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前言

相比较其他语言MATLAB 在处理矩阵和向量方面可谓功能十分强大，以下主要记录整理学习过程中一些矩阵的操作

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一、矩阵的创建

1.1矩阵的创建：
将矩阵的元素用方括号括起来，按矩阵行的顺序输入各元素；
同一行的元素间用逗号或空格隔开，行与行之间用分号或回车键隔开

例如：

>> a=[1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9]  %矩阵创建
a =

     1     2     3
     4     5     6
     7     8     9
     
>> a=[1, 2, 3]  %行向量

a =

     1     2     3

>> a=[1; 2; 3]  %列向量

a =

     1
     2
     3

1.2等间隔行向量的创建：

行向量在绘制图像，表达式运算等方面起着重要作用

1）冒号表达式

格式1  x1：dx：x2
格式2  x1：x2

说明：
初值 x1、增量 dx 和 终值 x2 分别表示开始值、步长和结束值。
增量可为负值， 省略时则默认增量为1；
当增量省略或 增量＞0 而 初值＞终值 时为空向量
当增量＜0 而 初值＜终值 时也为空向量。

2） 使用linspace生成等间隔行向量

linspace函数的格式： linspace(a,b,n)

说明：linspace函数的功能为生成从 a 到 b 之间等间隔的 n 个元素
的行向量(n的默认中为100)

两种创建方式的使用视情况而定，若需要控制向量的个数，则使用linspace函数较为方便，若需要控制一段范围的步长，则使用冒号表达式更快捷

两种创建方式如下：

t1=0:0.1:pi;
t2=linspace(0,2*pi,5);

1.3利用Matlab内部函数产生特殊矩阵

在MATLAB的elmat函数库中存在一些创建特殊矩阵的函数

函数名称	函数功能
zeros	创建零矩阵
ones	创建全一矩阵
eye	创建单位矩阵
rand	产生[0, 1]之间均匀分布的随机数
randn	产生服从标准正态分布的随机数（均值为零，标准差为1）

函数的调用格式与用法如下：

zeros(n)	产生n×n零矩阵
zeros(m,n)	产生m×n零矩阵
zeros(size(A))	产生与矩阵A同样大小的零矩阵
t = rand	产生一个[0, 1]之间均匀分布的随机数
t = rand(3)	产生元素在[0, 1]之间均匀分布的3x3的随机数矩阵
t=rand(3,4)	产生3x4的[0, 1]之间均匀分布的随机数矩阵
t=10*rand(3,4)-5	产生[-5,5]之间均匀分布的3x4的随机矩阵
t=randn(3,4)*sqrt(5)+3	产生3x4阶均值为3,方差为5的正态分布的随机矩阵

二、矩阵的基本操作

1.矩阵元素的访问

1）向量元素的访问：
设 v 是向量，则 v(i) 表示向量 v 的第 i 个元素。
注意：Matlab中数组下标从1开始。

2）矩阵元素访问——全下标方式
A(i,j) 表示矩阵A中位于第 i 行、第 j 列的元素
例如：
A=[1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9]中
A( 1, 2 ) 即为 2

3）单下标方式
也可以根据矩阵元素在内存中的存储次序（序号）来引用矩阵元素

注意：在Matlab中矩阵的书写按行的顺序书写，但在内存中，按照列的顺序存储!

4）逻辑下标方式（见取子数组）

2.取子数组

同矩阵访问元素类似，在矩阵中取出子数组操作大致相同

1）全下标方式

格式：A(Rows, Cols)

得到的是一个子矩阵，其中，
Rows是由（要取的行的）行下标组成的向量（如果只取1行，则Rows 是标量）
Cols是由（要取的列的）列下标组成的向量（如果只取1列，则Cols 是标量）
“ ：”出现在行下标的位置表示所有行，
“ ：”出现在列下标的位置表示所有列，
end出现在行下标的位置表示最大的行下标，
end出现在列下标的位置表示最大的列下标

