matlab使用教程(21)—求函数最值

如果给定了一个一元数学函数，可以使用函数求该函数在给定区间中的局部最小值。例如，请考虑 MATLAB® 提供的函数。下图显示了的图。若要计算函数在范围内的最小值，请使用您可以通过使用创建选项并将选项设置为来查看求解过程的详细信息。将所得选项传递给。这种迭代输出显示了的当前值以及每次计算函数时处的函数值。对于，一次函数计算对应一次算法迭代。最后一列显示在每次迭代中使用的过程，即黄金分割搜索或抛物线插

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配电网和matlab

7632人浏览 · 2023-08-22 22:34:31

配电网和matlab · 2023-08-22 22:34:31 发布

1. 求函数最优值

1.1求一元函数的最小值

如果给定了一个一元数学函数，可以使用 fminbnd 函数求该函数在给定区间中的局部最小值。例如，请考虑 MATLAB® 提供的 humps.m 函数。下图显示了 humps 的图。

x = -1:.01:2;
y = humps(x);
plot(x,y)
xlabel('x')
ylabel('humps(x)')
grid on

若要计算 humps 函数在 (0.3,1) 范围内的最小值，请使用

x = fminbnd(@humps,0.3,1)

x = 0.6370

您可以通过使用 optimset 创建选项并将 Display 选项设置为 'iter' 来查看求解过程的详细信息。将所得选项传递给 fminbnd 。

options = optimset('Display','iter');
x = fminbnd(@humps,0.3,1,options)

Func-count x f(x) Procedure

1 0.567376 12.9098 initial

2 0.732624 13.7746 golden

3 0.465248 25.1714 golden

4 0.644416 11.2693 parabolic

5 0.6413 11.2583 parabolic

6 0.637618 11.2529 parabolic

7 0.636985 11.2528 parabolic

8 0.637019 11.2528 parabolic

9 0.637052 11.2528 parabolic

Optimization terminated:

the current x satisfies the termination criteria using OPTIONS.TolX of 1.000000e-04

x = 0.6370

这种迭代输出显示了 x 的当前值以及每次计算函数时 f(x) 处的函数值。对于 fminbnd，一次函数计算对应一次算法迭代。最后一列显示 fminbnd 在每次迭代中使用的过程，即黄金分割搜索或抛物线插值。。

1.2 求多元函数的最小值

fminsearch 函数与 fminbnd 类似，不同之处在于前者处理多变量函数。请指定起始向量 x 0，而非起始区间。 fminsearch 尝试返回一个向量 x，该向量是数学函数在此起始向量附近的局部最小值。要尝试执行 fminsearch ，请创建一个三元（即 x 、 y 和 z ）函数 three_var 。

function b = three_var(v)
x = v(1);
y = v(2);
z = v(3);
b = x.^2 + 2.5*sin(y) - z^2*x^2*y^2;

现在，使用 x = -0.6 、 y = -1.2 和 z = 0.135 作为起始值求此函数的最小值。

v = [-0.6,-1.2,0.135];
a = fminsearch(@three_var,v)

a =

0.0000 -1.5708 0.1803

1.3 求函数最大值

fminbnd 和 fminsearch 求解器尝试求目标函数的最小值。如果您有最大化问题，即以下形式的问题：

然后定义 g(x) = –f(x)，并对 g 取最小值。

例如，要计算 tan(cos(x)) 在 x = 5 附近的最大值，请计算：

[x fval] = fminbnd(@(x)-tan(cos(x)),3,8)

x =

6.2832

fval =

-1.5574

最大值为 1.5574（报告的 fval 的负值），并出现在 x = 6.2832。此答案是正确的，因为最大值为 tan(1)= 1.5574（最多五位数），该值出现在 x = 2π = 6.2832 位置。

1.4 fminsearch 算法

fminsearch 使用 Lagarias 等人的著作 [1] 中所述的 Nelder-Mead 单纯形算法。此算法对 n 维向量 x 使用 n + 1 个点组成的单纯形。此算法首先向 x 0 添加各分量 x 0 (i) 的 5%，以围绕初始估计值 x 0 生成一个单纯形。然后，该算法使用上述 n 个向量作为单纯形的除 x 0 之外的元素。（如果 x0 (i) = 0，则算法使用0.00025 作为分量 i）。然后，此算法按照以下过程反复修改单纯形。注意 fminsearch 迭代输出方式中的关键字在相应的步骤说明后以粗体形式显示。

