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一、DFS的概念

DFS的定义

DFS（Depth-First Search）深度优先搜索，是一种常用的图遍历算法，用于在图或树数据结构中遍历所有节点。

DFS的搜索方式

深度优先搜索从一个起始节点开始，沿着一条路径尽可能远地访问节点，直到到达不能继续前进的节点，然后返回上一层继续探索其他路径。这个过程是递归的，通过不断地深入进入节点的子节点，直到遍历完整个图。

DFS采用的数据结构

深度优先搜索使用栈（Stack）数据结构来保存需要探索的节点。每次访问一个节点时，将其标记为已访问，并将其未访问的邻居节点压入栈中。然后从栈中弹出一个节点，继续访问该节点的未访问邻居节点，直到栈为空。

空间复杂度：$O(n)$

DFS的特点

DFS不保证找到最短路径。因为它首先沿着一条路径尽可能远地深入。如果需要找到最短路径，可以考虑使用其他算法，如广度优先搜索（BFS）或 Dijkstra 算法。一般最小步数、最短距离、最小操作次数等问题采用BFS。思路奇怪或是对空间要求高的使用深度优先搜索（DFS）。

DFS 在解决许多图论问题和遍历问题上非常有用，如查找图中的路径、连通性检测、拓扑排序等。它也可以应用于树的遍历，例如先序遍历、中序遍历和后序遍历。

二、DFS的实战应用

1.排列数字

题目描述：
给定一个整数 $n$，将数字 $1\sim n$ 排成一排，将会有很多种排列方法。

现在，请你按照字典序将所有的排列方法输出。

输入格式：
共一行，包含一个整数 $n$。

输出格式：
按字典序输出所有排列方案，每个方案占一行。

数据范围：
$1\le n\le 7$

输入样例：

3

输出样例：

1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1

实现思路

代码实现：
1.使用bool类型数组来表示是否占用

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 10;
int n, path[N];
bool st[N]; // 状态数组

void dfs(int u) // 第几个数字，一共几个数字
{
    if (u == n)// 递归到最后一个数字
    {
        for (int i = 0; i < n; i++) cout << path[i] << ' '; // 输出保存的结果
        puts(" ");
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        if (!st[i]) // 没有被用过的数
        {
            path[u] = i;
            st[i] = true; // i被用过
            dfs(u + 1);// 走到下一层
            st[i] = false;// 恢复现场
        }
}
int main()
{
	cin.tie(0);
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin >> n;
	dfs(0);
	return 0;
}

2.使用整型变量补码的每位来表示是否占用

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 10;
int n, path[N];

void dfs(int u, int state) // 第几个数字，一共几个数字
{
    if (u == n)// 递归到最后一个数字
    {
        for (int i = 0; i < n; i++) cout << path[i] << ' '; // 输出保存的结果
        puts(" ");
    }

    for (int i = 0; i < n; i++)
        if (!(state >> i & 1)) // 没有被用过的数
        {
            path[u] = i + 1;
            dfs(u + 1, state + (1 << i));
        }
}
int main()
{
	cin.tie(0);
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin >> n;
	dfs(0, 0);
	return 0;
}

2.n-皇后问题

题目描述：
n−皇后问题是指将 n 个皇后放在 n×n 的国际象棋棋盘上，使得皇后不能相互攻击到，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上。

现在给定整数 $n$，请你输出所有的满足条件的棋子摆法。

输入格式共一行，包含整数 $n$。

输出格式：
每个解决方案占 $n$ 行，每行输出一个长度为 $n$ 的字符串，用来表示完整的棋盘状态。

其中， 表示某一个位置的方格状态为空，$Q$ 表示某一个位置的方格上摆着皇后。

每个方案输出完成后，输出一个空行。

注意：行末不能有多余空格。

输出方案的顺序任意，只要不重复且没有遗漏即可。

数据范围：
$1\le n\le 9$

输入样例：

4

输出样例：

.Q..
...Q
Q...
..Q.

..Q.
Q...
...Q
.Q..

代码实现：

//在此处，为了模拟坐标轴，使用u替换y，使用i替换x
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=20;//此处x轴和y轴的长度为10，开20是大了，但是对角线长度约1.414*10（根号2），所以数组开大有好处
int n;//此处存储输入的行数&列数,
char q[N][N];//构建棋盘，大一些没坏处，注意类型需要为char（一开始无语写了个int）
bool col[N],dg[N],udg[N];//col是Column（列）的缩写，dg是diagonal（对角）的缩写，（反对角线前面的u想不出了）
//设udg的方程为y=x+b则b=y-x，替换后b=u-i，防止出现负数，则加上n，则有b=u+n-i（其实b=n+i-u也可，目的是一个对角线能单独映射）
//设dg的方程为y=-x+b,b=y+x,替换后b=i+u,perfect
void dfs(int u){//已经操作了u行
    if(u==n){//好家伙，已经操作完u行了，一个输出了
        for(int i=0;i<n;i++){
            cout<<q[i]<<endl;
        }
        cout<<endl;
        /*这种写法也可，但是如果上面的看不懂建议补习C语言基础
        for(int i=0;i<n;i++){
            for(int j=0;j<n;j++){
                cout<<q[i][j];
            }
            cout<<endl;
        }
        cout<<endl;
        */
        return;
    }
    for(int i=0;i<n;i++){//到这一步说明还没有dfs搜索完
        if(!col[i] and !dg[i+u] and !udg[u+n-i]){//这个点在各种映射下都是合法的
            q[u][i]='Q';
            col[i]=dg[i+u]=udg[u+n-i]=true;//这些点用掉啦
            dfs(u+1);//继续往下一层探
            q[u][i]='.';
            col[i]=dg[i+u]=udg[u+n-i]=false;//出来后这些点恢复原状
        }
    }
}
int main(){
    cin>>n;//输入行数
    for(int i=0;i<n;i++){//搭建一个“船新”的棋盘
            for(int j=0;j<n;j++){
                q[i][j]='.';
            }
        }
    dfs(0);//0代表目前已经操作了0行，并且需要对第1行进行操作（在数组中映射为0行）
    return 0;
}