下文介绍一种基于单链表的高级数据结构， 跳表 。 

将单链表先进行排序，然后针对 有序链表 为了实现高效的查找，可以使用跳表这种数据结构。

其根本思想是 二分查找 的思想。

跳表的前提条件是 针对 有序的单链表 ，实现高效地查找，插入，删除。

Redis中的 有序集合 sorted set 就是用跳表实现的。

一. 跳表的原理

对于单链表，即使是 存储的有序数据（即 有序链表），想在其中查找某个数据，也只能从头到尾遍历，查找效率低，时间复杂度是O(n)，如下图所示：

怎么才能提高查找效率呢？ 

为了提高查找效率，使用二分查找的思想，对有序链表建立一级“索引”。 每两个节点提取一个节点到索引层。 索引层中的每个节点 都包含两个指针，一个指向下一个节点，一个down指针，指向下一级节点。

假设要查找图中 18这个节点：

首先在一级索引层遍历，当遍历到14这个节点的时候，发现其下一个节点是23，则要查找的18就在14和23之间。 然后，通过14节点的 down 指针，下降到原始链表这一层，继续在原始链表中遍历。 此时，只需要在原始链表中，遍历两个节点，14和18,就找到18这个节点了。    查找18这个节点，在原始链表需要遍历10个节点，现在只需要遍历7个节点（一级索引层遍历5个节点，原始链表遍历2个节点）。 

从以上示例可以看出，加上一层索引之后，查找一个节点的遍历节点数减少了，效率提高了。如果再增加一级索引，那么效率会不会更高呢？

建立二级索引

与建立一级索引的方式类似，在第一级索引的基础上，每两个节点抽出一个节点到第二级索引，如下图：

 现在如果要查找18节点，只需要遍历6个节点（二级索引层遍历3个节点，一级索引层1个节点，原始链表2个节点）。

通过建立索引的方式，对于数据量越大的有序链表，通过建立多级索引，查找效率提升会非常明显。

这种链表加多级索引的结构 就是 跳表。

二.跳表的 时间复杂度 和 空间复杂度

2.1 跳表的查询时间复杂度

假设链表包含n个节点，在单链表中查询某个数据的时间复杂度是O(n)。

一个包含n个节点的有序单链表最多会有多少级索引？

每两个节点抽出一个节点作为上一级索引的节点，则 ：

第一级索引的节点个数大约是 n/2 ，第二级索引的节点个数大约是 n/4，第三级索引的节点个数大约是 n/8，则第k级索引节点的个数大约是。

假设有 h 级索引，最高一级的索引有两个节点，也就是  ，从而求得 如果把原始链表这一层也算进去，那么整个跳表的高度约为 

在跳表查询时，每一级索引 最多需要遍历3个节点。 

（因为假设在上图跳表中，从二级索引层，查找 节点12，则从节点1遍历到节点7，然后再遍历节点14(节点12 小于 节点14) ，从节点7向下一级索引层遍历到节点7，然再向右遍历节点11，再遍历节点14，发现节点12小于节点14， 则继续向下一级遍历，最终在下一级遍历到节点12。 

在上面遍历节点12的过程，在二级索引层遍历了3个节点（1—>7---->14），在一级索引层遍历了3个节点（7—>11---->14）。因此每一级最多遍历3个节点。 ）

那么在跳表中查询数据的时间复杂度就是     每一层遍历的节点数乘以层数 ⁡，因此跳表中查找的时间复杂度就是O(logn).  与二分查找的时间复杂度相同。

基于单链表实现了二分查找，查询效率的提升依赖构建了多级索引，是一种空间换时间的设计思路。

2.2 空间复杂度

建立索引后 的 总的索引点 的 空间复杂度：

        

跳表的查询数据的空间复杂度是O(n)，也就是说，基于单链表构造跳表，需要额外再用一倍的存储空间。

有没有办法降低索引占用的存储空间呢？

如果每3个节点 或 每5个节点抽1个节点到上一级索引，索引节点就会相应减少。假设每3个节点抽取一个节点到上一级，总的索引节点个数为：

       

每3个节点抽1个节点到上一级索引的方法  比 每2个节点抽1个节点构建索引的方式，减少了一半的索引节点存储空间。

因此，通过调节抽取节点的间隔，控制索引节点占用的存储空间，以此来达到空间复杂度 和 时间复杂度的平衡。

三. 跳表的插入和删除

跳表作为一个动态数据结构，不仅支持查找操作，还支持数据的插入和删除操作，并且 插入和删除的操作的时间复杂度都是O(logn).

