Jacobi迭代法matlab程序（《数值分析原理》）

1、Jacobi迭代格式

Jacobi迭代法是常见的几种迭代法之一，迭代格式如下图所示：（图片来自CHD的ztl老师的PPT）（具体内容详见《数值分析原理》）

2、Jacobi迭代法的例子

该例子使用matlab的命令文件格式，命名为jacobi.m。

举例：设有方程组

取初始向量为x^(0)=(-3,1,1)(T)，用Jacobi方法求解，要求||x^(k+1)-x(k)||小于等于10……（-3）。

% 题目信息
% A为线性方程组的系数矩阵
A=[5 2 1;-1 4 2;2 -3 10];
% b为常系数 x为初始向量
b=[-12;20;3];
x=[-3;1;1];
% epslion为误差值
epslion=0.001;
% N为自己设置的迭代次数 
N=20;

% 公式
L=tril(A,-1); %L为A的单位下三角矩阵
D=diag(diag(A)); %D为A的对角矩阵
U=triu(A,1); %U为A的上三角矩阵
B=-D\(L+U); %B为迭代矩阵
g=D\b;

error=1;
n=0;
for i=1:N
    while error>epslion && n<N
        y=x;
        x=B*x+g;
        error=norm(y-x,inf);  %可以使用任何范数，此处使用无穷范数（结果是一样的）
        if error>epslion
            n=n+1;
            fprintf('第%d次jacobi迭代结果为：',n)
            disp(x);
            fprintf('第%d次迭代结果的误差为：\n',n);
            disp(error)
            break
        end
        if error<=epslion
            n=n+1;
            fprintf('第%d次jacobi迭代结果为：',n)
            disp(x);
            fprintf('第%d次迭代结果的误差为：\n',n);
            disp(error);
            fprintf('该方程组的jacobi迭代法的最小迭代次数为：')
            disp(n);
            break
        end
    end
end

执行结果：

>> jacobi
第1次jacobi迭代结果为：
   -3.0000
    3.7500
    1.2000
第1次迭代结果的误差为：
    2.7500

第2次jacobi迭代结果为：
   -4.1400
    3.6500
    2.0250
第2次迭代结果的误差为：
    1.1400

第3次jacobi迭代结果为：
   -4.2650
    2.9525
    2.2230
第3次迭代结果的误差为：
    0.6975

第4次jacobi迭代结果为：
   -4.0256
    2.8223
    2.0387
第4次迭代结果的误差为：
    0.2394

第5次jacobi迭代结果为：
   -3.9367
    2.9742
    1.9518
第5次迭代结果的误差为：
    0.1520

第6次jacobi迭代结果为：
   -3.9800
    3.0399
    1.9796
第6次迭代结果的误差为：
    0.0657
    
第7次jacobi迭代结果为：
   -4.0119
    3.0152
    2.0080
第7次迭代结果的误差为：
    0.0318

第8次jacobi迭代结果为：
   -4.0077
    2.9930
    2.0069
第8次迭代结果的误差为：
    0.0222

第9次jacobi迭代结果为：
   -3.9986
    2.9946
    1.9994
第9次迭代结果的误差为：
    0.0091

第10次jacobi迭代结果为：
   -3.9977
    3.0006
    1.9981
第10次迭代结果的误差为：
    0.0060

第11次jacobi迭代结果为：
   -3.9999
    3.0015
    1.9997
第11次迭代结果的误差为：
    0.0021

第12次jacobi迭代结果为：
   -4.0006
    3.0002
    2.0004
第12次迭代结果的误差为：
    0.0014

第13次jacobi迭代结果为：
   -4.0002
    2.9996
    2.0002
第13次迭代结果的误差为：
   5.1691e-04

该方程组的jacobi迭代法的最小迭代次数为：    13

(内容为自己的尝试，若有错漏或改进方法请多多指正啦~)