高等数学考研笔记(六):积分学(下)

  • 二重积分:
    • 定义:
      在这里插入图片描述
  • 二重积分中值定理

    • 中值定理:若函数 f ( x , y ) , g ( x , y ) f(x,y),g(x,y) f(x,y),g(x,y)在D上连续,且 g ( x , y ) g(x,y) g(x,y)在D上不变号,则存在 ( a , b ) ∈ D (a,b)\in D (a,b)D,使得:
      ∬ D f ( x , y ) g ( x , y ) d x d y = f ( a , b ) ∬ g ( x , y ) d x d y \iint\limits_Df(x,y)g(x,y)dxdy=f(a,b)\iint g(x,y)dxdy Df(x,y)g(x,y)dxdy=f(a,b)g(x,y)dxdy
      ⇒ \Rightarrow 特别地,当 g ( x , y ) = 1 g(x,y)=1 g(x,y)=1时,有:
      ∬ D f ( x , y ) g ( x , y ) d x d y = f ( a , b ) × S D \iint\limits_Df(x,y)g(x,y)dxdy=f(a,b)\times S_D Df(x,y)g(x,y)dxdy=f(a,b)×SD

    • 二重积分计算方法:

      • 累次积分法:(仅以先对y积分,再对x积分为例,反之类似)

        设闭区间 D = { ( x , y ) ∣ φ 1 ( x ) ≤ y ≤ φ 2 ( x ) , a ≤ x ≤ b } D = \{(x,y)|\varphi_1(x)\le y \le \varphi_2(x),a\le x\le b\} D={(x,y)φ1(x)yφ2(x),axb},则:
        ∬ D f ( x , y ) d x d y = ∫ a b d x ∫ φ 1 ( x ) φ 2 ( x ) f ( x , y ) d y \iint\limits_{D}f(x,y)dxdy = \int_a^bdx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)dy Df(x,y)dxdy=abdxφ1(x)φ2(x)f(x,y)dy

      • 换元积分法:

        设函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在D上连续,函数 x = x ( u , v ) , y = y ( u , v ) x=x(u,v),y=y(u,v) x=x(u,v),y=y(u,v)在D’上连续可微且与D上点一一对应,且雅克比行列式:
        J ( u , v ) = D ( x , y ) D ( u , v ) ≠ 0 J(u,v) = \cfrac{D(x,y)}{D(u,v)}\neq 0 J(u,v)=D(u,v)D(x,y)=0
        则有:
        ∬ D f ( x , y ) d x d y = ∬ D ′ f ( x ( u , v ) , y ( u , v ) ) × ∣ J ( u , v ) ∣ d u d v \iint\limits_{D}f(x,y)dxdy = \iint\limits_{D'}f(x(u,v),y(u,v))\times|J(u,v)|dudv Df(x,y)dxdy=Df(x(u,v),y(u,v))×J(u,v)dudv
        ⇒ \Rightarrow 常见的变换有:

        • 极坐标变换:若 x = ρ c o s θ , y = ρ s i n θ x = \rho cos\theta,y = \rho sin\theta x=ρcosθ,y=ρsinθ,则:
          d x d y = ∣ D ( x , y ) D ( ρ , θ ) ∣ d ρ d θ = ρ d ρ d θ dxdy = |\cfrac{D(x,y) }{ D(ρ,θ)}|dρdθ = ρdρdθ dxdy=D(ρ,θ)D(x,y)dρdθ=ρdρdθ

        • 广义极坐标变换:若 x = a ρ c o s θ , y = b ρ s i n θ x = a\rho cos\theta,y = b\rho sin\theta x=aρcosθ,y=bρsinθ,则:
          d x d y = ∣ D ( x , y ) D ( ρ , θ ) ∣ d ρ d θ = a b ρ d ρ d θ dxdy = |\cfrac{D(x,y) }{ D(ρ,θ)}|dρdθ = abρdρdθ dxdy=D(ρ,θ)D(x,y)dρdθ=abρdρdθ

        • 利用对称性和奇偶性

          • 若积分域 D D D关于 y y y轴对称,被积函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)关于 x x x有奇偶性:

