矩阵分析：广义逆矩阵，{1}逆，MP逆，D逆

燕双嘤

8856人浏览 · 2021-12-31 23:18:45

燕双嘤 · 2021-12-31 23:18:45 发布

1，广义逆矩阵

设 $\small A\in \mathbb{C}^{m\times n}$ 满足下列四个 $\small Penrose$ 方程：

（1） $\small AXA=A$ （2） $\small XAX=X$

（3） $\small (AX)^H=AX$ （4） $\small (XA)^H=XA$

的某个几个或全部，则称 $\small X$ 为 $\small A$ 的广义逆矩阵。

满足全部四个方程的广义逆矩阵 $\small X$ 称为 $\small A$ 的 $\small Moore-Penrose$ 逆（存在且唯一）。

设 $\small A\in \mathbb{C}^{m\times n}$ ，若 $\small X\in \mathbb{C}^{n\times m}$ 满足方程中的第 $\small (i),(j),...,(l)$ 等方程，则称 $\small X$ 为 $\small A$ 的 $\small \left \{ i,j,...,l \right \}$ 逆，记为 $\small A^{(i,j,...,l)}$ ，其全体记为 $\small A\left \{ i,j,...,l \right \}$ 。

$\small A$ 的唯一的 $\small Moore-Penrose$ 逆记为 $\small A^+$ ，也称为 $\small A$ 的加号逆。

【例1】 $\small A\left \{ 1 \right \},A\left \{ 1,2\right \},A\left \{ 1,3 \right \},A\left \{ 1 ,4\right \},A^+$

2，{1}逆及其应用

2.1，{1}逆的计算及性质

设 $\small A\in \mathbb{C}_r^{m\times n}(r>0)$ ，且 $\small S\in \mathbb{C}_m^{m\times m}$ 和 $\small n$ 阶置换矩阵 $\small P$ 使得：

$\small SAP=\begin{bmatrix} I_r &K \\ 0& 0 \end{bmatrix}(K\in \mathbb{C}^{r\times (n-r)})$

则对任意矩阵 $\small L\in\mathbb{C}^{(n-r)\times (m-r)}$ ， $\small n\times m$ 矩阵

$\small X=P\begin{bmatrix} I_r &0 \\ 0& L \end{bmatrix}S$

是 $\small A$ 的 $\small \left \{ 1 \right \}$ 逆；当 $\small L=0$ 时， $\small X$ 是 $\small A$ 的 $\small \left \{ 1,2 \right \}$ 。

【例2】已知矩阵 $\small A=\begin{bmatrix} 2 & 4 &1 &1 \\ 1& 2& -1 & 2\\ -1&-2 &-2 &1 \end{bmatrix}$ ，求 $\small A^{(1)},A^{(1,2)}$ 。

可求得 $\small S=\begin{bmatrix} 1/3 &1/3 &0 \\ 2/3 & -2/3 & 0\\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix},P=(e_1,e_3,e_2,e_4)$

使得 $\small SAP=\begin{bmatrix} 1 &0 &2 &1 \\ 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$\small A^{(1)}=P\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 0& 1 & 0\\ 0& 0 & \alpha \\ 0& 0 & \beta \end{bmatrix}S= \begin{bmatrix} 1/3 & 1/3 & 0\\ \alpha & -\alpha & \alpha \\ 1/3 & -2/3 & 0\\ \beta & -\beta & \beta \end{bmatrix}\, \, (\alpha ,\beta \in\mathbb{C})$

$\small A^{(1,2)}=P\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 0& 1 & 0\\ 0& 0 &0 \\ 0& 0 &0\end{bmatrix}S= \begin{bmatrix} 1/3 & 1/3 & 0\\ 0& 0 & 0 \\ 1/3 & -2/3 & 0\\ 0 & 0& 0\end{bmatrix}$

设 $\small A\in \mathbb{C}_r^{m\times n}$ ，且 $\small S\in \mathbb{C}_m^{m\times m}$ 和 $\small T\in \mathbb{C}_n^{n\times n}$ 使得：

$\small SAT=\begin{bmatrix} I_r &0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

