LASSO回归

LASSO(Least Absolute Shrinkage and Selection Operator，最小绝对值收敛和选择算子算法)是一种回归分析技术，用于变量选择和正则化。它由Robert Tibshirani于1996年提出，作为传统最小二乘回归方法的替代品。

损失函数

1.线性回归

2.岭回归

岭回归的损失函数，在标准线性回归损失函数的基础上，增加了对权重的控制，作为正则化项，惩罚系λ乘以w向量的L2-范数的平方。

3.LASSO回归

LASSO回归的损失函数，同样在标准线性回归损失函数的基础上，增加了正则化项，正则化项改为惩罚系数λ乘以w向量的L1-范数的平方。

岭回归和LASSO回归通过调节λ的值来控制正则化的强度。λ的值越大，收缩效果越明显，越多的预测变量系数被设为零。相反，λ的值越小，模型越不稀疏，允许更多的预测变量具有非零系数。较小的λ值会接近于普通最小二乘回归。

在LASSO回归中，由于L1范数的几何特性，导致某些参数估计值为零，从而实现了变量的稀疏性。而岭回归通常会使得参数估计值接近于零，但不会精确地将某些参数收缩到零。

由于LASSO损失函数存在绝对值，所以并不是处处可导的，所以没办法通过直接求导的方式来直接得到w。

坐标下降法

坐标下降法（Coordinate Descent）是一种优化算法，用于求解无约束优化问题。它适用于目标函数可分解为各个变量的子问题的情况，即目标函数可以表示为各个变量的函数的和。

坐标下降法的基本思想是，在每次迭代中，固定除一个变量以外的其他变量，通过求解仅关于该变量的子问题来更新该变量的值。然后依次对每个变量进行更新，直到满足停止准则或达到最大迭代次数。坐标下降法的迭代步骤如下：

• 1.初始化变量的初始值。

• 2.选择一个变量w_i。

• 3.将除变量w_i以外的其他变量固定，将目标函数表示为只关于变量w_i的函数。

• 4.求解子问题，更新变量w_i的值，使得目标函数最小化。

• 5.重复步骤2-4，对下一个变量进行更新，直到所有变量都被更新一遍。

• 6.检查停止准则（当所有权重系数的变化不大或者到达最大迭代次数时，结束迭代
  ），如果满足停止准则，则停止迭代；否则返回步骤2。

在第k次迭代时，更新权重系数的方法如下：

最小角回归

• 1.初始化：将所有自变量的系数设为零。

• 2.计算残差：计算当前模型的残差向量，表示目标变量与当前模型预测之间的差异。

• 3.选择自变量：选择与残差向量具有最大相关性的自变量。可以使用内积或相关系数来度量相关性。在初始阶段，与残差具有最大相关性的自变量将被选为第一个加入模型的自变量。

• 4.移动向量：将当前自变量的系数朝着它与残差向量之间的夹角最小的方向移动。这可以通过计算自变量与残差向量的内积来实现。

• 5.跟踪相关性：跟踪已选定自变量与其他自变量之间的相关性变化。为此，计算每个自变量与残差向量之间的相关系数。

• 6.更新系数：根据相关性的变化，更新自变量的系数。具体而言，增加具有最大相关系数的自变量的系数，使其逐渐接近其最终值。

• 7.跟踪变量：在更新系数后，重新计算已选定自变量与其他自变量之间的相关系数，以跟踪相关性的变化。

• 8.重复步骤4-7：重复移动向量、跟踪相关性和更新系数的步骤，直到选择的自变量数达到预设的阈值或满足其他停止准则。停止准则可以是预先确定的自变量数目，也可以是基于交叉验证或信息准则的模型选择方法。

sklearn实现

1.坐标下降法

from sklearn.linear_model import Lasso

# 初始化Lasso回归器，默认使用坐标下降法
reg = Lasso(alpha=0.1, fit_intercept=False)
# 拟合线性模型
reg.fit(X, y)
# 权重系数
w = reg.coef_

2.最小角回归法

from sklearn.linear_model import LassoLars

# 初始化Lasso回归器，使用最小角回归法
reg = LassoLars(alpha=0.1, fit_intercept=False)
# 拟合线性模型
reg.fit(X, y)
# 权重系数
w = reg.coef_

参考：机器学习算法系列-Lasso回归算法