例如：

>>A=[1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12];
A(1,:)     %表示提取A的第1 行
A(:,end)   %表示提取A的最后1 列
A([3  1], :)  %表示提取A的第3行和第1行（行的顺序和A([1 3],:)不同

2)单下标方式：
通俗的来讲呢，就是将多个元素按照向量的形式取出

格式：A(S), 得到的是由A中（部分或所有）元素组成的向量

其中，S是由这些元素的单下标组成的向量
例如：

>>A=[1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12];
>>A(1:6)
ans =

     1     5     9     2     6    10

3）逻辑表达式
1.利用find函数

基本格式：indexes=find(X)

功能：返回数组X中非零元素的序号（单下标），如无非零元素，则返回空数组

格式：[I, J]=find(X), X是矩阵

功能：返回矩阵X中非零元素的行号和列号。

格式：[I, J, V]=find(X), X是矩阵

功能：返回矩阵X中非零元素的行号、列号及值

2.逻辑数组作为下标

关系表达式及逻辑表达式 的运算结果为逻辑数组，还可以用logical函数将数值数组转换为逻辑数组

格式：logical(X)

功能：将数值数组X转换为逻辑数组

这种取数组的方式通常用于筛选出数组中的特殊元素
例如：

已知A=[4,-5,0,0,4; -5,0,7,-6,0]，找出A的元素中的正偶数，统计个数、并求和。

方法一：使用find（）函数

A=[4,-5,0,0,4;  -5,0,7,-6,0]
xp=find(A>0 & rem(A,2)==0)   %A中正偶数的序号
yp=A(xp)                     %A中的正偶数
N=length(xp)                 % A中正偶数的个数
sum(yp)                      %A中正偶数之和 

方法二：利用逻辑数组下标

A=[4,-5,0,0,4;  -5,0,7,-6,0]
Lp =  A>0 & rem(A,2)==0
yp=A(Lp)    %A中的正偶数，也可直接写成yp=A(A>0 & rem(A,2)==0)
N=length(yp)
sum(yp)

3.矩阵元素赋值

学会子数组及矩阵元素的访问后，矩阵赋值则变得十分简单
1）全下标方式

格式：A(Rows, Cols)=B

功能：给矩阵A的部分元素赋
其中， Rows和Cols 均为标量或向量，分别指定待赋值元素所在的行和列。
当B为标量时，表示将A的指定元素均赋值为B;
当B不为标量时，要求矩阵B的行、列数必须和左边子矩阵的行、列数完全一致
需要特别注意的是 A = B 则意味着赋值后的 A 变为一个标量

2）单下标方式：

格式：A(Indexes) = B

功能：给矩阵A的部分元素赋值
其中，Indexes为标量或向量（用于指定待赋值元素的序号）
注意：当A为矩阵时，其单下标（序号）不能越界
当B为标量时，表示将A的指定元素均赋值为B;
当B不为标量时，要求B的元素个数必须等于A的待赋值的元素个数（但行列数可以不相等）

4.矩阵的拼接与扩展

矩阵拼接：
将几个矩阵放在[ ]内，
水平连接用空格或逗号隔开，

[A B] 或 [A , B] 也可以写成 horzcat(A,B)

垂直连接用分号或回车键隔开，

[A ; B] 也可以写成 vertcat(A,B)

矩阵扩展：
函数repmat

格式：repmat(A, row,col) 或repmat(A, [row,col])