则 $\small A^{(1)}=\left \{ T\begin{bmatrix} I_r & L_{12}\\ L_{21} &L_{22} \end{bmatrix}S|L_{12} \in \mathbb{C}^{r\times (m-r)},L_{21} \in \mathbb{C}^{(n-r)\times r},L_{22} \in \mathbb{C}^{(n-r)\times(m-r)} \right \}$

设 $\small A\in \mathbb{C}^{m\times n}$ ，则 $\small S$ 有唯一的 $\small \left \{ 1 \right \}$ 逆的充分必要条件是 $\small m=n$ ，且 $\small rank A=n$ ，即 $\small A$ 可逆，这个唯一的 $\small \left \{ 1 \right \}$ 逆就是 $\small A^{-1}$ 。

设 $\small A\in \mathbb{C}_r^{m\times n}(r>0)$ ，且 $\small A^{(1)}\in A\left \{ 1 \right \}$ ，则：

（1） $\small (A^{(1)})^H\in (A^H)\left \{ 1 \right \},(A^{(1)})^T\in (A^T)\left \{ 1 \right \}$

（2） $\small \lambda^+A^{(1)}\in(\lambda A)\left \{ 1 \right \}$ ，其中 $\small \lambda \in \mathbb{C}$ ，且 $\small \lambda ^+=\left\{\begin{matrix} \lambda^{-1}&\lambda\ne 0\\ 0&\lambda=0 \end{matrix}\right.$

（3）当 $\small S\in \mathbb{C}_m^{m\times m},T\in \mathbb{C}_n^{n\times n}$ 时，有 $\small T^{-1}A^{(1)}S^{-1}\in (SAT)\left \{ 1 \right \}$

（4） $\small rankA^{(1)}\geqslant rankA$

（5） $\small rank(AA^{(1)})=rank(A^{(1)}A)=rankA$

（6） $\small AA^{(1)}=I_m\Leftrightarrow rank A=m$

（7） $\small A^{(1)}A=I_n\Leftrightarrow rankA=n$

2.2，{1}逆的应用

设 $\small A\in \mathbb{C}^{m\times n},B\in \mathbb{C}^{p\times q},D\in \mathbb{C}^{m\times q}$ ，则矩阵方程 $\small AXB=D$ 有解的充分必要条件是：

$\small AA^{(1)}DB^{(1)}B=D$

其中 $\small A^{(1)}\in A\left \{ 1 \right \},B^{(1)}\in B\left \{ 1 \right \}$ 。

当矩阵方程有解时，其通解为：

$\small X=A^{(1)}DB^{(1)}+Y-A^{(1)}AYBB^{(1)}$ ，任意 $\small Y\in \mathbb{C}^{n\times p}$

推论：设 $\small A\in \mathbb{C}^{m\times n},A^{(1)}\in A \left \{ 1 \right \}$ ，则有： $\small A\left \{ 1 \right \}=\left \{ A^{(1)}+Z-A^{(1)}AZAA^{(1)} |\forall Z\in \mathbb{C}^{n\times m}\right \}$ ，用某一个给定的 $\small A^{(1)}$ ，便给出了集合 $\small A\left \{ 1 \right \}$ 的全部元素。

设 $\small A\in \mathbb{C}^{m\times n},b\in \mathbb{C}^m$ ，则线性方程组 $\small Ax=b$ 有解的充分必要条件是 $\small AA^{(1)}b=b$ ，其中 $\small A^{(1)}\in A\left \{ 1 \right \}$ 。如果 $\small Ax=b$ 有解，其通解为： $\small x=A^{(1)}b+(I-A^{(1)}A)y$ ， $\small \forall y\in \mathbb{C}^n$ 。

从式可以看出的通解由两部分构成：

（1）其中 $\small A^{(1)}b$ 是 $\small Ax=b$ 的一个特解。

（2）而 $\small (I-A^{(1)}A)y$ 为其导出 $\small Ax=0$ 的通解。

【例3】用广义逆矩阵的方法求解线性方程组： $\small \left\{\begin{matrix} 2x_1+4x_2+x_3+x_4=5\\ x_1+2x_2-x_3+2x_4=1\\ -x_1-2x_2-2x_3+x_4=-4 \end{matrix}\right.$