          ∬ D f ( x , y ) d x d y = { 2 ∬ D 1 f ( x , y ) d x d y , f ( x , y ) 关 于 x 是 偶 函 数 0 , f ( x , y ) 关 于 x 是 奇 函 数 \iint\limits_{D}f(x,y)dxdy = \begin{cases}2\iint\limits_{D_1}f(x,y)dxdy,&f(x,y)关于x是偶函数\\0,&f(x,y)关于x是奇函数\end{cases} Df(x,y)dxdy=2D1f(x,y)dxdy,0,f(x,y)xf(x,y)x

          其中, D 1 D_1 D1 D D D y y y轴右侧的部分;若积分 D D D关于 x x x轴对称,被积函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)关于 y y y有奇偶性同理可得;

          • 若积分域 D D D关于 x 、 y x、y xy轴均对称,被积函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)关于 x 、 y x、y xy均有奇偶性:
            ∬ D f ( x , y ) d x d y = { 4 ∬ D 1 f ( x , y ) d x d y , f ( x , y ) 关 于 x , y 是 偶 函 数 0 , f ( x , y ) 关 于 x , y 是 奇 函 数 \iint\limits_{D}f(x,y)dxdy = \begin{cases}4\iint\limits_{D_1}f(x,y)dxdy,&f(x,y)关于x,y是偶函数\\0,&f(x,y)关于x,y是奇函数\end{cases} Df(x,y)dxdy=4D1f(x,y)dxdy,0,f(x,y)x,yf(x,y)x,y
            其中, D 1 D_1 D1 D D D在第一象限的部分;

          • 若积分域 D D D关于直线 y = x y=x y=x对称,则有轮换对称性:
            ∬ D f ( x , y ) d x d y = ∬ D f ( y , x ) d x d y = 1 2 ∬ D [ f ( x , y ) + f ( y , x ) ] d x d y \iint\limits_{D}f(x,y)dxdy = \iint\limits_{D}f(y,x)dxdy = \cfrac{1}{2}\iint\limits_{D}[f(x,y)+f(y,x)]dxdy Df(x,y)dxdy=Df(y,x)dxdy=21D[f(x,y)+f(y,x)]dxdy

  • 三重积分:
    • 定义:
      在这里插入图片描述

    • 三重积分计算方法:

      • 累次积分法:

        • 先对积分区域任意一条平行于z轴的直线进行积分,再对xy投影面进行积分:(简称先一后二
          设:闭区域 Ω = { ( x , y , z ) ∣ z 1 ( x , y ) ≤ z ≤ z 2 ( x , y ) , ( x , y ) ∈ D } \Omega = \{(x,y,z)|z_1(x,y)\le z\le z_2(x,y),(x,y)\in D\} Ω={(x,y,z)z1(x,y)zz2(x,y),(x,y)D},则:
          ∭ Ω f ( x , y , z ) d x d y d z = ∬ D d x d y ∫ z 1 z 2 f ( x , y , z ) d z \iiint\limits_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz = \iint\limits_{D}dxdy\int_{z_1}^{z_2}f(x,y,z)dz Ωf(x,y,z)dxdydz=Ddxdyz1z2f(x,y,z)dz

        • 先对积分区域任意一个z轴的法切面进行积分,再对z轴进行积分:(简称先二后一

          设:闭区域 Ω = { ( x , y , z ) ∣ ( x , y ) ∈ D ( z ) , a ≤ z ≤ b } \Omega = \{(x,y,z)|(x,y)\in D(z),a\le z\le b \} Ω={(x,y,z)(x,y)D(z),azb},则:
          ∭ Ω f ( x , y , z ) d x d y d z = ∫ a b d z ∬ D ( z ) f ( x , y , z ) d x d y \iiint\limits_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz = \int_{a}^{b}dz\iint\limits_{D(z)}f(x,y,z)dxdy Ωf(x,y,z)dxdydz=abdzD(z)f(x,y,z)dxdy

      • 换元积分法:

        设函数 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z) Ω \Omega Ω上连续,函数 x = x ( u , v , w ) , y = y ( u , v , w ) , z = z ( u , v , w ) x=x(u,v,w),y=y(u,v,w),z=z(u,v,w) x=x(u,v,w),y=y(u,v,w),z=z(u,v,w) Ω ′ \Omega' Ω上连续可微且与 Ω \Omega Ω上点一一对应,且雅克比行列式:
        J ( u , v , w ) = D ( x , y , z ) D ( u , v , w ) ≠ 0 J(u,v,w) = \cfrac{D(x,y,z)}{D(u,v,w)} \neq 0 J(u,v,w)=D(u,v,w)D(x,y,z)=0
        则有:
        ∭ Ω f ( x , y , z ) d x d y d z = ∭ Ω ′ f ( x ( u , v , w ) , y ( u , v , w ) , z ( u , v , w ) ) × ∣ J ( u , v , w ) ∣ d u d v d w \iiint\limits_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz = \iiint\limits_{\Omega'}f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))\times |J(u,v,w)|dudvdw Ωf(x,y,z)dxdydz=Ωf(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))×J(u,v,w)dudvdw