步骤1 用 x(i) 表示当前单纯形中的点列表 i = 1,...,n + 1。

步骤2 按最小函数值 f(x(1)) 到最大函数值 f(x(n + 1)) 的顺序对单纯形中的点进行排序。在迭代的每个步骤中，此算法都会放弃当前的最差点 x(n + 1) 并接受单纯形中的另一个点。[或者在下面的步骤 7 中，此算法会更改值在 f(x(1)) 上方的所有 n 个点。]

步骤3 生成反射点

r = 2m – x(n + 1)， (9-1)

其中

m = Σx(i)/n, i = 1...n， (9-2)

并计算 f(r)。

步骤4 如果 f(x(1)) ≤ f(r) < f(x(n))，则接受 r 并终止此迭代。反射

步骤5 如果 f(r) < f(x(1))，则计算延伸点 s

s = m + 2(m – x(n + 1))， (9-3)

并计算 f(s)。

a 如果 f(s) < f(r)，接受 s 并终止迭代。扩展

b 否则，接受 r 并终止迭代。反射

步骤6 如果 f(r) ≥ f(x(n))，则在 m 和 x(n + 1) 或 r（取目标函数值较低者）之间执行收缩。

a 如果 f(r) < f(x(n + 1))（即 r 优于 x(n + 1)），则计算

c = m + (r – m)/2 (9-4)

并计算 f(c)。如果 f(c) < f(r)，则接受 c 并终止迭代。 外收缩

否则，继续执行步骤 7（收缩）。

b 如果 f(r) ≥ f(x(n + 1))，则计算

cc = m + (x(n + 1) – m)/2 (9-5)

并计算 f(cc)。如果 f(cc) < f(x(n + 1))，则接受 cc 并终止迭代。内收缩

否则，继续执行步骤 7（收缩）。

步骤7 计算 n 点

v(i) = x(1) + (x(i) – x(1))/2 (9-6)

并计算 f(v(i))，i = 2,...,n + 1。下一迭代中的单纯形为 x(1), v(2),...,v(n + 1)。收缩

下图显示了 fminsearch 可在此过程中计算的点以及每种可能的新单纯形。原始单纯形采用粗体边框。迭代将在符合停止条件之前继续运行。

2.非线性函数的数据拟合

此示例说明如何使用非线性函数对数据进行拟合。在本示例中，非线性函数是标准指数衰减曲线

y ( t ) = A exp( − λt ),

其中，y ( t ) 是时间 t 时的响应， A 和 λ 是要拟合的参数。对曲线进行拟合是指找出能够使误差平方和最小化的参数 A 和 λ

∑(i=1→n) [y i − A exp( − λt i )]^ 2 ,

其中，时间为 t i ，响应为 y i , i = 1, …, n 。误差平方和为目标函数。

2.1 创建样本数据

通常，您要通过测量获得数据。在此示例中，请基于 A = 40 和 λ = 0 . 5 且带正态分布伪随机误差的模型创建人工数据。

rng default % for reproducibility
tdata = 0:0.1:10;
ydata = 40*exp(-0.5*tdata) + randn(size(tdata));

2.2 编写目标函数

编写一个函数，该函数可接受参数 A 和 lambda 以及数据 tdata 和 ydata ，并返回模型 y ( t ) 的误差平方和。将要优化的所有变量（ A 和 lambda ）置入单个向量变量 ( x)。

type sseval

function sse = sseval(x,tdata,ydata)

A = x(1);

lambda = x(2);

sse = sum((ydata - A*exp(-lambda*tdata)).^2);

将此目标函数保存为 MATLAB® 路径上名为 sseval.m 的文件。fminsearch 求解器适用于一个变量 x 的函数。但 sseval 函数包含三个变量。额外变量 tdata 和 ydata 不是要优化的变量，而是用于优化的数据。将 fminsearch 的目标函数定义为仅含有一个变量 x 的函数：

fun = @(x)sseval(x,tdata,ydata);

有关包括额外参数（例如 tdata 和 ydata ）的信息，请参阅“参数化函数” 。

2.3 求最优拟合参数

从随机正参数集 x0 开始，使用 fminsearch 求使得目标函数值最小的参数。

x0 = rand(2,1);
bestx = fminsearch(fun,x0)

bestx = 2×1

40.6877

0.4984

结果 bestx 与生成数据的参数 A = 40 和 lambda = 0.5 相当接近。

2.4 检查拟合质量

要检查拟合质量，请绘制数据和生成的拟合响应曲线。根据返回的模型参数创建响应曲线。

A = bestx(1);
lambda = bestx(2);
yfit = A*exp(-lambda*tdata);
plot(tdata,ydata,'*');
hold on
plot(tdata,yfit,'r');
xlabel('tdata')
ylabel('Response Data and Curve')
title('Data and Best Fitting Exponential Curve')
legend('Data','Fitted Curve')
hold off