关键路径

一. 问题描述

概念

• 一项工程计划可以被看成一个有向图，图中的顶点表示事件，边代表活动，边上的权值代表完成这项活动需要的时间，这样的有向图称为AOE网。

• 表示实际工程计划的AOE网应该是无环的，在正常情况下存在唯一的开始顶点（源点）和唯一的完成顶点（汇点）。

• AOE网中的某些活动可以并行进行，完成工程的最短时间是从开始顶点到完成顶点的最长路径长度。路径长度最长的路径为关键路径。关键路径上所有活动都叫做关键活动。我们只有减少关键路径上活动用时才能加快工程的进度。

• 我们的问题就是输出所有关键路径上的顶点。

一个例子

• 如下图，求出下图的关键路径。

• 如下图，青色代表的两条路径就是关键路径。只有减少这两条路径上活动用时才能加快工程进度。

• 关键路径为：1->2->5->8->9和1->2->5->7->9。

二. 问题分析

• AOE网的性质：

  • （1）只有在某顶点代表的事件发生后，从该顶点发出去的弧所代表的各项活动才能开始；

  • （2）只有进入某顶点的各条弧所代表的活动都已经结束，该顶点所代表的事件才能发生。

• 求解关键路径需要求解出：事件（顶点）的最早、最迟发生时间；

• 求解关键活动需要求解出：活动（边）的最早、最迟发生时间完成。

• 使用数组ve、vl分别表示事件的最早、最晚发生时间；使用数组ee、el分别表示活动的最早、最晚发生时间。

• 总体思路：首先求出原图的拓扑序列，然后根据拓扑序推出上述四个数组。

ve数组的求解：事件的最早发生时间

• ve[start]=0：start为源点，在0时刻就可以开始。

• 事件 $v_i$ 的最早发生时间ve[i]是从开始顶点 $v_{start}$ 到顶点 $v_i$ 的最长路径长度。

• 按照拓扑序求解：假设在原图中存在一条边(ver, j)，边的权重为w[i]，则ve[j] = max(ve[j], ve[ver] + w[i])。

vl数组的求解：事件的最晚发生时间

• vl[end]=ve[end]：end为汇点。

• 事件 $v_i$ 允许的最晚发生时间vl[i]是在保证完成顶点 $v_{end}$ 在ve[end]时刻发生的前提下，事件 $v_i$ 允许发生的最晚时间，它等于ve[end]减去 $v_i$ 到 $v_{end}$ 的最长路径长度。

• 按照拓扑序的逆序求解，因此需要使用原图的反向图。假设在反向图中存在一条反向边(ver, j)，边的权重为w[i]，则vl[j] = min(vl[j], vl[ver] - w[i])。

根据上述求出的ve、vl数组，我们可以得出关键路径上的点，所有vl[i]-ve[i]==0的点是关键路径上的点，对于上面的例子，我们可以得到下表：

顶点	ve[i]	vl[i]	vl[i]-ve[i]
1	0	0	0
2	6	6	0
3	4	6	2
4	5	8	3
5	7	7	0
6	7	10	3
7	16	16	0
8	14	14	0
9	18	18	0

从起点做一遍dfs就可以求出关键路径上的点。

---

ee数组的求解：活动的最早发生时间

• 在建图的时候，我们每次会在原图和反向图中分别加一条边，边的编号从0开始，因此0、1，2、3…等都是成对出现的，其中偶数编号的边在原图中，奇数编号的边在反向图中。我们求解原图中的关键边即可。

• 在原图中根据拓扑序求解ee，如果存在一条(ver, j)的边，边的编号为i，则ee[i]=ve[ver]。

el数组的求解：活动的最晚发生时间

• 需要在反向图中求解el数组，如果在反向图存在一条(ver, j)的边，边的编号为i，则el[i-1]=vl[ver]-w[i]。这里i-1是因为我们求解的是原图中的关键边。

根据上述求出的ee、el数组，我们可以得出关键路径上的边，所有el[i]-ee[i]==0的边是关键路径上的边，对于上面的例子，我们可以得到下表：

活动	活动在原图中的编号i	ee[i]	el[i]	el[i]-ee[i]
a1	0	0	0	0
a2	2	0	2	2
a3	4	0	3	3
a4	6	6	6	0
a5	8	4	6	2
a6	10	5	8	3
a7	12	7	7	0
a8	14	7	7	0
a9	16	7	10	3
a10	18	16	16	0
a11	20	14	14	0