        ⇒ \Rightarrow 常见的变换有:

        • 柱坐标变换:若 x = ρ c o s θ , y = ρ s i n θ , z = z x = \rho cos\theta,y = \rho sin\theta,z=z x=ρcosθ,y=ρsinθ,z=z,则:
          d x d y d z = ∣ D ( x , y , z ) D ( ρ , θ , z ) ∣ d ρ d θ d z = ρ d ρ d θ d z dxdydz = |\cfrac{D(x,y,z) }{ D(ρ,θ,z)}|dρdθdz = ρdρdθdz dxdydz=D(ρ,θ,z)D(x,y,z)dρdθdz=ρdρdθdz
        • 球坐标变换:若 x = r s i n φ c o s θ , y = r s i n φ s i n θ , z = r c o s φ x = rsin\varphi cos\theta ,y = rsin\varphi sin\theta ,z = r cos\varphi x=rsinφcosθ,y=rsinφsinθ,z=rcosφ,则:
          d x d y d z = ∣ D ( x , y , z ) D ( r , θ , φ ) ∣ d r d θ d φ = r 2 s i n φ d r d θ d φ dxdydz = |\cfrac{D(x,y,z) }{ D(r,\theta,\varphi)}|drdθd\varphi = r^2sin\varphi drdθd\varphi dxdydz=D(r,θ,φ)D(x,y,z)drdθdφ=r2sinφdrdθdφ
        • 广义球坐标变换:若 x = a r s i n φ c o s θ , y = b r s i n φ s i n θ , z = c r c o s φ x = arsin\varphi cos\theta ,y = brsin\varphi sin\theta ,z = cr cos\varphi x=arsinφcosθ,y=brsinφsinθ,z=crcosφ,则:
          d x d y d z = ∣ D ( x , y , z ) D ( r , θ , φ ) ∣ d r d θ d φ = a b c r 2 s i n φ d r d θ d φ dxdydz = |\cfrac{D(x,y,z) }{ D(r,\theta,\varphi)}|drdθd\varphi = abcr^2sin\varphi drdθd\varphi dxdydz=D(r,θ,φ)D(x,y,z)drdθdφ=abcr2sinφdrdθdφ
      • 利用对称性和奇偶性

        • 若积分域 Ω \Omega Ω关于 x O y xOy xOy坐标面对称,被积函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)关于 z z z有奇偶性:
          ∭ Ω f ( x , y , z ) d V = { 2 ∬ Ω 1 f ( x , y , z ) d V , f ( x , y , z ) 关 于 z 是 偶 函 数 0 , f ( x , y , z ) 关 于 z 是 奇 函 数 \iiint\limits_{\Omega}f(x,y,z)dV = \begin{cases}2\iint\limits_{\Omega_1}f(x,y,z)dV,&f(x,y,z)关于z是偶函数\\0,&f(x,y,z)关于z是奇函数\end{cases} Ωf(x,y,z)dV=2Ω1f(x,y,z)dV,0,f(x,y,z)zf(x,y,z)z
          其中, Ω 1 \Omega_1 Ω1 Ω \Omega Ω z z z轴上方的部分;当积分域 Ω \Omega Ω关于 y O z yOz yOz x O z xOz xOz坐标面对称,被积函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)关于 x x x y y y有奇偶性时同理可得;

        • 若积分域 Ω \Omega Ω x x x y y y具有轮换对称性,则:
          ∭ Ω f ( x , y , z ) d V = ∬ Ω f ( y , x , z ) d V \iiint\limits_{\Omega}f(x,y,z)dV = \iint\limits_{\Omega}f(y,x,z)dV Ωf(x,y,z)dV=Ωf(y,x,z)dV

  • 曲线积分:
    • 第一类曲线积分(对弧长的曲线积分):

