算法背景

灰狼优化算法(GWO)，由澳大利亚格里菲斯大学学者 Mirjalili 等人于2014年提出来的一种群智能优化算法。灵感来自于灰狼群体捕食行为。

优点：较强的收敛性能，结构简单、需要调节的参数少，容易实现，存在能够自适应调整的收敛因子以及信息反馈机制，能够在局部寻优与全局搜索之间实现平衡，因此在对问题的求解精度和收敛速度方面都有良好的性能。

缺点：存在着易早熟收敛，面对复杂问题时收敛精度不高，收敛速度不够快

应用：车间调度、参数优化、图像分类、路径规划。

算法思想

灰狼群体中有严格的等级制度，一小部分拥有绝对话语权的灰狼带领一群灰狼向猎物前进。灰狼群一般分为4个等级： \alpha \beta \delta \omega （权利从大到小）模拟领导阶层。

集体狩猎是灰狼的一种社会行为，社会等级在集体狩猎过程中发挥着重要的作用，捕食的过程在α的带领下完成。主要包括三个步骤：

  • 跟踪和接近猎物
  • 骚扰、追捕和包围猎物，直到它停止移动
  • 攻击猎物

社会等级分层

构建灰狼社会等级层次模型，对灰狼的社会等级进行数学建模。

考虑一个搜索空间，现实中狼群由眼睛嗅觉等等知道猎物的位置，然而计算机中模拟无法做到这点，但是我们可以假设，猎物位置是由我们在搜索空间中发现的最佳解决方案提供，我们可以使用该解决方案去找到更好的解决方案，不断迭代优化，此最优解决方案会非常接近最好的解决方案。

将 \alpha 作为最优解（个体的适应度最优），次优解  \beta ，最佳解决方案 \delta ，剩下的候选解命名为 \omega， 狩猎过程由 \alpha \beta \delta 引导，\omega 跟随这三只狼。即我们总是去找到三个最佳解决方案，然后围绕该区域进行搜索，目的是找到更好的解决方案然后更新\alpha \beta \delta 。

包围猎物

在狩猎过程中，将灰狼围捕猎物的行为定义如下：

个体与猎间的距离公式：

D=|C\cdot X_{p}(t)-X(t)|        （1）

灰狼位置更新公式：

X(t+1)=X_{p}(t)-A\cdot D        （2）

系数向量：

A=2a\cdot r1-a        （3）

C=2\cdot r2        （4）

其中：t 为迭代次数，D 是个体与猎间的距离向量， ‘\cdot’ 不是点积，是乘法，X_{p} 是猎物位置向量，X 为灰狼位置向量，a  是收敛因子（随迭代次数从 2 线性减小到 0 ），r1 和 r2 是随机向量，模取【0-1】之间的随机数。

从公式可以看出，经过移动后灰狼群向 \alpha 移动，移动方向由自身位置和随机向量 C 决定，移动步长由隔离距离灰狼距离和系数向量 A 决定，即 a 线性减小意味着随机性和运动步长幅度，步长随迭代次数而减小越来越接近最优解。

狩猎

灰狼能够识别猎物的位置并包围它们。当灰狼识别出猎物的位置后,  在 \alpha \beta \delta 的带领下指导狼群包围猎物。灰狼个体跟踪猎物位置的数学模型描述如下：

D_{\alpha }=|C_{1}\cdot X_{\alpha}-X|                        

D_{\beta }=|C_{2}\cdot X_{\beta }-X|                （5）

D_{\delta}=|C_{3}\cdot X_{\delta }-X|                        

其中, D_{\alpha } ，D_{\beta } 和 D_{\delta } 分别表示 \alpha  和  \beta,\delta 与其他个体间的距离；X_{\alpha } X_{\beta }X_{\delta } 分别代表 \alpha  和  \beta,\delta当前的位置；C_{1}C_{2}C_{3} 是随机向量,  X 是当前灰狼的位置。

X_{1}=X_{\alpha }-A_{1}\cdot (D_{\alpha })                        

X_{2}=X_{\beta }-A_{2}\cdot (D_{\beta })                （6）

X_{3}=X_{\delta }-A_{3}\cdot (D_{\delta })                        

 X_{t+1}=\frac{X_{1}+X_{2}+X_{3}}{3}                （7）

式（6）分别定义了狼群中 \omega 个体朝向  \alpha  和  \beta,\delta  前进的步长和方向 ，式 (7) 定义了ω的最终位置。

攻击猎物

当猎物停止移动时,灰狼通过攻击来完成狩猎过程.为了模拟逼近猎物, a 的值被逐渐减小，因此  A的波动范围也随之减小。换句话说，在迭代过程中,当 a  的值从２线性下降到０时，其对应的 A 的值也在区间 [ -a, a ] 内变化。