3.1  插入操作

为了保证原始链表中数据的有序性，我们需要先找到新数据应该插入的位置。 可以基于多级索引，快速查找到新数据的插入位置，时间复杂度为O(log n)。

假设插入数据为6的节点，如下图：

3.2  删除操作

删除原链表中的节点，如果节点存在于索引中，也要删除索引中的节点。 因为单链表中的删除需要用到 要删除节点 的 前驱动节点。 可以像插入操作一样，通过索引逐层向下遍历到原始链表中，要删除的节点，并记录其 前驱节点，从而实现删除操作。

四. 跳表索引动态更新

当频繁地向跳表中插入数据时，如果插入过程不伴随着索引更新，就有可能导致某2个索引节点之间数据非常多，在极端地情况下，跳表就会退化成单链表。

作为一种动态数据结构，为了避免性能下降，我们需要在数据插入，删除的过程中，动态地更新跳表的索引结构。  就像红黑树，二叉平衡树是通过左右旋来保持左右子树的大小平衡， 而跳表是借助随机函数来更新索引结构。

当向跳表中插入数据时，我们选择同时将这个数据插入到部分索引层中。 如何决定插入到哪些索引层中呢？ 通过一个随机函数来决定，比如通过  随机函数得到某个值 K, 那么就将这个节点添加到第一级到第K级索引中。

五.总结

为什么Redis中的有序集合用跳表而非红黑树来实现呢？

1.对于插入，删除，查找 以及 输出有序序列 这几个操作，红黑树也可以完成，时间复杂度 与 用跳表实现是相同的。 但是，对于按照区间查找数据这个操作（比如 [20,300]）,红黑树的效率没有跳表高，跳表可以做到 O(logn)的时间复杂度定位区间的起点，然后在原始链表中顺序向后遍历输出，直到遇到值大于区间终点的节点为止。

2.跳表更加灵活，它可以通过改变节点的抽取间隔，灵活地平衡空间复杂度和时间复杂度

3.相比红黑树，跳表更容易实现，代码更简单。

六. 代码实现

1.C++版本（参考 Leetcode1206题 题解）

struct Node
{
     //向右向下指针
    Node* right;
    Node* down;  
    int val;
    Node(Node *right, Node *down, int val)
            : right(right), down(down), val(val){}
};

class Skiplist {
private:
    Node *head;
    // 预先分配后，提升性能
    const static int MAX_LEVEL = 32;
    // 查找时临时使用的变量
    vector<Node*> pathList;
public:
    Skiplist() {
        //初始化头结点
        head = new Node(NULL, NULL, -1);
        pathList.reserve(MAX_LEVEL);
    }
    
    bool search(int target)
    {
        Node *p = head;
        while(p)
        {
            // 左右寻找目标区间
            while(p->right && p->right->val < target)
            {
                p = p->right;
            }
            // 没找到目标值，则继续往下走
            if(!p->right || target < p->right->val)
            {
                p = p->down;
            }
            else
            {   
                //找到目标值，结束
                return true;
            }
        }
        return false;
    }
    
    void add(int num) {
         //从上至下记录搜索路径
        pathList.clear();
        Node *p = head;
        // 从上到下去搜索 次小于num的 数字，等于就是另外一种实现里的 prevs
        while(p)
        {
            // 向右找到次小于num的p
            while (p->right && p->right->val < num)
            { 
                p = p->right;
            }
            pathList.push_back(p);
            p = p->down;
        }

        bool  insertUp = true;
        Node* downNode = NULL;
        // 从下至上搜索路径回溯，50%概率
        // 这里实现是会保证不会超过当前的层数的，然后靠头结点去额外加层， 即每次新增一层
        while (insertUp && pathList.size() > 0)
        {
            Node *insert = pathList.back();
            pathList.pop_back();
            // add新结点
            insert->right = new Node(insert->right,downNode,num); 
            // 把新结点赋值为downNode
            downNode = insert->right; 
            // 50%概率   
            insertUp = (rand()&1)==0;
            
