高等数学考研笔记（六）：积分学（下）

• 二重积分：

  • 定义：
    

• 二重积分中值定理：

  • 中值定理：若函数$f(x,y),g(x,y)$在D上连续，且$g(x,y)$在D上不变号，则存在$(a,b)\in D$，使得：
    $$\underset{D}{\iint }f(x,y)g(x,y)dxdy=f(a,b)\iint g(x,y)dxdy$$
    $\Rightarrow$ 特别地，当$g(x,y)=1$时，有：
    $$\underset{D}{\iint }f(x,y)g(x,y)dxdy=f(a,b)\times S_D$$

  • 二重积分计算方法：

    • 累次积分法：（仅以先对y积分，再对x积分为例，反之类似）

      设闭区间 D = { ( x , y ) ∣ φ 1 ( x ) ≤ y ≤ φ 2 ( x ) , a ≤ x ≤ b } D = \{(x,y)|\varphi_1(x)\le y \le \varphi_2(x),a\le x\le b\} D={(x,y)∣φ1​(x)≤y≤φ2​(x),a≤x≤b}，则：
      $$\underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy={\int }_a^{b}dx{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(x,y)dy$$

    • 换元积分法：

      设函数$f(x,y)$在D上连续，函数$x=x(u,v),y=y(u,v)$在D’上连续可微且与D上点一一对应，且雅克比行列式：
      $$J(u,v)=\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\ne 0$$
      则有：
      $$\underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy=\underset{D^{\prime }}{\iint }f(x(u,v),y(u,v))\times |J(u,v)|dudv$$
      $\Rightarrow$ 常见的变换有：

      • 极坐标变换：若$x=\rho cos\theta ,y=\rho sin\theta$，则：
        $dxdy=|\frac{D(x,y)}{D(\rho ,\theta )}|d\rho d\theta =\rho d\rho d\theta$

      • 广义极坐标变换：若$x=a\rho cos\theta ,y=b\rho sin\theta$，则：
        $dxdy=|\frac{D(x,y)}{D(\rho ,\theta )}|d\rho d\theta =ab\rho d\rho d\theta$

      • 利用对称性和奇偶性：

        • 若积分域$D$关于$y$轴对称，被积函数$f(x,y)$关于$x$有奇偶性：

        $$\underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy=\{\begin{array}{ll}2\underset{D_1}{\iint }f(x,y)dxdy,& f(x,y)关于x是偶函数\\ 0,& f(x,y)关于x是奇函数\end{array}$$

        其中，$D_1$是$D$在$y$轴右侧的部分；若积分$D$关于$x$轴对称，被积函数$f(x,y)$关于$y$有奇偶性同理可得；

        • 若积分域$D$关于$x、y$轴均对称，被积函数$f(x,y)$关于$x、y$均有奇偶性：
          $$\underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy=\{\begin{array}{ll}4\underset{D_1}{\iint }f(x,y)dxdy,& f(x,y)关于x,y是偶函数\\ 0,& f(x,y)关于x,y是奇函数\end{array}$$
          其中，$D_1$是$D$在第一象限的部分；

        • 若积分域$D$关于直线$y=x$对称，则有轮换对称性：
          $$\underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy=\underset{D}{\iint }f(y,x)dxdy=\frac{1}{2}\underset{D}{\iint }[f(x,y)+f(y,x)]dxdy$$

• 三重积分：

  • 定义：
    

  • 三重积分计算方法：

    • 累次积分法：

      • 先对积分区域任意一条平行于z轴的直线进行积分，再对xy投影面进行积分：（简称先一后二）
        设：闭区域 Ω = { ( x , y , z ) ∣ z 1 ( x , y ) ≤ z ≤ z 2 ( x , y ) , ( x , y ) ∈ D } \Omega = \{(x,y,z)|z_1(x,y)\le z\le z_2(x,y),(x,y)\in D\} Ω={(x,y,z)∣z1​(x,y)≤z≤z2​(x,y),(x,y)∈D}，则：
        $$\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dxdydz=\underset{D}{\iint }dxdy{\int }_{z_1}^{z_2}f(x,y,z)dz$$

