OLS能够成立的最重要的条件是解释变量与扰动项不相关（即前定变量或同期外生的假设）。
解释变量与扰动项相关（内生性）的例子很多。

解决内生性的主要方法之一为工具变量法，它对于实证研究有着重要的价值。

内生性的主要来源包括遗漏变量偏差、联立方程偏差（双向因果关系），以及测量误差偏差。
前者已在第9章讨论，下面首先介绍后二者。

10.1 联立方程偏差

市场均衡的例子引入
$$\begin{gathered} q_t^d=\alpha +\beta p_t+u_t(需求) \\ {q}_t^s=\gamma +\delta p_t+v_t(供给) \\ {q}_t^d=q_t^s(均衡) \end{gathered}$$
令$q_t\equiv q_t^d=q_t^s$，得到$$\begin{gathered} q_t=\alpha +\beta p_t+u_t \\ {q}_t=\gamma +\delta p_t+v_t \end{gathered}$$
这两个方程的被解释变量与解释变量完全不一样。
如果直接作回归$q_t\stackrel{OLS}{⟶}{p}_t$，估计的既不是需求函数也不是供给函数。

10.2 测量误差偏差

10.3 工具变量法

还是市场均衡的例子。假设供给曲线经常移动，而需求曲线基本不动。此时，就可以估计需求曲线，这个使得供给曲线移动的变量就是工具变量。

假设影响供给方程扰动项的因素可以分解为两部分，即可观测的气温$z_t$与不可观测的其他因素：
$$q_t^s=\gamma +\delta p_t+\eta z_t+v_t$$
假设气温$z_t$是前定变量，与需求方程的扰动项不相关，即$Cov(z_t,u_t)=0$
由于气温$z_t$的变化使得供给函数$q_t^s$沿着需求函数$q_t^d$移动，故可以估计出需求函数$q_t^d$。在这种情况下，称$z_t$为“工具变量”（Instrumental Variable ，IV）

在回归方程中，一个有效的工具变量应满足以下两个条件。
（1）相关性：工具变量与内生解释变量相关，即$Cov(z_t,p_t)\ne 0$
（2）外生性：工具变量与扰动项不相关，即$Cov(z_t,u_t)=0$

利用工具变量的这两个性质，可得到对需求方程回归系数$\beta$的一致估计。

• 如果工具变量与内生变量无关，即$Cov(z_t,p_t)=0$，则无法定义工具变量法。
• 如果工具变量与内生变量的相关性很弱，即$Cov(z_t,p_t)\approx 0$，会导致估计量${\hat{\beta }}_{IV}$的方差很大，称为“弱工具变量问题”。

10.4 二阶段最小二乘法

工具变量法一般通过"二阶段最小二乘法"(Two Stage Least Square,2SLS或TSLS)来实现，通过两个回归来完成。

第一阶段回归：用内生解释变量对工具变量回归，即$p_t\stackrel{OLS}{⟶}{z}_t$，得到拟合值${\hat{p}}_t$
第二阶段回归：用被解释变量对第一阶段回归的拟合值进行回归，即$q_t\stackrel{OLS}{⟶}{\hat{p}}_t$

在进行2SLS估计时，最好不要自己手工进行两次回归，而直接使用Stata命令（相信Stata会计算正确的残差！）。

2SLS的Stata命令格式为
ivregress 2sls y x1 x2 (x3=z1 z2),robust first
y：被解释变量
x1 x2：外生解释变量
x3：内生解释变量
z1 z2：方程外的工具变量
选择项 robust：表示使用异方差稳健的标准误（默认为普通标准误）
选择项 first：表示显示第一阶段的回归结果

可以证明，在球形扰动项的情况下，2SLS是最有效率的工具变量法。
然而，在异方差的情况下，则存在更有效率的工具变量法，即“广义矩估计”（Generalized Method of Moments，GMM），是数理统计中“矩估计”（Method of Moments，MM）的推广。

10.5 弱工具变量法

如果工具与内生解释变量仅微弱地相关，则工具变量法估计量${\hat{\beta }}_{IV}$的方差将变得很大。
由于工具变量仅包含极少与内生解释变量有关的信息，利用这部分信息进行的工具变量法估计就不准确，即使样本容量很大也很难收敛到真实的参数值，这种工具变量称为“弱工具变量”。

