数理统计——二项分布、泊松分布、正态分布的特征函数的推导过程总结

《数理统计》课本上对二项分布、泊松分布以及正态分布的特征函数的推导过程没有详细描述，我在利用现有公式对上述三种分布推导一遍，并对相关性质知识进行回顾，以此记录。特征函数特征函数是实变量的复值函数，它在一切实数都有定义，在不引起混淆的情况下，将简记为。若是离散型随机变量，其概率分布列为，则它的特征函数为若是连续型随机变量，其概率密度为，则它...

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不撸先疯。

27799人浏览 · 2020-10-12 20:34:29

不撸先疯。 · 2020-10-12 20:34:29 发布

《数理统计》课本上对二项分布、泊松分布以及正态分布的特征函数的推导过程没有详细描述，我在利用现有公式对上述三种分布推导一遍，并对相关性质知识进行回顾，以此记录。

特征函数

特征函数 $\varphi_{x}\left ( t \right )$ 是实变量的复值函数，它在一切实数 $t\in \left ( -\infty,+\infty \right )$ 都有定义，在不引起混淆的情况下，将 $\varphi_{x}\left ( t \right )$ 简记为 $\varphi\left ( t \right )$ 。

若 $X$ 是离散型随机变量，其概率分布列为 $p_{x}=P\left \{ X=x_{k} \right \}$ ，则它的特征函数为

$\varphi\left ( t \right )=E(e^{itX})=\sum_{k}^{ }p_{k}e^{itx_{k}}$

若 $X$ 是连续型随机变量，其概率密度为 $f(x)$ ，则它的特征函数为

$\varphi\left ( t \right )=E(e^{itX})=\int_{-\infty }^{+\infty }e^{itx}f(x)dx$

二项分布特征函数推导

二项分布：离散型概率分布， $B\sim (n,p)$ ， $P\left \{ X=k \right \}=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$

期望： $E(x)=np$

方差： $D(x)=np(1-p)$

特征方程的推导：

$\varphi \left ( t \right )=\sum_{k}^{ }p_{k}e^{itk}$

$=\sum_{k}^{ }e^{itk}\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$

$=\sum_{k}^{ }\binom{n}{k}\left ( pe^{it} \right )^{k}\left ( 1-p \right )^{n-k}$

$=\left ( pe^{it}+\left ( 1-p \right ) \right )^{n}$

泊松分布特征函数推导

泊松分布：离散型概率分布， $P\left \{ X=k \right \}=\frac{\lambda ^{k}}{k!}e^{-\lambda },k=0,1,...$

期望： $E(x)=\lambda$

方差： $D(x)=\lambda$

特征方程的推导：

$\varphi \left ( t \right )=\sum_{k}^{ }p_{k}e^{itk}$

$=\sum_{k}^{ }\frac{\lambda ^{k}}{k!}e^{-\lambda }e^{itk}$

$=e^{-\lambda }\sum_{k}^{ }\frac{\left ( e^{it}\lambda \right )^{k}}{k!}$

$=e^{-\lambda }e^{e^{it}\lambda }$

$=exp\left \{ \left ( e^{it}-1 \right )\lambda \right \}$

正态分布特征函数推导

正态分布：连续型概率分布， $X\sim \left ( \mu ,\sigma ^{2} \right )$ ， $f\left ( x \right )=\frac{1}{\sqrt{2\Pi}\sigma }exp\left \{ -\frac{\left ( x-\mu \right )^{2}}{2\sigma ^{2}} \right \}$

期望： $E(x)=\mu$

方差： $D(x)=\sigma ^{2}$

特征方程的推导：

方法一：

$\varphi \left ( t \right )=\int_{-\infty }^{+\infty }e^{itx}\frac{1}{\sqrt{2\Pi }\sigma }exp\left \{ -\frac{\left ( x-\mu \right )^{2}}{2\sigma ^{2}} \right \}dx$

$=\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\Pi }\sigma }exp\left \{ -\frac{\left [ \left ( x-\mu \right )-\sigma ^{2} it\right ]^{2}-2\sigma ^{2}\mu it-\sigma ^{4}i^{2}t^{2}}{2\sigma ^{2}} \right \}dx$

$=exp\left \{ i\mu t+\frac{\sigma ^{4}i^{2}t^{2}}{2\sigma ^{2}} \right \}$

由于 $\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\Pi }\sigma }exp\left \{ -\frac{\left ( x-\mu -\sigma ^{2}it \right )^{2}}{2\sigma ^{2}} \right \}dx=1$ ， $U\sim N\left ( (\mu +\sigma ^{2}it),\sigma ^{2} \right )$ ，

由于 $i=\sqrt{-1}$ ，所以 $i^{2}=-1$ ，

$=exp\left \{ i\mu t-\frac{\sigma ^{2}t^{2}}{2} \right \}$

方法二：

$\varphi \left ( t \right )=\int_{-\infty }^{+\infty }e^{itx}\frac{1}{\sqrt{2\Pi }\sigma }exp\left \{ -\frac{\left ( x-\mu \right )^{2}}{2\sigma ^{2}} \right \}dx$

$(a=\frac{x-\mu }{\sigma })$

$=\frac{1}{\sqrt{2\Pi }\sigma }\int_{-\infty }^{+\infty }exp\left \{ it\left ( a\sigma +\mu \right )-\frac{a^{2}}{2} \right \}\sigma da$

$=e^{i\mu t}\frac{1}{\sqrt{2\Pi }}\int_{-\infty }^{+\infty }exp\left \{ -\frac{a^{2}}{2} +ita\sigma \right \}da$

$=e^{i\mu t}\frac{1}{\sqrt{2\Pi }}\int_{-\infty }^{+\infty }exp\left \{ -\frac{\left ( a-it\sigma \right )^{2}}{2}+\frac{\left ( it\sigma \right )^{2}}{2} \right \}da$

同理由于 $i=\sqrt{-1}$ ，所以 $i^{2}=-1$ ，

$=\frac{1}{\sqrt{2\Pi }}exp\left \{{i\mu t-\frac{t^{2}\sigma ^{2}}{2}} \right \}\int_{-\infty }^{+\infty }exp\left \{ -\frac{\left ( a-it\sigma \right )^{2}}{2} \right \}da$