小知识

• 总体$X$,均值方差存在，分别为$\mu ,{\sigma }^2$
• $X_1,...,X_n$是来自$X$的一个样本
• $\overline{X},S^2$是样本均值和方差
• 于是有$$E(\overline{X})=\mu ,E(S^2)={\sigma }^2$$ $$D(\overline{X})=\frac{{\sigma }^2}{n}$$
• 也就是说，样本均值和样本方差的期望=总体
• 对于正态分布来说，只要确定①服从正态分布②已知期望和方差$\Rightarrow$确定分布
  • 设$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)\Rightarrow \overline{X}服从正态分布$

定理1

• $X_1,...,X_n$是来自$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$的一个样本
• $$\overline{X}\sim N(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n})$$

定理2

• $X_1,...,X_n$是来自$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$的一个样本
• ①$$\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$$
• ②$\overline{X}与S^2$相互独立

定理3

• $$\frac{\overline{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$$

证明：

• $$\frac{\overline{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$$
• $$\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$$

定理4

• $X_1,...,X_{n_1}\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2),Y_1,...,Y_{n_2}\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$
• $(X_1,...,X_{n_1})与(Y_1,...,Y_{n_2})$相互独立
• ①$$\frac{S_1^2/S_2^2}{{\sigma }_1^2/{\sigma }_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)$$
• ②${\sigma }_1={\sigma }_2=\sigma$时，$$\frac{(\overline{X}-\overline{Y})-\left({\mu }_1-{\mu }_2\right)}{S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\sim t\left(n_1+n_2-2\right)$$ $$S_w^2=\frac{\left(n_1-1\right)S_1^2+\left(n_2-1\right)S_2^2}{n_1+n_2-2},S_w=\sqrt{S_w^2}$$