怎么检验是否存在弱工具变量？？？

• 在第一阶段回归中，检验所有方程外的工具变量（不含外生解释变量）的系数是否联合为零。
  假设原模型为：$$y={\beta }_0+{\beta }_{1}x+{\beta }_{2}w+\epsilon$$
  $x$为内生变量，而$w$为外生解释变量。
  假设有两个有效工具变量$z_1,z_2$，则第一阶段回归为：
  $$x={\alpha }_0+{\alpha }_1{z}_1+{\alpha }_2{z}_2+{\alpha }_{3}w+u$$
  检验$H_0:{\alpha }_1={\alpha }_2=0$，即工具变量$z_1,z_2$的系数联合为0。
  经验规则：此检验的$F$统计量大于 10 (由于技术性原因，此处使用普通标准误)，则拒绝“存在弱工具变量”的原假设。

• 在Stata中作完2SLS回归后，可使用以下命令检验弱工具变量：
  estat firststage
  此命令将更具第一阶段回归计算一些统计量，包括上文的$F$统计量。

发现存在弱工具变量，如何解决？？？
（1）寻找更强的工具变量
（2）使用对弱工具变量更不敏感的“优先信息最大似然估计法”（Limited Information Maximum Likelihood Estimation，LIML）
在大样本下，LIML与2SLS渐进等价
在弱工具变量情况下，LIML的小样本性质可能由于2SLS

LIML的Stata命令为
ivregress liml y x1 x2 (x3=z1 z2)

10.6 对工具变量外生性的过度识别检验

工具变量的外生性是保证 2SLS 一致性的重要条件。
如果“工具变量”与扰动项相关，可导致严重的偏差。

• 在恰好识别的情况下，无法检验工具变量的外生性。
  只能进行定性讨论或依赖于专家的意见。
  定性讨论：如果工具变量外生，则它影响被解释变量的唯一渠道就是通过内生变量，除此以外别无其他渠道。由于此唯一渠道(内生变量)已包括在回归方程中，故工具变量不会再出现在被解释变量的扰动项中，或对扰动项有影响。此条件称为“排他性约束”(exclusion restriction)，它排除了工具变量除了通过内生变量而影响被解释变量的其他渠道。
  实践中，需找出工具变量影响被解释变量的所有其他可能渠道，然后一一排除，才能说明工具变量的外生性。
• 在过度识别情况下，可进行“过度识别检验”
  过度识别检验的原假设为$H_0$ : 所有工具变量都外生
  如拒绝原假设，则认为至少某个变量与扰动项相关。

在Stata中作完2SLS估计后，可使用以下命令进行过度识别检验
estat overid

10.7 对解释变量内生性的豪斯曼检验：究竟该用OLS还是LV

使用工具变量法的前提是存在内生解释变量。

如何检验解释变量是否内生？？？

• 豪斯曼检验

豪斯曼检验的Stata命令为

reg y x1 x2
estimates store ols	//存储OLS的结果，记为ols
ivregress 2sls y x1 (x2=z1 z2)	//假设x2为内生变量，z1，z2为IV
estimates store iv	//存储2SLS的结果，记为iv
hausman iv ols,constant sigmamore	//根据存储的结果进行豪斯曼检验

传统的豪斯曼检验的缺点是，为了简化矩阵$[\widehat{Var({\hat{\beta }}_{IV}-{\hat{\beta }}_{OLS})}]$的计算，假设在$H_0$成立的情况下，OLS最有效率，故不使用异方差的情形（OLS只有在球形扰动项的情况下才最有效率）。

改进的“杜宾-吴-豪斯曼检验”（DWH）即使在异方差的情况下也适用。

10.8 如何获取工具变量

10.9 工具变量法的Stata实例

use "D:\a_DUFE\000master_gogogo\stata相关\陈强_计量经济学及Stata应用\Data-Finished-本科计量\grilic.dta"
reg lnw s expr tenure rns smsa,r
reg lnw s iq expr tenure rns smsa,r
ivregress 2sls lnw s  expr tenure rns smsa ( iq = med kww ),r first
qui ivregress 2sls lnw s expr tenure rns smsa ( iq = med kww )
estat first
ivregress liml lnw s expr tenure rns smsa ( iq = med kww ),r
qui reg lnw s expr tenure rns smsa
est sto ols
qui ivregress 2sls lnw s  expr tenure rns smsa ( iq = med kww )
est sto iv
hausman iv ols,constant sigmamore
estat endogenous

ssc install estout
qui reg lnw s expr tenure rns smsa,r
est sto ols_no_iq
qui reg lnw iq s expr tenure rns smsa,r
est sto ols_with_iq
qui ivregress 2sls lnw s  expr tenure rns smsa ( iq = med kww ),r
est sto tsls
qui ivregress liml lnw s  expr tenure rns smsa ( iq = med kww ),r
est sto liml
esttab ols_no_iq ols_with_iq tsls liml,se r2 mtitle star(* 0.1 ** 0.05 *** 0.01)
esttab ols_no_iq ols_with_iq tsls liml using iv.rtf,se r2 mtitle star(* 0.1 ** 0.05 *** 0.01)