一、常用符号表

• SE(3):特殊欧式群
• se(3):特殊欧式群的李代数
• SO(3): 三维特殊正交群
• so(3): 三维特殊正交群的李代数
• T(3):三维移动群
• R: 旋转矩阵

二、关系

李代数：李群单位元处的切空间；

• SO(3) 和T(3) 都是SE(3)的李子群
• SO3——>log——>so3, 3×1 vector
• SE3——>log——>se3, 6×1 vector
• so3——>exp——>SO3, 3×3 matrix
• se3——>exp——>SE3, 4×4 matrix

在刚体运动中：

• SO(3)代表旋转运动（$R\in SO(3)$），齐次变换表示为: $$\begin{array}{cc}R& 0\\ 0& 1\end{array}$$
• T(3)代表平移运动，齐次变换表示为: $$\begin{array}{cc}E& T\\ 0& 1\end{array}$$
• SE3代表刚体变换运动（旋转+平移），齐次变换表示为: $$\begin{array}{cc}R& T\\ 0& 1\end{array}$$
• $\hat{\xi }\in se(3)$是SE(3)的李代数表达，物理上表示刚体的广义顺时速度,其中 $\hat{\xi }$ $$\begin{array}{cc}\hat{\omega }& v\\ 0& 1\end{array}$$

通过 $\hat{}$ 算子可以将4*4矩阵映射为六维向量$\xi$，即：$$\begin{array}{c}\omega \\ v\end{array}$$
亦即 运动旋量，其中$\omega$为旋转角速度(瞬时转动)，$v$为平移速度（瞬时移动）。

三、Sophus库

李群和李代数的库是Sophus，支持SO(3),so(3),SE(3)和se(3)的定义和运算，继承于Eigen，所以可以使用Eigen定义的类和函数。

三维旋转群SO3：Sophus::SO3
刚体变换群SE3：Sophus::SE3
李代数so(3)：Sophus::Vector3d so3
李代数se(3)：Sophus::Vector6d se3

需要注意的是：

1. 尽管SO3对应于矩阵群，但是SO3在使用cout时是以so3形式输出的，输出的是一个3维向量;
2. SE3在使用cout输出时输出的是一个6维向量，其中前3维为对应的so3的值，后3维为实际的平移向量T;
3. se3在使用cout输出时输出的也是一个6维向量，但是其前3维为平移值T（注意此时的T与SE3输出的t是不同的，t=JT,其中J是雅可比矩阵），后3维为其对应的so3.

三、Sophus库转换关系图