])-float(min[cols[j]]))
data_guiyi = data.copy()
print(data)

3.3 计算每条记录的信息熵

需要注意的是，在计算0*LOG(0)是程序会报错，所以需要进行特殊处理。

#存储每一条记录的熵
result_sum_col = []
for j in range(data.shape[1]):
    sum_col = data[cols[j]].sum()
    # print(sum_col)
    for i in range(data.shape[0]):
        if data.iloc[i,j] == 0:
            #计算Log(0)是会报错，需要特殊处理
            data.iloc[i, j] = 0
        else:
            data.iloc[i,j] = -1*(data.iloc[i,j]/sum_col)*math.log10((data.iloc[i,j]/sum_col))
    #该指标的熵等于各记录熵的和除以Log(n)，n为记录的条数
    result_sum_col.append(data[cols[j]].sum()/math.log10(data.shape[0]))
    # print(result_sum_col)
print(data)

3.4 计算各指标的权重

根据信息熵、信息效用的计算公式计算出指标的权重，将其存储起来。

weight = []
weight_sum = 0.0
for i in result_sum_col:
    weight_sum += i
'''
    i表示各个维度的熵,n表示维度的个数
    各维度计算公式为（1-i）/(n-sum_i)
'''
for i in result_sum_col:
    weight.append((1-i)/(float(data.shape[1])*1-weight_sum))
print(weight)

3.5 计算每条记录最终得分

#计算各记录最终得分并另存文件(原始数据文件)
cores = []
for i in range(data_yuanshi.shape[0]):
    result_core = 0
    for j in range(data_yuanshi.shape[1]):
        result_core += float(data_yuanshi.iloc[i,j])*weight[j]
    cores.append(result_core)
print(cores)
data_yuanshi["最终评分"] = cores
print(data_yuanshi)
#计算各记录最终得分并另存文件(归一化数据文件)
cores2 = []
for i in range(data_guiyi.shape[0]):
    result_core = 0
    for j in range(data_guiyi.shape[1]):
        result_core += float(data_guiyi.iloc[i,j])*weight[j]
    cores2.append(result_core)
print(cores2)
data_guiyi["最终评分"] = cores2
print(data_guiyi)

3.6 保存文件

本人将最终计算出的指标权重放在“熵.xlsx”表中，程序运行后会生成三份文件。

'''
    熵文件中不用计算最终得分，但要写入指标权重
'''
data.loc["权重"] = weight
print(data)
#保存文件
file01 = filename.split(".")[0]+"最终得分.xlsx"
file02 = filename.split(".")[0]+"归一化.xlsx"
file03 = filename.split(".")[0]+"熵.xlsx"
data_yuanshi.to_excel(path+file01,index=False)
data_guiyi.to_excel(path+file02,index=False)
data.to_excel(path+file03)

程序运行结果效果图为：

从运行结果1、2图可以看出归一化的效果。
记录2规约化后最终得分高于记录5，但是！！！在原始数据中记录5最终得分却高于记录2，因为原始数据三个指标量纲不同。