令 $\small A=\begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 & 1\\ 1& 2 & -1 & 2\\ -1& -2 & -2 & 1 \end{bmatrix},b=\begin{bmatrix} 5\\ 1\\ -4 \end{bmatrix}$

可求得 $\small A\left \{ 1 \right \}$ 逆为： $\small A^{(1)}= \begin{bmatrix} 1/3 & 1/3 & 0\\ \alpha & -\alpha & \alpha \\ 1/3 & -2/3 & 0\\ \beta & -\beta & \beta \end{bmatrix}\, \, (\forall\alpha ,\beta \in \mathbb{C})$

容易验证 $\small AA^{(1)}b=(5,1,-4)^{T}=b$

所以线性方程组有解，且通解为：

$\small x=A^{(1)}b+(I-A^{(1)}A)y=\begin{bmatrix} 2\\ 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0 & -2 & 0 &-1 \\ 0 & 1 & 0&0 \\ 0 & 0 & 0&1 \\ 0 & 0 &0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} y_1\\ y_2\\ y_3\\ y_4 \end{bmatrix}\, \, (\forall y_1,y_2,y_3,y_4\in \mathbb{C})$

设 $\small A\in \mathbb{C}^{m\times n},b\in\mathbb{C}^m,X\in\mathbb{C}^{n\times m}$ ，若对于使得线性方程组 $\small Ax=b$ 有解得到所有 $\small b$ ， $\small x=Xb$ 都是解，则 $\small X\in A\left \{ 1 \right \}$ 。

3，Moore-Penrose逆

3.1， $\small A^+$ 的计算及性质

设 $\small A\in \mathbb{C}_r^{m\times n}(r>0)$ ，且 $\small A$ 的满秩分解为：

$\small A=FG\in \mathbb{C}^{n\times m}(F\in \mathbb{C}_r^{m\times r},G\in \mathbb{C}_r^{r\times n})$

则：

$\small A^+=G^H(GG^H)^{-1}(F^HF)^{-1}F^H$

（1）当 $\small rank A=m$ 行满秩时，有 $\small A^+=A^H(AA^H)^{-1}$ 。

（2）当 $\small rank A=n$ 列满秩时，有 $\small A^+=(A^HA)^{-1}A^H$ 。

【例4】求下列矩阵 $\small A=\begin{bmatrix} 2 &4 & 1 & 1\\ 1& 2 & -1& 2\\ -1& -2& -2 &1 \end{bmatrix}$ 的 $\small Moore-Penrose$ 逆。

$\small A=\begin{bmatrix} 2 &1 \\ 1& -1\\ -1& -2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2 &0 &1 \\ 0 & 0& 1& -1 \end{bmatrix}=FG$

$\small A^+=G^T(GG^T)^{-1}(F^TF)F^T$

$\small =\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 2 &0 \\ 0 & 1\\ 1 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 6 &-1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} 6 &3 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} 2 & 1 & -1\\ 1& -1 & -2 \end{bmatrix}=\frac{1}{33}\begin{bmatrix} 2 & 1 &-1 \\ 4& 2& -2\\ 1 &-5 &-6 \\ 1 & 6 & 5 \end{bmatrix}$

求下列矩阵 $\small A=\begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{bmatrix}$ 的 $\small Moore-Penrose$ 逆。

$\small A^+=(A^TA)^{-1}A^T=\frac{1}{14}(1,2,3)$

$\small A^+$ 的性质：设 $\small A\in \mathbb{C}^{m\times n}$ ，则

（1） $\small (A^+)^+=A$

（2） $\small (A^+)^H=(A^H)^+,(A^+)^T=(A^T)^+$

（3） $\small (\lambda A)^+=\lambda ^+A^+$ ，其中 $\small \lambda \in \mathbb{C}$ ，且 $\small \lambda ^+=\left\{\begin{matrix} \lambda^{-1}&\lambda\ne 0\\ 0&\lambda=0 \end{matrix}\right.$