功能：将矩阵A沿行和列的方向分别重复row和 col次
例如： repmat(A , 2 , 3) 和 [A A A ; A A A]相同

5.矩阵元素的删除

删除矩阵元素很简单，只有通过赋值为空（[]），就可以实现删除若干行元素、若干列元素和整个数组

三、矩阵的算术运算

Matlab中的运算符及特殊符号的用法可以使用 help ops 命令查看

1.基本矩阵运算

加	C=A+B	C=plus(A,B)
减	C=A-B	C=minus(A,B)
累加	C=+A	C=uplus(A)
累减	C=-A	C=uminus(A)
乘积	C=A*B	C=mtimes(A,B)
乘方	A^k	mpower(A,k)
左除	A\B = inv(A)*B	mldivide(A,B)
右除	A/B = A*inv(B)	mrdivide(A,B)
共轭转置	A’	ctranspose(A)
非共轭转置	A.’	transpose(A)

上诉计算式，当 A为标量时，该标量与矩阵每一个元素进行运算，否则，服从线性代数运算法则

需要特别注意的是左除操作
x=A \ b 为线性方程组 A*x = b 的解
即：若要求解线性方程组
只需以下代码即可实现：

A=[2 2 -1 1;4 3 -1 2;8 3 -3 4;3 3 -2 -2];
b=[4 6 12 6]';
x=A\b　%等价于 x=inv(A)*b　

2.向量（数组）运算

在运算符 * \ / ^ 前面加.号表示数组运算（或称为点运算）

A.*B	times(A,B)
C=A.\B	C=ldivide(A,B) ，执行后C(i,j) = B (i,j) \ A(i,j)
C=A./B	C=rdivide(A,B) ，执行后C(i,j) = B (i,j) / A(i,j)
A.^B	power(A,B)

四、矩阵的关系逻辑运算

1.关系运算符

MATLAB 中关系运算符有六种：
==(eq)、～= (ne) 、 < (lt)、<= (le)、> (gt)、>= (ge)

关系运算法则：
1）当两个比较量是标量时，直接比较两数的大小。若关系成立，关系表达式结果为1，否则为0。
2）当参与比较的量是两个同型的矩阵时，比较是对两矩阵相同位置的元素按标量关系运算规则逐个进行，并给出元素比较结果。最终的关系运算的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由0或1组成。
3）当参与比较的一个是标量，而另一个是矩阵时，则把标量与矩阵的每一个元素按标量关系运算规则逐个比较，并给出元素比较结果。最终的关系运算的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由0或1组成。

2.逻辑运算符

a&b	当 a和b都非零时，运算结果为1；只要a和b中有一个为零，则结果为0.
a|b	只要a和b中有一个非零，则结果为1 (只有当a和b 都为零时，运算结果为0，否则为1）
~a	当a是零时，运算结果为1；当a非零时，运算结果为0
xor(a,b)	当a和b中恰好一个为0，另一个不为0时运算结果为1，否则为0
a && b (先决与)	当a为0时，则结果为0，而不去计算&&右边表达式的值（只有当该逻辑运算符的左边非零时，才继续执行该符号右边的运算）。
a || b (先决或)	当a为1时，则结果为1，而不去计算

(1)若参与逻辑运算的是两个同型矩阵，则对两个矩阵相同位置的元素逐对按标量规则进行逻辑运算。 最终运算结果是一个与原矩阵同型的逻辑矩阵。
(2)若参与逻辑运算的一个是标量，一个是矩阵，则分别用矩阵的每个元素和标量进行逻辑运算。最终运算结果是一个与原矩阵同型的逻辑矩阵。
(3) 逻辑非是一个单目运算。若A是一个数组，~A 对矩阵A的每个元素进行逻辑非运算，得到的结果是一个与A同型的逻辑矩阵。