      • 先对积分区域任意一个z轴的法切面进行积分，再对z轴进行积分：（简称先二后一）

        设：闭区域 Ω = { ( x , y , z ) ∣ ( x , y ) ∈ D ( z ) , a ≤ z ≤ b } \Omega = \{(x,y,z)|(x,y)\in D(z),a\le z\le b \} Ω={(x,y,z)∣(x,y)∈D(z),a≤z≤b}，则：
        $$\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dxdydz={\int }_a^{b}dz\underset{D(z)}{\iint }f(x,y,z)dxdy$$

    • 换元积分法：

      设函数$f(x,y,z)$在$\Omega$上连续，函数$x=x(u,v,w),y=y(u,v,w),z=z(u,v,w)$在${\Omega }^{\prime }$上连续可微且与$\Omega$上点一一对应，且雅克比行列式：
      $$J(u,v,w)=\frac{D(x,y,z)}{D(u,v,w)}\ne 0$$
      则有：
      $$\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dxdydz=\underset{{\Omega }^{\prime }}{\iiint }f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))\times |J(u,v,w)|dudvdw$$

      $\Rightarrow$ 常见的变换有：

      • 柱坐标变换：若$x=\rho cos\theta ,y=\rho sin\theta ,z=z$，则：
        $dxdydz=|\frac{D(x,y,z)}{D(\rho ,\theta ,z)}|d\rho d\theta dz=\rho d\rho d\theta dz$
      • 球坐标变换：若$x=rsin\phi cos\theta ,y=rsin\phi sin\theta ,z=rcos\phi$，则：
        $dxdydz=|\frac{D(x,y,z)}{D(r,\theta ,\phi )}|drd\theta d\phi =r^{2}sin\phi drd\theta d\phi$
      • 广义球坐标变换：若$x=arsin\phi cos\theta ,y=brsin\phi sin\theta ,z=crcos\phi$，则：
        $dxdydz=|\frac{D(x,y,z)}{D(r,\theta ,\phi )}|drd\theta d\phi =abc{r}^{2}sin\phi drd\theta d\phi$

    • 利用对称性和奇偶性：

      • 若积分域$\Omega$关于$xOy$坐标面对称，被积函数$f(x,y)$关于$z$有奇偶性：
        $$\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dV=\{\begin{array}{ll}2\underset{{\Omega }_1}{\iint }f(x,y,z)dV,& f(x,y,z)关于z是偶函数\\ 0,& f(x,y,z)关于z是奇函数\end{array}$$
        其中，${\Omega }_1$是$\Omega$在$z$轴上方的部分；当积分域$\Omega$关于$yOz$、$xOz$坐标面对称，被积函数$f(x,y)$关于$x$、$y$有奇偶性时同理可得；

      • 若积分域$\Omega$中$x$、$y$具有轮换对称性，则：
        $$\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dV=\underset{\Omega }{\iint }f(y,x,z)dV$$

• 曲线积分：

  • 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：

    • 定义：
      

      $\Rightarrow$ 无向性：第一类曲线积分不依赖于积分曲线的走向，即：${\int }_{AB}fds={\int }_{BA}fds$

    • 对平面曲线积分的计算公式：

      ① 直角坐标：${\int }_{C}f(x,y)ds={\int }_a^{b}f(x,y)\sqrt{1+(y_x^{\prime }{)}^2}dx$

      ② 参数坐标：${\int }_{C}f(x,y)ds={\int }_{t_1}^{t_2}f(x(t),y(t))\sqrt{x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2}dt$

      ③ 极坐标：${\int }_{C}f(x,y)ds={\int }_{\theta 1}^{{\theta }_2}f(rcos\theta ,rsin\theta )\sqrt{r(\theta {)}^2+r^{\prime }(\theta {)}^2}d\theta$

    • 对空间曲线积分的计算公式：

      ① 参数坐标：${\int }_{C}f(x,y,z)ds={\int }_{t_1}^{t_2}f(x(t),y(t),z(t))\sqrt{x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2+z^{\prime }(t{)}^2}dt$

