目录

1.IEEE754标准格式

2.IEEE754标准中的符号码

3.IEEE754标准中的阶码

4.IEEE754标准中的尾数

5.IEEE754标准的真值计算

6.十进制转化成IEEE754标准浮点数

7.IEEE754标准浮点数的范围

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1.IEEE754标准格式

在IEEE 754 格式浮点数分 3 个类型的浮点数：分别是 短浮点数 float，长浮点数 double，临时短浮点数 long double，由 3 个部分组成，分别是 符号码，阶码，尾数码，对应部分所占位数，如图所示：

2.IEEE754标准中的符号码

S是浮点数的符号位，占1位，安排在最高位，S=0表示正数，S=1表示负数。

3.IEEE754标准中的阶码

在 IEEE 754 浮点数标准中，阶码是用移码表示的，移码的定义：移码 = 真值 + 偏置值；

• 普通情况下，移码的偏置值为 2^(n-1)， 8 位的移码的偏置值为 2^(8-1) = 128D = 1000 0000B；例如：-127D = -0111 1111B ， 其移码为 -0111 1111 + 1000 0000 = 0000 0001；
• 在 IEEE 754 标准中，移码的偏置值是 2^(n-1)-1，8 位的移码的偏置值为 2^(8-1)-1 = 127D = 0111 1111B；

​ 例如：-126D = -0111 1110B ，其移码为 -0111 1110 + 0111 1111 = 0000 0001

注意：8 位中，-127D 和 128D 这 2 个阶码有特殊用途，一般不在正常讨论范围（-126～127），他们的移码分别是：

• -127D：-0111 1111 + 0111 1111 = 0000 0000；
• 128D：1000 0000 + 0111 1111 = 1111 1111；

4.IEEE754标准中的尾数

在 IEEE 754 浮点数标准中，尾数码部分采用原码表示，且尾数码隐含了最高位 1，在计算时我们需要加上最高位1，即 1.M，我们通过一个例子来表示：

​ 例如：有一个浮点数，真值为 0.11B ，那么其简略版的 IEEE 754 标准表示为（忽略 符号码 和 阶码）：

S(1) E(8) 100 0000 0000 0000 0000 0000
​ 即当 0.11B 这个数在记录为 IEEE 754 标准浮点数时，会这样处理，令 0.11 = 1.1 * 2^(-1) ，尾数码是 1.1000…，然后隐含最高位1，即 1 .1000…。

5.IEEE754标准的真值计算

在上述内容的分析之后，再通过观察分析以下这个 IEEE 754 单精度浮点数格式表示的数，系统性了解如何计算出 IEEE 754 标准浮点数的真值：

1 100 0000 1010 0000 0000 0000 0000 0000
上数分别对应图1-1的中 S（符号码，0 正，1 负），E (阶码) ，M (尾数数值)为：

• S（红色部分）：1

1，表示这个浮点数是个负数；

• E（蓝色部分）:10000001

100 0000 1，阶码，其真值为 ：移码 - 偏置值 => 1000 0001 - 0111 1111 = 0000 0010 = 2D；

• M（黑色部分）：010 0000 0000 0000 0000 0000

010 0000 0000 0000 0000 0000 表示这个浮点数的尾数部分，其真值为：被隐含的最高位1 + 0.尾数部分 => 1 + 0.01 = 1.01B;

通过对 S，E，M 的分析，我们可以计算出该浮点数的真值，即：

-1.01B * 2^10B = 1.25D * 2^2D = -5.0D或 -1.01B * 2^10B = -101.0B = -5.0D

6.十进制转化成IEEE754标准浮点数

同样地再用一个例子 十进制数转为 IEEE 754 浮点数的例子，加深对 十进制数 与 IEEE 754 浮点数之间的转换的理解。

​ 例如：将十进制数 -0.75 转为 IEEE 754 的单精度浮点数格式表示，分析过程如下：

过程A： -0.75D = -0.11B = -1.1B * 2^(-1B)

• S：1

-0.75 为负数，故 S 符号码为 1

• E：0111 1110

由 过程A 得，阶码的真值为 -0000 0001 ，其移码为：-0000 0001 + 0111 1111 = 0111 1110

• M：100 0000 0000 0000 0000 0000

由 过程A 得，尾数码真值为：-1.1，隐含最高位 1 ，取小数部分，得100 0000 0000 0000 0000 0000

最终结果为：

1 011 1111 0100 0000 0000 0000 0000 0000

7.IEEE754标准浮点数的范围

最小绝对值
IEEE 754 单精度浮点型表示的的最小绝对值：尾数码全为 0 ，阶码真值为 -126D（对应的移码为 0000 0001B），此时整体的值为 1.0B * 2^(-126D)

最大绝对值
IEEE 754 单精度浮点型表示的的最大绝对值：尾数码全为 1 ，阶码真值为 127D（对应的移码为 1111 1110B），此时整体的值为 1.111…B * 2^(127D

 关于阶码真值为 -127 和 128
一般我们正常探讨的阶码区间是 -126D ～ 127D，而真值 -127D 的阶码为 0000 0000B，真值 128D 的阶码为 1111 1111B。

阶码真值为 -127
当阶码全为 0 ，尾数不全为 0，表示 非规格化小数 ，用来表示比最小绝对值还要小的数，即
尾数码 隐含的最高位不是 1，而是 0；
阶码真值 固定为 -126，而非 -127；
当阶码全为 0 ，尾数全为 0，表示 真值 +/- 0 ；
阶码真值为 128
当阶码全为 1 ，尾数全为 0，表示 正负无穷大 +/- ∞

当阶码全为 1 ，尾数不全为 0，表示非数值 NaN（Not a Number）