      • 定义:
        在这里插入图片描述

        ⇒ \Rightarrow 无向性:第一类曲线积分不依赖于积分曲线的走向,即: ∫ A B f d s = ∫ B A f d s \int_{AB}fds = \int_{BA}fds ABfds=BAfds

      • 平面曲线积分的计算公式:

        ① 直角坐标: ∫ C f ( x , y ) d s = ∫ a b f ( x , y ) 1 + ( y x ′ ) 2 d x ∫_Cf(x,y)ds = ∫_a^bf(x,y)\sqrt{1+(y'_x)^2} dx Cf(x,y)ds=abf(x,y)1+(yx)2 dx

        ② 参数坐标: ∫ C f ( x , y ) d s = ∫ t 1 t 2 f ( x ( t ) , y ( t ) ) x ′ ( t ) 2 + y ′ ( t ) 2 d t ∫_Cf(x,y)ds =∫_{t_1}^{t_2}f(x(t),y(t))\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2} dt Cf(x,y)ds=t1t2f(x(t),y(t))x(t)2+y(t)2 dt

        ③ 极坐标: ∫ C f ( x , y ) d s = ∫ θ 1 θ 2 f ( r c o s θ , r s i n θ ) r ( θ ) 2 + r ′ ( θ ) 2 d θ ∫_Cf(x,y)ds = ∫_{θ1}^{θ_2}f(rcosθ,rsinθ)\sqrt{r(θ)^2+r'(θ)^2}dθ Cf(x,y)ds=θ1θ2f(rcosθ,rsinθ)r(θ)2+r(θ)2 dθ

      • 空间曲线积分的计算公式:

        ① 参数坐标: ∫ C f ( x , y , z ) d s = ∫ t 1 t 2 f ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) x ′ ( t ) 2 + y ′ ( t ) 2 + z ′ ( t ) 2 d t ∫_Cf(x,y,z)ds =∫_{t_1}^{t_2}f(x(t),y(t),z(t))\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2} dt Cf(x,y,z)ds=t1t2f(x(t),y(t),z(t))x(t)2+y(t)2+z(t)2 dt

        ② 直角坐标 / 极坐标:一般需要化为参数坐标,再代入公式①进行计算;

        ⇒ \Rightarrow 从空间曲线的一般式方程化为参数方程的方法:一般联立先消去某个变量 z z z,得到在坐标面 x O y xOy xOy上的投影曲线,写出其参数方程,再带回原来的一般式方程,求解 z z z的参数表达式,即可;

      • 利用对称性和奇偶性,理同二重积分;

    • 第二类曲线积分:(对坐标的曲线积分):

      • 定义:

      在这里插入图片描述

      ⇒ \Rightarrow 有向性:第二类曲线积分依赖于积分曲线的走向,且有: ∫ A B f d s = − ∫ B A f d s \int_{AB}fds = -\int_{BA}fds ABfds=BAfds

      • 平面曲线积分的计算公式:

        ① 直角坐标: ∫ C P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = ∫ C [ P ( x , y ( x ) ) + Q ( x , y ( x ) ) y ′ ( x ) ] d x ∫_CP(x,y)dx+Q(x,y)dy = ∫_C[P(x,y(x)) + Q(x,y(x))y'(x)]dx CP(x,y)dx+Q(x,y)dy=C[P(x,y(x))+Q(x,y(x))y(x)]dx

        ② 参数坐标: ∫ C P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = ∫ t 1 t 2 [ P ( x ( t ) , y ( t ) ) x ′ ( t ) + Q ( x ( t ) , y ( t ) ) y ′ ( t ) ] d t ∫_CP(x,y)dx+Q(x,y)dy = ∫_{t_1}^{t_2}[P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t)]dt CP(x,y)dx+Q(x,y)dy=t1t2[P(x(t),y(t))x(t)+Q(x(t),y(t))y(t)]dt

        ③ 极坐标:一般化为参数坐标或直角坐标,再代入公式②或①进行计算

      • 空间曲线积分的计算公式:

        ① 参数坐标:
        ∫ C P ( x , y , z ) d x + Q ( x , y , z ) d y + R ( x , y , z ) d z = ∫ t 1 t 2 [ P ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) x ′ ( t ) + Q ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) y ′ ( t ) + R ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) z ′ ( t ) ] d t ∫_CP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz =\\∫_{t_1}^{t_2}[P(x(t),y(t),z(t))x'(t)+Q(x(t),y(t),z(t))y'(t)+R(x(t),y(t),z(t))z'(t) ]dt CP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=t1t2[P(x(t),y(t),z(t))x(t)+Q(x(t),y(t),z(t))y(t)+R(x(t),y(t),z(t))z(t)]dt
        ② 直角坐标 / 极坐标:一般需要化为参数坐标,再代入公式①进行计算;

