Predator-Prey Model 捕食者和被捕食者模型

这是生态学中非常经典的一个模型

假设一个生态系统中有两个物种，其中一个为食草动物，两者分别构成了捕食者和被捕食者。

以兔子和狐狸为例：

引入变量：

$x(t)$ : 狐狸的数量

$y(t)$：兔子的数量

如果没有兔子，狐狸的数量会因为缺少食物而减少

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-ax,a>0$$

事实上，生态系统中的兔子和狐狸存在一种互动关系，兔子的数量会因为狐狸数量的增加而减少，狐狸的数量也会因为兔子数量的减少而减少，两者之始至终都相互影响。我们用正比于两者数量的积来表示这种互动关系, 所以更精确的模型可以这样写

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-ax+bxy\text{\hspace{1em}(1)}$$

现在考虑兔子的数量，如果没有狐狸，并且假设自然资源、空间充足，那么兔子会呈现指数式增长

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=dy,d>0$$

事实上，兔子的数量会随着狐狸数量的增加而减少，这种减少体现在两种生物的互动过程中

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结合 （1）和（2），我们可以得到一个微分方程组：

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-ax+bxy$$

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=dy-cxy$$

$a,b,c,d$都是常数
它们的图像非常有趣：

这个著名的方程组叫做 Lotka-Volterra predator-prey model。在生态系统中，物种之间不仅有捕食关系，还有竞争关系，下面的模型便是考虑到了物种之间存在的这种竞争关系

Competition Models 物种竞争模型

生态系统中的两种生物为了争夺共同的资源，比如食物，生存空间等，这种关系叫做竞争。现在考虑两个物种，对于每一个物种而言，对方数量的缺少会引起自身数量的增加

引入变量：

$x(t)$ : 物种 x

$y(t)$：物种 y

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=ax,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=cy$$

事实上，物种之间的相互竞争会造成此消彼长的一种动态趋势

$$\frac{dx}{dt}=ax-by$$

$$\frac{dy}{dt}=cy-dx$$

$a,b,c,d$都是常数

如果考虑物种之间互动关系，为了更好地描述模型，我们用正比于两者数量的积来表示这种互动关系

$$\frac{dx}{dt}=ax-bxy$$

$$\frac{dy}{dt}=cy-dxy$$

以下是更精确的模型, 具体来讲是一个非线性系统，考虑到了物种按logistics的方式进行增长

$$\frac{dx}{dt}=a_{1}x-b_1{x}^2-c_{1}xy$$

$$\frac{dy}{dt}=a_{2}y-b_2{y}^2-c_{2}xy$$

仅凭直觉我们可以得到，物种竞争模型就是一个你死我活的模型，应该会呈现此消彼长的趋势：