从起点做一遍dfs就可以求出关键路径上的边。

三. 代码实现

• 这里使用问题描述的图进行测试，测试输入如下：

9 11
1 2 6
1 3 4
1 4 5
2 5 1
3 5 1
4 6 2
5 7 9
5 8 7
6 8 4
7 9 2
8 9 4

• 第一行两个数n、m，代表图中的点数、边数；

• 接下来的m行，每行有三个数a、b、c表示有一条从a指向b且权重为c的边。

• 默认这里1号点为源点，n号点为汇点。

只求解关键路径

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <vector>

using namespace std;

const int N = 1010, M = 100010;

int n, m;
int hs[N], ht[N], e[M], w[M], ne[M], idx;  // 顶点表示事件，边表示活动

int ve[N], vl[N];  // 事件允许的最早发生时间, 事件允许的最晚发生时间
// int ee[M], el[M];  // 活动的最早发生时间, 活动的最晚发生时间

int d[N];  // 每个点的入度
int q[N];  // 拓扑排序数组

vector<int> path;
vector<vector<int>> res;

void add(int h[], int a, int b, int c) {
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

void topsort() {

    int hh = 0, tt = 0;
    q[0] = 1;
    while (hh <= tt) {
        int t = q[hh++];
        for (int i = hs[t]; ~i; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            if (--d[j] == 0)
                q[++tt] = j;
        }
    }
}

void critical_path() {

    topsort();

    // 求解事件允许的最早发生时间
    ve[1] = 0;
    for (int k = 0; k < n; k++) {
        int ver = q[k];
        for (int i = hs[ver]; i != -1; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            ve[j] = max(ve[j], ve[ver] + w[i]);
        }
    }

    // 求解事件允许的最晚发生时间
    memset(vl, 0x3f, sizeof vl);
    vl[n] = ve[n];
    for (int k = n - 1; k >= 0; k--) {
        int ver = q[k];
        for (int i = ht[ver]; i != -1; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            vl[j] = min(vl[j], vl[ver] - w[i]);
        }
    }
}

void dfs(int u) {
    
    path.push_back(u);
    
    if (hs[u] == -1) {
        res.push_back(path);
    }
    
    for (int i = hs[u]; ~i; i = ne[i]) {
        int j = e[i];
        if (vl[j] - ve[j] == 0)
            dfs(j);
    }
    
    path.pop_back();
}

int main() {

    cin >> n >> m;
    memset(hs, -1, sizeof hs);
    memset(ht, -1, sizeof ht);
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        add(hs, a, b, c);
        add(ht, b, a, c);
        d[b]++;
    }

    // 输入满足1号点是源点，n号点是汇点
    critical_path();
    
    dfs(1);
    
    for (auto &t : res) {
        for (int i = 0; i < t.size(); i++)
            cout << t[i] << ' ';
        cout << endl;
    }

    return 0;
}

结果如下（关键路径经过的点）：

1 2 5 8 9 
1 2 5 7 9 

求解关键路径 和 关键活动

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <vector>

using namespace std;

const int N = 1010, M = 100010;

int n, m;  // 顶点数、边数
int hs[N], ht[N], e[M], w[M], ne[M], idx;  // 顶点表示事件，边表示活动

int ve[N], vl[N];  // 事件允许的最早发生时间, 事件允许的最晚发生时间
int ee[M], el[M];  // 活动的最早发生时间, 活动的最晚发生时间

int d[N];  // 每个点的入度
int q[N];  // 拓扑排序数组

// 存储关键路径上的点
vector<int> path;
vector<vector<int>> res;
// 存储关键路径上的边
vector<int> edge;
vector<vector<int>> edges;

void add(int h[], int a, int b, int c) {
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

void topsort() {

    int hh = 0, tt = 0;
    q[0] = 1;
    while (hh <= tt) {
        int t = q[hh++];
        for (int i = hs[t]; ~i; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            if (--d[j] == 0)
                q[++tt] = j;
        }
    }
}

void critical_path() {

    topsort();

    // 求解事件允许的最早发生时间
    ve[1] = 0;
    for (int k = 0; k < n; k++) {
        int ver = q[k];
        for (int i = hs[ver]; i != -1; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            ve[j] = max(ve[j], ve[ver] + w[i]);
        }
    }