    • 两类曲线积分的转化:

      • 平面曲线积分:
        ∫ C P d x + Q d y = ∫ C ( P c o s α + Q c o s β ) d s \int_CPdx+Qdy = \int_C(Pcos\alpha+Qcos\beta)ds CPdx+Qdy=C(Pcosα+Qcosβ)ds
        ⇒ \Rightarrow ( c o s α , c o s β ) (cos\alpha,cos\beta) (cosα,cosβ)为C上点(x,y)处的单位切向量,方向与积分曲线方向一致;

        ⇒ \Rightarrow c o s α = c o s β = C cos\alpha = cos\beta = C cosα=cosβ=C,则将第二类曲线积分转化为第一类曲线积分有时更方便;

      • 空间曲线积分:
        ∫ C P d x + Q d y + R d z = ∫ C ( P c o s α + Q c o s β + R c o s γ ) d s \int_CPdx+Qdy+Rdz = \int_C(Pcos\alpha+Qcos\beta+Rcos\gamma)ds CPdx+Qdy+Rdz=C(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds
        ⇒ \Rightarrow ( c o s α , c o s β , c o s γ ) (cos\alpha,cos\beta,cos\gamma) (cosα,cosβ,cosγ)为C上点(x,y,z)处的单位切向量,方向与积分曲线方向一致;

    • 曲线积分与积分路径无关的充要条件

      • 对于平面曲线积分:

        设D为一单连通平面区域,函数P,Q在D内有连续可偏导,则 ∫ C P d x + Q d y \int_CPdx+Qdy CPdx+Qdy在D内与路径无关的充要条件为:
        ∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x \cfrac{\partial P}{\partial y} = \cfrac{\partial Q}{\partial x} yP=xQ

      • 对于空间曲线积分:

        设S为一单连通空间区域,函数P,Q,R在S内有连续可偏导,则 ∫ C P d x + Q d y + R d z \int_CPdx+Qdy+Rdz CPdx+Qdy+Rdz在V内与路径无关的充要条件为:
        ∂ R ∂ y = ∂ Q ∂ z , ∂ P ∂ z = ∂ R ∂ x , ∂ Q ∂ x = ∂ P ∂ y \cfrac{\partial R}{\partial y} = \cfrac{\partial Q}{\partial z},\cfrac{\partial P}{\partial z} = \cfrac{\partial R}{\partial x},\cfrac{\partial Q}{\partial x} = \cfrac{\partial P}{\partial y} yR=zQ,zP=xR,xQ=yP

      ⇒ \Rightarrow 存在奇点(设为原点),则若满足上述条件,不一定与路径无关,但有:

      ​ ① 沿着任何一条不包含原点在内的分段光滑闭曲线的积分为零;

      ​ ② 沿着任何一条包含原点在内的分段光滑闭曲线的积分相等;

      ​ ③ 因此此时若仍满足积分与路径无关,则要求②中积分亦为零;

    • 对平面曲线积分的格林公式

      设有界闭区域D是由逐段光滑正向曲线C围成,函数P,Q在D内有连续可偏导,则:
      ∮ C P d x + Q d y = ∬ D ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x d y \oint_C Pdx+Qdy = \iint\limits_{D}( \cfrac{\partial Q}{\partial x}-\cfrac{\partial P}{\partial y})dxdy CPdx+Qdy=D(xQyP)dxdy
      ⇒ \Rightarrow 格林公式是平面积分和平面曲线积分之间的连接桥梁,也可看作“二维版”的牛顿-莱布尼兹公式