如图所示，当  A 的值位于区间内时,灰狼的下一位置可以位于其当前位置和猎物位置之间的任意位置（由于随机），当 -1<A<1 时，狼群向猎物发起攻击(陷入局部最优)。当 A>1 或 A<-1 时，灰狼远离猎物，探索其他区域（为了找到全局最优解）。

GWO 另一个有利于全局探索的组件 C（随机权重） ，C 是[0,2]之间的随机向量。表示狼所在的位置对猎物影响的随机权重，C>1表示影响权重大，反之，表示影响权重小。在算法陷入了局部最优并且不易跳出时， C 的随机性在避免局部最优方面发挥了非常重要的作用。

算法流程

伪代码

Initialize the grey wolf population Xi (i=1,2,,,,n)
Initialize a,A,C,t=0

Calculate the fitness of each search agent
X(alpha) = the best search agent
X(bete) = the second best search agent
X(delta) = the third best search agent

while (t< Max number of iterations)
    for each search agent
        Update the position of the current search agent
    end for

    Update a,A,and C
    Calculate the fitness of all search agents
    Update X(alpha),X(bete),and X(delta)
    t=t+1
end while

return X(alpha)

算法测试

求函数最大值（一元）

% 灰狼优化算法（求函数极值）
clc;
clear;
close all;
%% 目标函数
f= @(x) - (x - 10) .^ 2 + x .* sin(x) .* cos(2 * x) - 5 * x .* sin(3 * x) ; % 适应度函数表达式(求这个函数的最大值)  
figure(1);
fplot(f, [0 20], 'b-');                 % 画出初始图像 
title('初始图像');
hold on;
%% 初始化参数
N=30;       % 灰狼个数
dim=1;      % 维度
Iter=50;   % 最大迭代次数
a=2;        % 收敛因子
ub=20;      % 最大值限制
lb=0;       % 最小值限制

% 初始化alpha,beta,delta
Alpha_pos=zeros(1,dim);    
Alpha_score=-inf; %求最大值改为inf
Beta_pos=zeros(1,dim);
Beta_score=-inf; 
Delta_pos=zeros(1,dim);
Delta_score=-inf;

Positions=rand(N,dim).*(ub-lb)+lb;      % 初始化个体位置
Convergence_curve=zeros(1,Iter);        % 收敛曲线
l=0;        %循环次数记录

%% 迭代求解
while l<Iter
    for i=1:size(Positions,1)  
        
       % 超出边界处理
        Flag4ub=Positions(i,:)>ub;
        Flag4lb=Positions(i,:)<lb;
        Positions(i,:)=(Positions(i,:).*(~(Flag4ub+Flag4lb)))+ub.*Flag4ub+lb.*Flag4lb;               
        
        % 计算个体适应度函数
        fitness=f(Positions(i,:));
        
        % 更新 Alpha, Beta, and Delta
        if fitness>Alpha_score 
            Alpha_score=fitness; 
            Alpha_pos=Positions(i,:);
        end    
        if fitness<Alpha_score && fitness>Beta_score 
            Beta_score=fitness; 
            Beta_pos=Positions(i,:);
        end     
        if fitness<Alpha_score && fitness<Beta_score && fitness>Delta_score 
            Delta_score=fitness; 
            Delta_pos=Positions(i,:);
        end
    end
       
    a=2-l*((2)/Iter); % 收敛因子从2线性递减到0
    
    % 更新灰狼个体的位置
    for i=1:size(Positions,1)
        for j=1:size(Positions,2)     
            
            r1=rand(); % r1 is a random number in [0,1]
            r2=rand(); % r2 is a random number in [0,1]   
            A1=2*a*r1-a;
            C1=2*r2;
            D_alpha=abs(C1*Alpha_pos(j)-Positions(i,j)); 
            X1=Alpha_pos(j)-A1*D_alpha;
                       
            r1=rand();
            r2=rand();          
            A2=2*a*r1-a;
            C2=2*r2;       
            D_beta=abs(C2*Beta_pos(j)-Positions(i,j));
            X2=Beta_pos(j)-A2*D_beta;
            
            r1=rand();
            r2=rand();          
            A3=2*a*r1-a; 
            C3=2*r2;          
            D_delta=abs(C3*Delta_pos(j)-Positions(i,j));
            X3=Delta_pos(j)-A3*D_delta;
            
            Positions(i,j)=(X1+X2+X3)/3;% Equation (3.7)         
        end
    end
    l=l+1;    
    Convergence_curve(l)=Alpha_score;
end
plot(Alpha_pos, f(Alpha_pos), '*r');

figure(2);
plot(Convergence_curve);
title('收敛过程'); 

display(['The best solution obtained by GWO is : ', num2str(Alpha_pos)]);
display(['The best optimal value of the objective funciton found by GWO is : ', num2str(Alpha_score)]);