      ② 直角坐标 / 极坐标：一般需要化为参数坐标，再代入公式①进行计算；

      $\Rightarrow$ 从空间曲线的一般式方程化为参数方程的方法：一般联立先消去某个变量$z$，得到在坐标面$xOy$上的投影曲线，写出其参数方程，再带回原来的一般式方程，求解$z$的参数表达式，即可；

    • 利用对称性和奇偶性，理同二重积分；

  • 第二类曲线积分：（对坐标的曲线积分）：

    • 定义：

    

    $\Rightarrow$ 有向性：第二类曲线积分依赖于积分曲线的走向，且有：${\int }_{AB}fds=-{\int }_{BA}fds$

    • 对平面曲线积分的计算公式：

      ① 直角坐标：${\int }_{C}P(x,y)dx+Q(x,y)dy={\int }_C[P(x,y(x))+Q(x,y(x))y^{\prime }(x)]dx$

      ② 参数坐标：${\int }_{C}P(x,y)dx+Q(x,y)dy={\int }_{t_1}^{t_2}[P(x(t),y(t))x^{\prime }(t)+Q(x(t),y(t))y^{\prime }(t)]dt$

      ③ 极坐标：一般化为参数坐标或直角坐标，再代入公式②或①进行计算

    • 对空间曲线积分的计算公式：

      ① 参数坐标：
      $$\begin{gathered} {\int }_{C}P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz= \\ {\int }_{t_1}^{t_2}[P(x(t),y(t),z(t))x^{\prime }(t)+Q(x(t),y(t),z(t))y^{\prime }(t)+R(x(t),y(t),z(t))z^{\prime }(t)]dt \end{gathered}$$
      ② 直角坐标 / 极坐标：一般需要化为参数坐标，再代入公式①进行计算；

  • 两类曲线积分的转化：

    • 对平面曲线积分：
      $${\int }_{C}Pdx+Qdy={\int }_C(Pcos\alpha +Qcos\beta )ds$$
      $\Rightarrow$ $(cos\alpha ,cos\beta )$为C上点(x,y)处的单位切向量，方向与积分曲线方向一致；

      $\Rightarrow$ 若$cos\alpha =cos\beta =C$，则将第二类曲线积分转化为第一类曲线积分有时更方便；

    • 对空间曲线积分：
      $${\int }_{C}Pdx+Qdy+Rdz={\int }_C(Pcos\alpha +Qcos\beta +Rcos\gamma )ds$$
      $\Rightarrow$ $(cos\alpha ,cos\beta ,cos\gamma )$为C上点(x,y,z)处的单位切向量，方向与积分曲线方向一致；

  • 曲线积分与积分路径无关的充要条件：

    • 对于平面曲线积分：

      设D为一单连通平面区域，函数P,Q在D内有连续可偏导，则${\int }_{C}Pdx+Qdy$在D内与路径无关的充要条件为：
      $$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$$

    • 对于空间曲线积分：

      设S为一单连通空间区域，函数P,Q,R在S内有连续可偏导，则${\int }_{C}Pdx+Qdy+Rdz$在V内与路径无关的充要条件为：
      $$\frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial z},\frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$$

    $\Rightarrow$ 若存在奇点（设为原点），则若满足上述条件，不一定与路径无关，但有：

    ​ ① 沿着任何一条不包含原点在内的分段光滑闭曲线的积分为零；

    ​ ② 沿着任何一条包含原点在内的分段光滑闭曲线的积分相等；

    ​ ③ 因此此时若仍满足积分与路径无关，则要求②中积分亦为零；

  • 对平面曲线积分的格林公式：

    设有界闭区域D是由逐段光滑正向曲线C围成，函数P,Q在D内有连续可偏导，则：
    $${\oint }_{C}Pdx+Qdy=\underset{D}{\iint }(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$$
    $\Rightarrow$ 格林公式是平面积分和平面曲线积分之间的连接桥梁，也可看作“二维版”的牛顿-莱布尼兹公式