    • 对空间曲线积分的斯托克斯公式

      设分片光滑的有向曲面S的正向边界C为逐段光滑的有向闭曲线,函数P,Q,R在S内有连续可偏导,则:
      ∮ C P d x + Q d y + R d z = ∬ S ( ∂ R ∂ y − ∂ Q ∂ z ) d y d z + ( ∂ P ∂ z − ∂ R ∂ x ) d z d x + ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x d y \oint_C Pdx+Qdy+Rdz = \iint\limits_{S}( \cfrac{\partial R}{\partial y}-\cfrac{\partial Q}{\partial z})dydz+( \cfrac{\partial P}{\partial z}-\cfrac{\partial R}{\partial x})dzdx+( \cfrac{\partial Q}{\partial x}-\cfrac{\partial P}{\partial y})dxdy CPdx+Qdy+Rdz=S(yRzQ)dydz+(zPxR)dzdx+(xQyP)dxdy
      另有行列式写法:
      ∮ C P d x + Q d y + R d z = ∬ S ∣ d y d z d z d x d x d y ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R ∣ \oint_C Pdx+Qdy+Rdz = \iint\limits_{S}\left| \begin{matrix} dydz & dzdx & dxdy\\ \cfrac{\partial }{\partial x} & \cfrac{\partial }{\partial y} & \cfrac{\partial }{\partial z}\\ P & Q & R \end{matrix}\right| CPdx+Qdy+Rdz=SdydzxPdzdxyQdxdyzR

      ⇒ \Rightarrow 斯托克斯公式是曲面积分和空间曲线积分之间的连接桥梁,也可看作“弯曲版”的格林公式;

  • 曲面积分:
    • 第一类曲面积分:(对曲面面积的积分)

      • 定义:

        在这里插入图片描述

      • 第一类曲面积分的计算公式:

        • 直角方程: ∬ S f ( x , y , z ) d S = ∬ D x y f ( x , y , z ( x , y ) ) 1 + z x ′ 2 + z y ′ 2 d x d y \iint_Sf(x,y,z)dS =\iint_{D_{xy}}f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x'^2+z_y'^2}dxdy Sf(x,y,z)dS=Dxyf(x,y,z(x,y))1+zx2+zy2 dxdy

        • 参数方程: ∬ S f ( x , y , z ) d S = ∬ D u v f ( x ( u , v ) , y ( u , v ) , z ( u , v ) ) E G − F 2 d u d v \iint_Sf(x,y,z)dS = \iint_{D_{uv}}f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\sqrt{EG-F^2}dudv Sf(x,y,z)dS=Duvf(x(u,v),y(u,v),z(u,v))EGF2 dudv

          其中: E = r u ′ ⋅ r u ′ , G = r v ′ ⋅ r v ′ , F = r u ′ ⋅ r v ′ E = r_u'\cdot r_u', G = r_v'\cdot r_v', F = r_u'\cdot r_v' E=ruru,G=rvrv,F=rurv r = ( x ( u , v ) , y ( u , v ) , z ( u , v ) ) r = (x(u,v),y(u,v),z(u,v)) r=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))

        • 利用对称性和奇偶性,理同三重积分;

    • 第二类曲面积分:(对坐标平面的曲面积分)

      • 定义:

      在这里插入图片描述

      • 第二类曲面积分的计算公式:

        • 参数方程:

          ∬ S P ( x , y , z ) d y d z + Q ( x , y , z ) d z d x + R ( x , y , z ) d x d y = ∬ D u v [ P A + Q B + R C ] d u d v \iint_SP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy = \iint_{D_{uv}}[PA+QB+RC]dudv SP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy=Duv[PA+QB+RC]dudv

          其中: ( A , B , C ) = r u ′ × r v ′ (A,B,C) = r_u'\times r_v' (A,B,C)=ru×rv r = ( x ( u , v ) , y ( u , v ) , z ( u , v ) ) r = (x(u,v),y(u,v),z(u,v)) r=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))

        • 直角方程: ∬ S P ( x , y , z ) d y d z + Q ( x , y , z ) d z d x + R ( x , y , z ) d x d y = ± ∬ D x y [ P ( − z x ′ ) + Q ( − z y ′ ) + R ] d x d y \iint_SP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy =\pm\iint_{D_{xy}}[P(-z_x')+Q(-z_y')+R]dxdy SP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy=±Dxy[P(zx)+Q(zy)+R]dxdy

        其中的正负号有S的定向决定,法向量指向上侧时为正,反之为负(仅以 X Y \rm XY XY平面为坐标投影面为例;同理,若以 X Z \rm XZ XZ平面为坐标投影面,则法向量指向右侧为正,反之为负;若以 Y Z \rm YZ YZ平面为坐标投影面,则法向量指向前侧为正,反之为负)

