矩阵分析:广义逆矩阵,{1}逆,MP逆,D逆
1,广义逆矩阵
设
满足下列四个
方程:
(1)
(2)
(3)
(4)
的某个几个或全部,则称
为
的广义逆矩阵。
满足全部四个方程的广义逆矩阵
称为
的
逆(存在且唯一)。
设
,若
满足方程中的第
等方程,则称
为
的
逆,记为
,其全体记为
。
的唯一的
逆记为
,也称为
的加号逆。
【例1】
2,{1}逆及其应用
2.1,{1}逆的计算及性质
设
,且
和
阶置换矩阵
使得:
则对任意矩阵
,
矩阵
是
的
逆;当
时,
是
的
。
【例2】已知矩阵
,求
。
可求得
使得
设
,且
和
使得:
则
设
,则
有唯一的
逆的充分必要条件是
,且
,即
可逆,这个唯一的
逆就是
。
设
,且
,则:
(1)
(2)
,其中
,且
(3)当
时,有
(4)
(5)
(6)
(7)
2.2,{1}逆的应用
设
,则矩阵方程
有解的充分必要条件是:
其中
。
当矩阵方程有解时,其通解为:
,任意
推论:设
,则有:
,用某一个给定的
,便给出了集合
的全部元素。
设
,则线性方程组
有解的充分必要条件是
,其中
。如果
有解,其通解为:
,
。
从式可以看出的通解由两部分构成:
(1)其中
是
的一个特解。
(2)而
为其导出
的通解。
【例3】用广义逆矩阵的方法求解线性方程组:
令
可求得
逆为:
容易验证
所以线性方程组有解,且通解为:
设
,若对于使得线性方程组
有解得到所有
,
都是解,则
。
3,Moore-Penrose逆
3.1,
的计算及性质
设
,且
的满秩分解为:
则:
(1)当
行满秩时,有
。
(2)当
列满秩时,有
。
【例4】求下列矩阵
的
逆。
求下列矩阵
的
逆。
的性质:设
,则
(1)
(2)
(3)
,其中
,且
(4)
(5)
(6)
(7)
的充分必须条件是
(8)
的充分必要条件是
(9)当
和
分别是
阶与
阶酉矩阵时,有
(10)
PS:
(1)与可逆矩阵相比,一般
,当
,上式成立。
(2)即使
为方阵时,一般
。
3.2,
在解线性方程组中的应用
设
,则线性方程组有解的充分必要条件是:
且通解为:
(1)当
时,线性方程组
有解,但解一般不唯一。
(2)有解时,线性方程组解唯一的充要条件是
,即
。
(3)在实际问题中,常需求出线性方程组的无穷多个解中
范数最小的解,即
,称为线性方程组
的极小范数解。
设
,且
有解,则它的唯一极小范数解为
。
设
,矛盾方程
的全部最小二乘解为:
。
推论1:设
,则
是矛盾方程
的最小二乘解的充分必要条件是:
是方程组
的解。
推论2:设
,则
是矛盾方程组
的最小二乘解的充分必要条件是
是方程组
的解。
矛盾方程组
有唯一最小二乘解的充分必要条件是
即
。
最小二乘解一般不是唯一的,在所有最小二乘解中
范数最小的二乘解称为矛盾线性方程组
的极小范数最小二乘解或最佳逼近解。
设
,则矛盾方程
的唯一极小范数解为
。
利用 Moore-Penrose 逆
求解线性方程组
的解:
(1)
有解(或相容)的充分必要条件是
。
(2)
是相容方程组
的通解,或是矛盾方程组
的全部最小二乘解。
(3)
是相容方程组
的唯一极小范数解,或是矛盾方程组
的唯一极小范数最小二乘解。
【例5】用广义逆矩阵方法判断方程组
是否有解,如果有解,求通解和最小二乘解;如果无解,求全部最小二乘解和极小范数解。
令
利用满秩分解的方法可求得:
容易验证
所以方程组无解,全部最小二乘解为:
极小范数最小二乘解为:
4,Drazin逆
4.1,Drazin逆的定义及性质
逆
保留了逆矩阵的若干性质,但也失去了一些性质:(1)
;(2)
;(3)
是
的充要条件是
是
的特征值。
设
,则在
与
之间存在某个非负整数
使得:
。
设
,使得
成立的最小非负整数
称为
的指标。
非零奇异矩阵的指标为
,而奇异矩阵的指标不为
。
设
,则如下个条件等价:
(1)
的指标为
(2)使得
成立的最小非负整数是
(3)若
是奇异矩阵,
是
的最小多项式
中因子
的指数。
设
的指标为
,称满足
,
,
的矩阵
为
的
逆,记为
。
当
时,称
的
逆为群逆,记为
。
4.2,Drazin逆的求法
设
的指标为
,且
的最小多项式为
,这里
为常数,
是多项式,则
有唯一的
逆
,它可以表示成关于
的多项式
。
设
的指标为
,则
的
逆唯一,且
,其中多项式
由
的最小多项式
确定。
【例6】设
有下列形式
,求
。
容易求出
的最小多项式为:
于是
,因此:
是矩阵
的特征值
![]()
是
的特征值,其中:
(1)如果
是
的 属于非零特征值
的特征向量,则
也是
的属于
的特征向量,反之亦然。
(2)但对于
的零特征向量,相应的结果不一定成立。
设
的满秩分解为
,而
的满秩分解为:
则
的指标为
的充要条件是
是使得
可逆的最小的数非负整数,并且
推论:设
的满秩分解为
,则
有群逆的充要条件是
可逆,并且
【例7】用逐次满秩分解的方法求矩阵
的
逆。
可逆,因此
的指标为
,且
一般来说,
逆
或群逆
与
逆
并不相同,但在一定条件下它们是相同的。
或
等于
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