行列式与矩阵的初等变换总结
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行列式
对 n n n阶行列式，有以下5种变换：
- 转置后，值不变.即 ∣ A T ∣ = ∣ A ∣ |A^T| = |A| ∣AT∣=∣A∣.
- 某行有公因数
k
k
k，可以把
k
k
k提到行列式外.
∣ k A ∣ = k n ∣ A ∣ |kA|=k^n|A| ∣kA∣=kn∣A∣ - 两行互换行列式
变号. - 某行所有元素都是两个数的和，则可写成两个行列式的和.
∣ a 1 + b 1 a 2 + b 2 c c ∣ = ∣ a 1 a 2 c c ∣ + ∣ b 1 b 2 c c ∣ \left| \begin{matrix} a_1+b_1& a_2+b_2\\ c& c\\ \end{matrix} \right|=\left| \begin{matrix} a_1& a_2\\ c& c\\ \end{matrix} \right|+\left| \begin{matrix} b_1& b_2\\ c& c\\ \end{matrix} \right| ∣∣∣∣a1+b1ca2+b2c∣∣∣∣=∣∣∣∣a1ca2c∣∣∣∣+∣∣∣∣b1cb2c∣∣∣∣ - 某行的
k
k
k倍加至另一行，行列式的值
不变.
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矩阵
对 m × n m \times n m×n矩阵，下列三种变换：
- 用非零常数 k k k乘矩阵的某一行.
- 互换矩阵某两行(列)的位置.
- 把某行(列)的
k
k
k倍加至另一行(列）.
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