    • 两类曲面积分的转化:
      ∬ S P d y d z + Q d z d x + R d x d y = ∬ S ( P c o s α + Q c o s β + R cos ⁡ γ ) d S \iint\limits_{S}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy = \iint\limits_{S}(Pcos\alpha+Qcos\beta+R\cos\gamma)dS SPdydz+Qdzdx+Rdxdy=S(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dS
      ⇒ \Rightarrow ( c o s α , c o s β , c o s γ ) (cos\alpha,cos\beta,cos\gamma) (cosα,cosβ,cosγ)为有向曲面S上点(x,y,z)处的单位法向量;

      ⇒ \Rightarrow c o s α = c o s β = c o s γ = C cos\alpha = cos\beta= cos\gamma= C cosα=cosβ=cosγ=C,则将第二类曲面积分转化为第一类曲面积分有时更方便;

    • 对曲面积分的高斯公式

      设有界闭区域V是由分片光滑的闭曲面S(均取外侧)围成,函数P,Q,R在V内有连续可偏导,则:
      ∯ S P d y d z + Q d z d x + R d x d y = ∭ V ( ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z ) d V \oiint\limits_{S}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy = \iiint\limits_{V}(\cfrac{\partial P}{\partial x}+\cfrac{\partial Q}{\partial y}+\cfrac{\partial R}{\partial z})dV S Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=V(xP+yQ+zR)dV
      ⇒ \Rightarrow 高斯公式是三重积分和曲面积分之间的连接桥梁,也可看作“三维版”的格林公式;

  • 场论:
    • 数量场的梯度

      设有数量场 u = f ( x , y , z ) u = f(x,y,z) u=f(x,y,z),有向量场:
      g r a d f = ∇ f = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z k grad f = \nabla f = \cfrac{\partial f}{\partial x}i+\cfrac{\partial f}{\partial y}j+\cfrac{\partial f}{\partial z}k gradf=f=xfi+yfj+zfk
      每个数量场f都有一个梯度场gradf与之对应,称,每一点处梯度的方向是变化率最大的方向。

    • 向量场的散度

      设有向量场:
      A ( x , y , z ) = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k A(x,y,z) = P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k
      有数量场:
      d i v A = ∇ ⋅ A = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z div A = \nabla \cdot A = \cfrac{\partial P}{\partial x}+\cfrac{\partial Q}{\partial y}+\cfrac{\partial R}{\partial z} divA=A=xP+yQ+zR

  • 向量场的旋度

    设有向量场:
    A ( x , y , z ) = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k A(x,y,z) = P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k
    有向量场:
    r o t A = ∇ × A = ∣ i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R ∣ = ( ∂ R ∂ y − ∂ Q ∂ z ) i + ( ∂ P ∂ z − ∂ R ∂ x ) j + ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) k rot A = \nabla \times A = \left| \begin{matrix} i & j & k\\ \cfrac{\partial }{\partial x} & \cfrac{\partial }{\partial y} & \cfrac{\partial }{\partial z}\\ P & Q & R \end{matrix}\right| = (\cfrac{\partial R}{\partial y}-\cfrac{\partial Q}{\partial z})i+( \cfrac{\partial P}{\partial z}-\cfrac{\partial R}{\partial x})j+( \cfrac{\partial Q}{\partial x}-\cfrac{\partial P}{\partial y})k rotA=×A=ixPjyQkzR=(yRzQ)i+(zPxR)j+(xQyP)k

  • 场论形式的斯托克斯公式:

    ∮ C A d r = ∬ S r o t A ⋅ n d S \oint_C Adr = \iint_S rot A\cdot n dS CAdr=SrotAndS,其中: r = ( x , y , z ) , n = ( c o s α , c o s β , c o s γ ) r=(x,y,z),n = (cos\alpha,cos\beta,cos\gamma) r=(x,y,z),n=(cosα,cosβ,cosγ)

  • 场论形式的高斯公式:

    ∯ S A ⋅ n d S = ∭ V d i v A d V \oiint_S A\cdot ndS = \iiint_V div A dV SAndS=VdivAdV,其中: n = ( c o s α , c o s β , c o s γ ) n = (cos\alpha,cos\beta,cos\gamma) n=(cosα,cosβ,cosγ)



Logo

旨在为数千万中国开发者提供一个无缝且高效的云端环境,以支持学习、使用和贡献开源项目。

更多推荐