（4） $\small rankA^+=rankA$

（5） $\small rank(AA^+)=rank(A^+A)=rankA$

（6） $\small A^+=(A^HA)^+A^H=A^H(AA^H)^+$

（7） $\small AA^+=I_m$ 的充分必须条件是 $\small rankA=m$

（8） $\small A^+A=I_n$ 的充分必要条件是 $\small rankA=n$

（9）当 $\small U$ 和 $\small V$ 分别是 $\small m$ 阶与 $\small n$ 阶酉矩阵时，有 $\small (UAV)^+=V^HA^+U^H$

（10） $\small (A^HA)^+=A^+(A^H)^+,(AA^H)^+=(A^H)^+A^+$

PS：

（1）与可逆矩阵相比，一般 $\small (AB)^+\ne B^+A^+$ ，当 $\small B=A^H$ ，上式成立。

（2）即使 $\small A$ 为方阵时，一般 $\small AA^+\ne A^+A$ 。

3.2， $\small A^+$ 在解线性方程组中的应用

设 $\small A\in \mathbb{C}^{m\times n },b\in \mathbb{C}^m$ ，则线性方程组有解的充分必要条件是：

$\small AA^+b=b$

且通解为： $\small x=A^+b+(I-A^+A)y\, \, (\forall y\in \mathbb{C}^n)$

（1）当 $\small AA^+b=b$ 时，线性方程组 $\small Ax=b$ 有解，但解一般不唯一。

（2）有解时，线性方程组解唯一的充要条件是 $\small A^+A=I$ ，即 $\small rankA=n$ 。

（3）在实际问题中，常需求出线性方程组的无穷多个解中 $\small 2$ 范数最小的解，即 $\small ||x_0||_2=\underset{Ax=b}{min}||x||_2$ ，称为线性方程组 $\small Ax=b$ 的极小范数解。

设 $\small A\in \mathbb{C}^{m\times n},b\in\mathbb{C}^m$ ，且 $\small Ax=b$ 有解，则它的唯一极小范数解为 $\small x_0=A^+b$ 。

设 $\small A\in \mathbb{C}^{m\times n},b\in\mathbb{C}^m$ ，矛盾方程 $\small Ax=b$ 的全部最小二乘解为： $\small z=A^+b+(I-A^+A)y\, \, (\forall y\in \mathbb{C}^n)$ 。

推论1：设 $\small A\in \mathbb{C}^{m\times n},b\in\mathbb{C}^m$ ，则 $\small z$ 是矛盾方程 $\small Ax=b$ 的最小二乘解的充分必要条件是： $\small z$ 是方程组 $\small Ax=AA^+b$ 的解。

推论2：设 $\small A\in \mathbb{C}^{m\times n},b\in\mathbb{C}^m$ ，则 $\small z$ 是矛盾方程组 $\small Ax=b$ 的最小二乘解的充分必要条件是 $\small z$ 是方程组 $\small A^HAx=A^Hb$ 的解。

矛盾方程组 $\small Ax=b$ 有唯一最小二乘解的充分必要条件是 $\small A^+A=I$ 即 $\small rankA=n$ 。

最小二乘解一般不是唯一的，在所有最小二乘解中 $\small 2$ 范数最小的二乘解称为矛盾线性方程组 $\small Ax=b$ 的极小范数最小二乘解或最佳逼近解。

设 $\small A\in \mathbb{C}^{m\times n },b\in \mathbb{C}^m$ ，则矛盾方程 $\small Ax=b$ 的唯一极小范数解为 $\small x_0=A^+b$ 。

利用 Moore-Penrose 逆 $\small A^+$ 求解线性方程组 $\small Ax=b$ 的解：

（1） $\small Ax=b$ 有解（或相容）的充分必要条件是 $\small AA^+b=b$ 。

（2） $\small x=A^{+}b+(I-A^+A)y\, \, (\forall y\in \mathbb{C}^n)$ 是相容方程组 $\small Ax=b$ 的通解，或是矛盾方程组 $\small Ax=b$ 的全部最小二乘解。

（3） $\small x_0=A^+b$ 是相容方程组 $\small Ax=b$ 的唯一极小范数解，或是矛盾方程组 $\small Ax=b$ 的唯一极小范数最小二乘解。