  • 对空间曲线积分的斯托克斯公式：

    设分片光滑的有向曲面S的正向边界C为逐段光滑的有向闭曲线，函数P,Q,R在S内有连续可偏导，则：
    $${\oint }_{C}Pdx+Qdy+Rdz=\underset{S}{\iint }(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})dzdx+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$$
    另有行列式写法：
    $${\oint }_{C}Pdx+Qdy+Rdz=\underset{S}{\iint }\left|\begin{array}{ccc}dydz& dzdx& dxdy\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|$$

    $\Rightarrow$ 斯托克斯公式是曲面积分和空间曲线积分之间的连接桥梁，也可看作“弯曲版”的格林公式；

• 曲面积分：

  • 第一类曲面积分：（对曲面面积的积分）

    • 定义：

      

    • 第一类曲面积分的计算公式：

      • 直角方程：${\iint }_{S}f(x,y,z)dS={\iint }_{D_{xy}}f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x^{\prime 2}+z_y^{\prime 2}}dxdy$

      • 参数方程：${\iint }_{S}f(x,y,z)dS={\iint }_{D_{uv}}f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\sqrt{EG-F^2}dudv$

        其中：$E=r_u^{\prime }\cdot r_u^{\prime },G=r_v^{\prime }\cdot r_v^{\prime },F=r_u^{\prime }\cdot r_v^{\prime }$，$r=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$

      • 利用对称性和奇偶性，理同三重积分；

  • 第二类曲面积分：（对坐标平面的曲面积分）

    • 定义：

    

    • 第二类曲面积分的计算公式：

      • 参数方程：

        ${\iint }_{S}P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy={\iint }_{D_{uv}}[PA+QB+RC]dudv$

        其中：$(A,B,C)=r_u^{\prime }\times r_v^{\prime }$，$r=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$

      • 直角方程：${\iint }_{S}P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy=\pm {\iint }_{D_{xy}}[P(-z_x^{\prime })+Q(-z_y^{\prime })+R]dxdy$

      其中的正负号有S的定向决定，法向量指向上侧时为正，反之为负（仅以$\mathrm{X}\mathrm{Y}$平面为坐标投影面为例；同理，若以$\mathrm{X}\mathrm{Z}$平面为坐标投影面，则法向量指向右侧为正，反之为负；若以$\mathrm{Y}\mathrm{Z}$平面为坐标投影面，则法向量指向前侧为正，反之为负）

  • 两类曲面积分的转化：
    $$\underset{S}{\iint }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\underset{S}{\iint }(Pcos\alpha +Qcos\beta +R\cos \gamma )dS$$
    $\Rightarrow$ $(cos\alpha ,cos\beta ,cos\gamma )$为有向曲面S上点(x,y,z)处的单位法向量；

    $\Rightarrow$ 若$cos\alpha =cos\beta =cos\gamma =C$，则将第二类曲面积分转化为第一类曲面积分有时更方便；

  • 对曲面积分的高斯公式：

    设有界闭区域V是由分片光滑的闭曲面S（均取外侧）围成，函数P,Q,R在V内有连续可偏导，则：
    $$\underset{S}{\iint }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\underset{V}{\iiint }(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dV$$
    $\Rightarrow$ 高斯公式是三重积分和曲面积分之间的连接桥梁，也可看作“三维版”的格林公式；

• 场论：

  • 数量场的梯度：

    设有数量场$u=f(x,y,z)$，有向量场：
    $$gradf=\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x}i+\frac{\partial f}{\partial y}j+\frac{\partial f}{\partial z}k$$
    每个数量场f都有一个梯度场gradf与之对应，称，每一点处梯度的方向是变化率最大的方向。

  • 向量场的散度：

    设有向量场：
    $$A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k$$
    有数量场：
    $$divA=\nabla \cdot A=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$$

• 向量场的旋度：

  设有向量场：
  $$A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k$$
  有向量场：
  $$rotA=\nabla \times A=\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|=(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})i+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})j+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})k$$

• 场论形式的斯托克斯公式：

  ${\oint }_{C}Adr={\iint }_{S}rotA\cdot ndS$，其中：$r=(x,y,z),n=(cos\alpha ,cos\beta ,cos\gamma )$

• 场论形式的高斯公式：

  $\iint A\cdot ndS={\iiint }_{V}divAdV$，其中：$n=(cos\alpha ,cos\beta ,cos\gamma )$