似然函数是一种关于统计模型中的参数的函数，表示模型参数中的似然性，概率，用于在已知一些参数的情况下，预测接下来在观测上所得到的结果；似然性，则是用于在已知某些观测所得到的结果时，对有关事物之性质的参数进行估值。

举个例子来说明：抛硬币大家一定都很熟悉 （$\theta$代表正面朝上的概率，我们用H缩写正面朝上，T缩写正面朝下）

1、在概率问题中：我们是已知模型参数$\theta$(这里假设$\theta =0.5$)，来预测抛硬币的结果。最简单的例如我们想知道抛两次硬币均正面朝上的概率是多少？

$$P(HH|\theta )={\theta }^2=0.5^2$$

2、在似然问题中：关于模型的参数$\theta$是未知的（我们不知道硬币正反面是否均匀），但已知抛硬币的结果。最简单的例如我们观察到抛了两次硬币结果均正面朝上。也就是说我们观察到一个实验现象（抛两次硬币均正面朝上），同时又我们又知道这个实验的数学模型（正面朝上的概率应该是 $\theta^2$）。那么我们就写出这样一个似然函数：

$$L(\theta |HH)={\theta }^2$$

不同于概率问题是有结论的；但似然问题最终得到了似然函数看上去没什么用。因此一般而言，似然问题都是为了解决最大似然问题的，也就是在当前观测结果下，估计参数最有可能的值。回到上面例子中，

似然函数是$L={\theta }^2$，我们想最大化这个函数，也就是：

$$\arg \underset{\theta }{\max }L={\theta }^2,\text{where }\theta \in [0,1]$$

很容易能求得，当$\theta =1$时，L可以取到最大值。也就是说如果只看到抛两次硬币结果都是正面朝上，最有可能的估计就是硬币极不均匀，两面都是正面。补充：只有当实验次数大量时，才能逐渐让$\theta$趋近于合理的0.5。

为了大家更好地区分似然函数和概率函数，再多说几句。

假设一个函数为$a^b$，如果令$b=2$，这样就得到了一个二次函数$a^2$；如果令$a=2$，这样就得到了一个指数函数$2^b$。可以看到二次函数和指数函数都源自一个函数，但在不同条件下拥有了不同的名称。这也被称作逆反函数。看到这里是不是就发现了似然函数也是概率函数的逆反，原函数都是$P(x|\theta )$，当$\theta$已知时，它是概率函数；当$x$已知时，它是似然函数。

参考材料：维基百科、知乎