【例5】用广义逆矩阵方法判断方程组 $\small A=\left\{\begin{matrix} 2x_1+4x_2+x_3+x_4=10\\ x_1+2x_2-x_3+2x_4=6\\ -x_1-2x_2-2x_3+x_4=-7 \end{matrix}\right.$ 是否有解，如果有解，求通解和最小二乘解；如果无解，求全部最小二乘解和极小范数解。

令 $\small A=\begin{bmatrix} 2 &4 &1 &1 \\ 1& 2& -1 & 2\\ -1& -2 &-2 &1 \end{bmatrix},b=\begin{bmatrix} 10\\ 6\\ -7 \end{bmatrix}$

利用满秩分解的方法可求得： $\small A^+=\frac{1}{33}\begin{bmatrix} 2 & 1 & -1\\ 4& 2& -2\\ 1& -5 & -6\\ 1& 6 & 5 \end{bmatrix}$

容易验证 $\small AA^+b=(11,5,-6)^T\ne b$

所以方程组无解，全部最小二乘解为：

$\tiny x=A^+b+(I-A^+A)y=\begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 2/3\\ 1/3 \end{bmatrix}+\frac{1}{11}\begin{bmatrix} 9 &-4 &-1 &-1 \\ -4& 3 & -2 & -2\\ -1& -2 &5 &5 \\ -1& -2& 5 & 5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} y_1\\ y_2\\ y_3\\ y_4 \end{bmatrix}(\forall y_1,y_2,y_3,y_4\in \mathbb{C})$

极小范数最小二乘解为： $\small x_0=A^+b=(1,2,2/3,1/3)^T$

4，Drazin逆

4.1，Drazin逆的定义及性质

$\small Moore-Penrose$ 逆 $\small A^+$ 保留了逆矩阵的若干性质，但也失去了一些性质：（1） $\small AA^{-1}=A^{-1}A$ ；（2） $\small (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ ；（3） $\small \lambda$ 是 $\small A$ 的充要条件是 $\small \lambda^{-1}$ 是 $\small A^{-1}$ 的特征值。

设 $\small A\in \mathbb{C}^{n\times n}$ ，则在 $\small 0$ 与 $\small n$ 之间存在某个非负整数 $\small k$ 使得： $\small rankA^{k+1}=rankA^k$ 。

设 $\small A\in \mathbb{C}^{n\times n}$ ，使得 $\small rank A^{k+1}=rank A^k$ 成立的最小非负整数 $\small k$ 称为 $\small A$ 的指标。

非零奇异矩阵的指标为 $\small 0$ ，而奇异矩阵的指标不为 $\small 0$ 。

设 $\small A\in \mathbb{C}^{n\times n}$ ，则如下个条件等价：

（1） $\small A$ 的指标为 $\small k$

（2）使得 $\small A^{l+1}X=A^l$ 成立的最小非负整数是 $\small k$

（3）若 $\small A$ 是奇异矩阵， $\small k$ 是 $\small A$ 的最小多项式 $\small m_A(\lambda)$ 中因子 $\small \lambda^k$ 的指数。

设 $\small A$ 的指标为 $\small k$ ，称满足 $\small A^kXA=A^k$ ， $\small XAX=X$ ， $\small AX=XA$ 的矩阵 $\small X$ 为 $\small A$ 的 $\small Drazin$ 逆，记为 $\small A^D$ 。

当 $\small k=1$ 时，称 $\small A$ 的 $\small Drazin$ 逆为群逆，记为 $\small A^{\#}$ 。

4.2，Drazin逆的求法

设 $\small A\in \mathbb{C}^{n\times n}$ 的指标为 $\small k$ ，且 $\small A$ 的最小多项式为 $\small m_A(\lambda)=c\lambda^k(1-\lambda f(\lambda))$ ，这里 $\small c\ne 0$ 为常数， $\small f(\lambda)$ 是多项式，则 $\small A$ 有唯一的 $\small Drazin$ 逆 $\small X$ ，它可以表示成关于 $\small A$ 的多项式 $\small X=A^k(f(A))^{k+1}$ 。