二元函数求最大值

% 灰狼优化算法（求函数极值）
clc;
clear;
close all;
%% 目标函数
[ZuoBiao_x, ZuoBiao_y] = meshgrid(-10:0.1:10,-5:0.1:5);   % 产生二维坐标
ZuoBiao_z = f_xy(ZuoBiao_x, ZuoBiao_y);
figure(1);
s = mesh(ZuoBiao_x, ZuoBiao_y, ZuoBiao_z);                % 画出初始图像 
title('初始图像');
%% 初始化参数
N=30;       % 灰狼个数
dim=2;      % 维度
Iter=200;   % 最大迭代次数
a=2;        % 收敛因子
ub=[10 5];      % 最大值限制
lb=[-10 -5];       % 最小值限制

% 初始化alpha,beta,delta
Alpha_pos=zeros(1,dim);    
Alpha_score=-inf; %求最大值改为inf
Beta_pos=zeros(1,dim);
Beta_score=-inf; 
Delta_pos=zeros(1,dim);
Delta_score=-inf;

Positions=rand(N,dim).*(ub-lb)+lb;      % 初始化个体位置
Convergence_curve=zeros(1,Iter);        % 收敛曲线
l=0;        %循环次数记录

%% 迭代求解
while l<Iter
    for i=1:size(Positions,1)  
        
       % 超出边界处理
        Flag4ub=Positions(i,:)>ub;
        Flag4lb=Positions(i,:)<lb;
        Positions(i,:)=(Positions(i,:).*(~(Flag4ub+Flag4lb)))+ub.*Flag4ub+lb.*Flag4lb;               
        
        % 计算个体适应度函数
        fitness=f_xy(Positions(i,1), Positions(i,2));
        
        % 更新 Alpha, Beta, and Delta
        if fitness>Alpha_score 
            Alpha_score=fitness; 
            Alpha_pos=Positions(i,:);
        end    
        if fitness<Alpha_score && fitness>Beta_score 
            Beta_score=fitness; 
            Beta_pos=Positions(i,:);
        end     
        if fitness<Alpha_score && fitness<Beta_score && fitness>Delta_score 
            Delta_score=fitness; 
            Delta_pos=Positions(i,:);
        end
    end
       
    a=2-l*((2)/Iter); % 收敛因子从2线性递减到0
    
    % 更新灰狼个体的位置
    for i=1:size(Positions,1)
        for j=1:size(Positions,2)     
            
            r1=rand(); % r1 is a random number in [0,1]
            r2=rand(); % r2 is a random number in [0,1]   
            A1=2*a*r1-a;
            C1=2*r2;
            D_alpha=abs(C1*Alpha_pos(j)-Positions(i,j)); 
            X1=Alpha_pos(j)-A1*D_alpha;
                       
            r1=rand();
            r2=rand();          
            A2=2*a*r1-a;
            C2=2*r2;       
            D_beta=abs(C2*Beta_pos(j)-Positions(i,j));
            X2=Beta_pos(j)-A2*D_beta;
            
            r1=rand();
            r2=rand();          
            A3=2*a*r1-a; 
            C3=2*r2;          
            D_delta=abs(C3*Delta_pos(j)-Positions(i,j));
            X3=Delta_pos(j)-A3*D_delta;
            
            Positions(i,j)=(X1+X2+X3)/3;% Equation (3.7)         
        end
    end
    l=l+1;    
    Convergence_curve(l)=Alpha_score;
end

figure(2);
plot(Convergence_curve);
title('收敛过程'); 

display(['The best solution obtained by GWO is : ', num2str(Alpha_pos)]);
display(['The best optimal value of the objective funciton found by GWO is : ', num2str(Alpha_score)]);

多元函书求最小值（代码，24个测试函数，感兴趣下载）

链接：https://pan.baidu.com/s/1sQxYMXhwF1xhRqhXB1kJpQ 
提取码：1234 

GWO解TSP问题（网上找了好久，都不全，自己补充一下，简单注释一下，有问题私聊哦）

% 灰狼优化算法GWO （求TSP问题）
clc;
clear;
%% 初始化参数
N=100;            % 灰狼个数
Max_iter=1000;    % 最大迭代次数
load('city.mat');       % 导入城市数据
City=city;              % 保存城市位置用于计算距离
M=size(city,1);         % 得到TSP问题的规模,即城市数目
dim=M;      % 维度

figure('name','灰狼优化算法');
plot(city(:,1),city(:,2),'o');  %描点   city--（30，2）
for i=1:M
    text(city(i,1)+0.5,city(i,2),num2str(i));       %标号  
end
title('城市初始位置');