    // 求解事件允许的最晚发生时间
    memset(vl, 0x3f, sizeof vl);
    vl[n] = ve[n];
    for (int k = n - 1; k >= 0; k--) {
        int ver = q[k];
        for (int i = ht[ver]; i != -1; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            vl[j] = min(vl[j], vl[ver] - w[i]);
        }
    }
    
    // 求解活动的最早发生时间
    for (int k = 0; k < n; k++) {
        int ver = q[k];
        for (int i = hs[ver]; i != -1; i = ne[i]) {  // (ver, j), 正向边为i
            ee[i] = ve[ver];
        }
    }
    
    // 求解活动的最晚发生时间
    for (int k = n - 1; k != -1; k--) {
        int ver = q[k];
        for (int i = ht[ver]; i != -1; i = ne[i]) {  // (ver, j), 反向边为i
            el[i - 1] = vl[ver] - w[i];  // i-1是原图中边的编号
        }
    }
}

void dfs_v(int u) {
    
    path.push_back(u);
    
    if (hs[u] == -1) {
        res.push_back(path);
    }
    
    for (int i = hs[u]; ~i; i = ne[i]) {
        int j = e[i];
        if (vl[j] - ve[j] == 0)
            dfs_v(j);
    }
    
    path.pop_back();
}

void dfs_e(int u) {
    
    if (hs[u] == -1) {
        edges.push_back(edge);
    }
    
    for (int i = hs[u]; ~i; i = ne[i]) {
        int j = e[i];
        if (el[i] - ee[i] == 0) {
            edge.push_back(w[i]);
            dfs_e(j);
            edge.pop_back();
        }
    }
}

void out() {
    
    cout << endl;
    
    // 输出上述分析中的ve、vl数组
    cout << "ve :      ";
    for (int i = 1; i <= n; i++) cout << ve[i] << ' ';
    cout << endl;
    
    cout << "vl :      ";
    for (int i = 1; i <= n; i++) cout << vl[i] << ' ';
    cout << endl;
    
    cout << "vl - ve : ";
    for (int i = 1; i <= n; i++) cout << vl[i] - ve[i] << ' ';
    cout << endl;
    
    cout << "-------------------------------" << endl;
    // 输出上述分析中的ee、el数组
    cout << "ee :      ";
    for (int i = 0; i < idx; i += 2) cout << ee[i] << ' ';
    cout << endl;
    
    cout << "el :      ";
    for (int i = 0; i < idx; i += 2) cout << el[i] << ' ';
    cout << endl;
    
    cout << "el - ee : ";
    for (int i = 0; i < idx; i += 2) cout << el[i] - ee[i] << ' ';
    cout << endl;
}

int main() {

    cin >> n >> m;
    memset(hs, -1, sizeof hs);
    memset(ht, -1, sizeof ht);
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        add(hs, a, b, c);
        add(ht, b, a, c);
        d[b]++;
    }

    // 输入满足1号点是源点，n号点是汇点
    critical_path();
    
    
    dfs_v(1);  // 求解关键路径上的点
    dfs_e(1);  // 求解关键路径上的边
    
    // 输出关键路径 以及关键路径上的权值
    int cnt = res.size();  // 一共cnt条关键路径
    for (int i = 0; i < cnt; i++) {
        // 先输出边的上权值
        auto cri_edge = edges[i];
        cout << "   ";
        for (auto t : cri_edge)
            cout << t << "    ";
        cout << endl;
        
        // 输出顶点
        auto cri_node = res[i];
        cout << cri_node[0];
        for (int i = 1; i < cri_node.size(); i++)
            cout << " -> " << cri_node[i];
        cout << endl;
    }
    
    // 输出上述分析的两个表
    out();

    return 0;
}

结果如下：

   6    1    7    4    
1 -> 2 -> 5 -> 8 -> 9
   6    1    9    2    
1 -> 2 -> 5 -> 7 -> 9

ve :      0 6 4 5 7 7 16 14 18 
vl :      0 6 6 8 7 10 16 14 18 
vl - ve : 0 0 2 3 0 3 0 0 0 
-------------------------------
ee :      0 0 0 6 4 5 7 7 7 16 14 
el :      0 2 3 6 6 8 7 7 10 16 14 
el - ee : 0 2 3 0 2 3 0 0 3 0 0 

结果分析：