        }
        // 插入新的头结点，加层
        if(insertUp)
        {  
            
            head = new Node(new Node(NULL,downNode,num), head, -1);
        }
    }
    
    bool erase(int num) {
        Node *p = head;
        bool seen = false;
        while (p)
        {
            // 当前层向右找到次小的点
            while (p->right && p->right->val < num)
            {
                p = p->right;
            }
            // 无效点，或者 太大， 则到下一层去
            if (!p->right || p->right->val > num)
            {  
                p = p->down;
            }
            else
            {
                // 搜索到目标结点，进行删除操作，结果记录为true
                // 继续往下层搜索，删除一组目标结点
                seen = true;
                p->right = p->right->right;
                p = p->down;
            }
        }
        return seen;
    }
};

2.Java版本（参考 Leetcode1206题 题解）

class Skiplist {
        /**
         * 最大层数
         */
        private static int DEFAULT_MAX_LEVEL = 32;
        /**
         * 随机层数概率，也就是随机出的层数，在 第1层以上(不包括第一层)的概率，层数不超过maxLevel，层数的起始号为1
         */
        private static double DEFAULT_P_FACTOR = 0.25;

        Node head = new Node(null,DEFAULT_MAX_LEVEL); //头节点

        int currentLevel = 1; //表示当前nodes的实际层数，它从1开始


        public Skiplist() {
        }

        public boolean search(int target) {
            Node searchNode = head;
            for (int i = currentLevel-1; i >=0; i--) {
                searchNode = findClosest(searchNode, i, target);
                if (searchNode.next[i]!=null && searchNode.next[i].value == target){
                    return true;
                }
            }
            return false;
        }

        /**
         *
         * @param num
         */
        public void add(int num) {
            int level = randomLevel();
            Node updateNode = head;
            Node newNode = new Node(num,level);
            // 计算出当前num 索引的实际层数，从该层开始添加索引
            for (int i = currentLevel-1; i>=0; i--) {
                //找到本层最近离num最近的list
                updateNode = findClosest(updateNode,i,num);
                if (i<level){
                    if (updateNode.next[i]==null){
                        updateNode.next[i] = newNode;
                    }else{
                        Node temp = updateNode.next[i];
                        updateNode.next[i] = newNode;
                        newNode.next[i] = temp;
                    }
                }
            }
            if (level > currentLevel){ //如果随机出来的层数比当前的层数还大，那么超过currentLevel的head 直接指向newNode
                for (int i = currentLevel; i < level; i++) {
                    head.next[i] = newNode;
                }
                currentLevel = level;
            }

        }

        public boolean erase(int num) {
            boolean flag = false;
            Node searchNode = head;
            for (int i = currentLevel-1; i >=0; i--) {
                searchNode = findClosest(searchNode, i, num);
                if (searchNode.next[i]!=null && searchNode.next[i].value == num){
                    //找到该层中该节点
                    searchNode.next[i] = searchNode.next[i].next[i];
                    flag = true;
                    continue;
                }
            }
            return flag;
        }

        /**
         * 找到level层 value 大于node 的节点
         */
        private Node findClosest(Node node,int levelIndex,int value){
            while ((node.next[levelIndex])!=null && value >node.next[levelIndex].value){
                node = node.next[levelIndex];
            }
            return node;
        }


        /**
         * 随机一个层数
         */
        private static int randomLevel(){
            int level = 1;
            while (Math.random()<DEFAULT_P_FACTOR && level<DEFAULT_MAX_LEVEL){
                level ++ ;
            }
            return level;
        }


        class Node{
            Integer value;
            Node[] next;

            public Node(Integer value,int size) {
                this.value = value;
                this.next = new Node[size];
            }

            
            public String toString() {
                return String.valueOf(value);
            }
        }

    }