% 初始化alpha,beta,delta
Alpha_pos=zeros(1,dim);    
Alpha_score=inf; 
Beta_pos=zeros(1,dim);
Beta_score=inf; 
Delta_pos=zeros(1,dim);
Delta_score=inf;

% 初始化种群位置
Positions=zeros(N,dim);
for i=1:N
    Positions(i,:)=randperm(dim);          %随机排列，比如[2 4 5 6 1 3]
end

Length_best = zeros(1, Max_iter);       % 定义每次迭代的最短距离
Length_ave = zeros(1, Max_iter);        % 定义每次迭代的平均距离
l = 1;   % 迭代计数器
%% 迭代寻优
while l < Max_iter+1
    for i = 1:N
        % 按行升序排列产生城市序列
        [~, sol] = sort(Positions, 2);             
        % 计算目标函数值(即路径距离)
        fitness = Fun(sol(i, :),City,M);
        Length_ave(l) = Length_ave(l)+fitness;
        % 更新Alpha, Beta, and Delta
        if fitness < Alpha_score 
            Alpha_score = fitness; 
            Alpha_pos = Positions(i, :);
        end     
        if fitness > Alpha_score && fitness < Beta_score 
            Beta_score = fitness; 
            Beta_pos = Positions(i, :);
        end  
        if fitness > Alpha_score && fitness > Beta_score && fitness < Delta_score 
            Delta_score = fitness; 
            Delta_pos = Positions(i, :);
        end
    end      
    a = 2-l*((2)/Max_iter); % a从2线性减到0    
    
    % 更新所有个体位置
    for i = 1:N
        for j = 1:dim                  
            r1 = rand(); % r1 is a random number in [0,1]
            r2 = rand(); % r2 is a random number in [0,1]   
            A1 = 2*a*r1-a;       
            C1 = 2*r2;              
            D_alpha = abs(C1*Alpha_pos(j)-Positions(i, j));
            X1 = Alpha_pos(j)-A1*D_alpha; 
                       
            r1 = rand();
            r2 = rand();     
            A2 = 2*a*r1-a;   
            C2 = 2*r2;         
            D_beta = abs(C2*Beta_pos(j)-Positions(i, j));  
            X2 = Beta_pos(j)-A2*D_beta;                              
            
            r1 = rand();
            r2 = rand();      
            A3 = 2*a*r1-a;     
            C3 = 2*r2;            
            D_delta = abs(C3*Delta_pos(j)-Positions(i, j));     
            X3 = Delta_pos(j)-A3*D_delta;                                       
            
            Positions(i, j) = (X1+X2+X3)/3;       
        end
    end  
    Length_best(l) = Alpha_score;               % 最短距离
    Length_ave(l) = Length_ave(l)/dim;          % 平均距离
    disp(['Iteration ' num2str(l) ': Best Fitness = ' num2str(Alpha_score)]);  % 命令行窗口展示
    l = l + 1;      % 更新迭代次数
    [~, BestSol] = sort(Alpha_pos);         % 得到最优解
end

figure(2);
for i=1:M-1
    plot([City(BestSol(i),1),City(BestSol(i+1),1)],[City(BestSol(i),2),City(BestSol(i+1),2)],'bo-');
    hold on;
end
plot([City(BestSol(M),1),City(BestSol(1),1)],[City(BestSol(M),2),City(BestSol(1),2)],'ro-');
for i=1:M
    text(City(i,1)+0.5,City(i,2),num2str(i));       %标号  
end
text(City(BestSol(1),1),City(BestSol(1),2),'    起点');
text(City(BestSol(M),1),City(BestSol(M),2),'    终点');
title('最终路线图');

figure(3);
t = 1:Max_iter;
plot(t, Length_best, 'r', t, Length_ave, 'b--', 'LineWidth', 2);
xlabel('Iteration');
ylabel('Best Cost');
legend('最短距离','平均距离')
xlabel('迭代次数')
ylabel('距离')
title('各代最短距离与平均距离对比')
P=zeros(1, 30);

function len=Fun(sol,City,M)  % 距离计算函数
len=0;
for k=1:M-1
    len=len+sqrt(sum((City(sol(1,k),:)-City(sol(1,k+1),:)).^2));
end
len=len+sqrt(sum((City(sol(1,M),:)-City(sol(1,1),:)).^2));
end

测试数据依旧用我们以前用的：

链接：https://pan.baidu.com/s/1j7omLCzx1uIJS0VdBbR-eA 
提取码：1234 

测试效果：

[1] S. Mirjalili, S. M. Mirjalili, and A. Lewis, "Grey Wolf Optimizer," Advances in Engineering Software, vol. 69, pp. 46-61, 2014.

# 算法
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