设 $\small A\in \mathbb{C}^{n\times n}$ 的指标为 $\small 1$ ，则 $\small A$ 的 $\small Drazin$ 逆唯一，且 $\small A^\#=A(f(A))^2$ ，其中多项式 $\small f(\lambda)$ 由 $\small A$ 的最小多项式 $\small m_A(\lambda)=c\lambda(1-\lambda f(\lambda))$ 确定。

【例6】设 $\small J$ 有下列形式 $\small J=\begin{bmatrix} J_2(0) & & \\ &J_3(0) & \\ & & J_2(1) \end{bmatrix}$ ，求 $\small J^D$ 。

容易求出 $\small J$ 的最小多项式为： $\small m_A(\lambda)=\lambda^3(\lambda-1)^2=\lambda^3(1-\lambda(2-\lambda))$

于是 $\small k=2,f(\lambda)=2-\lambda$ ，因此：

$\small J^D=J^3(f(J))^4=J^3(2I_7-J)^4=diag\left \{ 0_2,0_3,\begin{bmatrix} 1 &-1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \right \}$

$\small \lambda$ 是矩阵 $\small A$ 的特征值 $\small \Leftrightarrow$ $\small \lambda^+$ 是 $\small A^D$ 的特征值，其中： $\small \lambda^+=\left\{\begin{matrix} \lambda^{-1}&\lambda\ne 0\\ 0&\lambda=0 \end{matrix}\right.$

（1）如果 $\small x$ 是 $\small A$ 的属于非零特征值 $\small \lambda$ 的特征向量，则 $\small x$ 也是 $\small A^D$ 的属于 $\small \lambda^{-1}$ 的特征向量，反之亦然。

（2）但对于 $\small A$ 的零特征向量，相应的结果不一定成立。

设 $\small A\in \mathbb{C}^{n\times n}$ 的满秩分解为 $\small A=F_1G_1$ ，而 $\small G_1F_1$ 的满秩分解为:

$\small G_iF_i=F_{i+1}G_{i+1}(i=1,2,...)$

则 $\small A$ 的指标为 $\small k$ 的充要条件是 $\small k$ 是使得 $\small G_kF_k$ 可逆的最小的数非负整数，并且

$\small A^D=F_1F_2...F_k\left [ (G_kF_k)^{k+1} \right ]^{-1}G_k...G_2G_1$

推论：设 $\small A\in \mathbb{C}^{n\times n}$ 的满秩分解为 $\small A=FG$ ，则 $\small A$ 有群逆的充要条件是 $\small GF$ 可逆，并且 $\small A^\#=F\left [ (GF)^2 \right ]^{-1}G$

【例7】用逐次满秩分解的方法求矩阵 $\small A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 &0 \\ 1 & 1 & 1& 0\\ 1 & 1 & 1 &1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ 的 $\small Drazin$ 逆。

$\small A=F_1G_1=\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 1 & 1& 0\\ 1 & 1& 1\\ 1 &1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 1 &0 &0 \\ 0& 0& 1 & 0\\ 0& 0 & 0 &1 \end{bmatrix},G_1F_1=\begin{bmatrix} 2 &1 & 0\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1 \end{bmatrix}$

$\small det(G_1F_1)=0$

$\small G_1F_1=F_2G_2=\begin{bmatrix} 2 &1 \\ 1& 1\\ 1& 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 &0 &-1 \\ 0& 1& 2 \end{bmatrix},G_2F_2=\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 3 & 3 \end{bmatrix}$

$\small G_2F_2$ 可逆，因此 $\small A$ 的指标为 $\small 2$ ，且

$\small A^D=F_1F_2\left [ (G_2F_2)^3 \right ]^{-1}G_2G_1=\frac{1}{27}\begin{bmatrix} 15 & 15 & 1 & -13\\ 3& 3 & 2 &1 \\ -9& -9 &3 &15 \\ -9& -9 &3 &15 \end{bmatrix}$

一般来说， $\small Drazin$ 逆 $\small A^D$ 或群逆 $\small A^\#$ 与 $\small Moore-Penrose$ 逆 $\small A^+$ 并不相同，但在一定条件下它们是相同的。

$\small A^D$ 或 $\small A^\#$ 等于 $\small A^+$ $\small \Leftrightarrow$ $\small AA^+=A^+A$