五、矩阵相关函数

矩阵分析

函数	功能
inv(A)	方阵A的逆
pinv(A)	矩阵A 的广义逆（或称为伪逆）
det(A)	方阵A的行列式.
rank(A)	矩阵的秩
trace(A)	矩阵A的迹 (即主对角线元素之和 ).
poly (A)	当A是方阵时，求矩阵A的特征多项式
fliplr	用于将矩阵各列左右颠倒，
flipud	将矩阵各行上下颠倒，
rot90	将矩阵元素绕矩阵的中心逆时针旋转90度
flipdim(A,dim)	功能：将A关于第d维翻转得到B。dim=1, 对行下标进行反转； dim=2, 对列下标进行反转
any(x)	功能：1）若x是一个向量，如果x中存在非零元素，则返回1；否则，返回0。2）若x为矩阵，则分别对矩阵的每一列进行判断，最后返回一个由元素0和1组成的行向量。
all(x)	功能：（1）若x是一个向量，如果x中所有元素都非0，则返回1；否则，返回0 （2）若x为矩阵，则分别对矩阵的每一列进行判断，最后返回一个由元素0和1组成的行向量。
isempty(A)	判断A是否为空矩阵，如果是返回1,否则返回0.
isnan(A)	对于A的每个元素分别判断是否为NaN
isinf(A)	对于A的每个元素分别判断是否为无穷大(inf或者-inf)
isfinite(A)	对于A的每个元素分别判断是否为有限的值
isa(x, ‘ClassName’)	判断x是否为’ClassName’类型的数据（常量或变量），例如：isa(x,’double’)判断x是否为双精度型的变量，isnumeric(A) 判断A是否为数值型，islogical(A) 判断A是否为逻辑型，类似的还有：isfloat(A), isinteger(A),isreal(A) ,ischar(A), iscell(A), isstruct(A)等
isscalar(A)	判断A是否为标量
isvector(A)	判断A是否为向量
isrow(A)	判断A是否为行向量
iscolumn(A)	判断A是否为列向量
isequal(A,B)	如果A和B是同型的，并且数组的元素也相同，则返回1，否则返回0
exist	判断是否存在指定的变量或者文件

矩阵运算

函数	功能
expm	矩阵指数运算
logm	矩阵指数运算
sqrtm	矩阵开方运算
funm	调用函数，例如：funm(A,’exp’)或funm(A, @exp)等价于expm(A) ；funm(A,’log’) 等价于 logm(A) ； funm(A,’sqrt’) 等价于sqrtm(A)

线性代数

函数	功能
Z=null(A)	Z的各列为矩阵A零空间的一组标准正交基，即：A*Z=0, Z’*Z=I 且size(Z,2)=dim(null(A)),可用于求Ax=0的基础解系
B=orth(A)	得到range(A)的一组标准正交基，即B’*B=I, 并且B和A张成相同的线性空间
rref(A)	利用高斯消元法产生矩阵A的行阶梯形矩阵（即矩阵非零行的第1个非零元素为1，且该非零元素所在列的其它元素均为零，可用于求Ax=b的解或通解）
subspace(A,B)	用于求两个子空间之间的夹角

矩阵的范数与条件数

函数	功能
norm	- 求矩阵或向量的范数
normest	- 估计矩阵的2范数.
normest1	- 估计矩阵的1范数.
cond	- 求矩阵的条件数
rcond	- 估计1范数下的条件数的倒数
condest	- 估计1范数下的条件数
condeig	- 计算矩阵特征值的条件数

矩阵分解

函数	功能
chol	- Cholesky分解.
cholinc	- 不完全Cholesky分解.
ldl	- 块LDL’分解.
lu	- LU 分解.
luinc	- 不完全LU 分解.
qr	- QR分解

特征值与奇异值分解

函数	功能
eig	- 特征值分解，计算特征值问题及广义特征值问题.
svd	- 奇异值分解
gsvd	- 广义奇异值分解
eigs	- 计算最大（或最小）的k个特征值及对应的特征向量（也可用于求广义特征值问题）.
svds	- 计算最大（或最小）的k个奇异值

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总结

MATLAB 是一个功能强大软件，对矩阵的操作对于学习这门语言来讲更是十分重要，花了一天时间去整理相关的内容写下这篇博客，总的来说是比较枯燥繁琐的，但是写完又会感到一种成就感，对知识的掌握也更加熟练，希望之后的学习之路更加顺利吧。