棋盘覆盖问题

在一个 $2^k\times 2^k$ 个方格组成的棋盘中，若恰有一个方格与其他方格不同，则称该方格为特殊方格。显然，特殊方格在棋盘上出现的位置有 $4^k$ 种情形。下图是 $k=2$ 时 16 个特殊棋盘中的一个。

在棋盘覆盖问题中，要用图示的 4 种不同形态的 $L$ 型骨牌覆盖一个给定的特殊棋盘上除特殊方格以外的所有方格，且任何 2 个 $\mathrm{L}$ 型骨牌不得重叠覆盖。易知，在任何一个 $2^k\times 2^k$ 的棋盘覆盖中，用到的 $L$ 型骨牌个数恰为 $\left(4^k-1\right)/3$ 。

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分治策略

当 $k>0$ 时，将 $2^k\times 2^k$ 棋盘分 割为 4 个 $2^{k-1}\times 2^{k-1}$ 子棋盘，如下图所示。特殊方格必位于 4 个较小子棋盘之一中，其余3 个子棋盘中无特殊方格。为了将这 3 个无特殊方格的子棋盘转化为特殊棋盘，可以用一个 $L$ 型骨牌覆盖这 3 个小棋盘的回合处。由此，问题转化成了 4 个规模较小的棋盘覆盖问题。

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伪代码

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C++代码

#include <iostream>

int tile = 1;        // 骨牌序号
int board[128][128]; // 二维数组模拟棋盘

// (tr,tc)表示棋盘的左上角坐标(即确定棋盘位置), (dr,dc)表示特殊方块的位置, size=2^k确定棋盘大小
void chessBoard(int tr, int tc, int dr, int dc, int size)
{
    // 递归出口
    if (size == 1)
        return;
    int s = size / 2; //分割棋盘
    int t = tile++;   //t记录本层骨牌序号
    // 判断特殊方格在不在左上棋盘
    if (dr < tr + s && dc < tc + s)
    {
        chessBoard(tr, tc, dr, dc, s); //特殊方格在左上棋盘的递归处理方法
    }
    else
    {
        board[tr + s - 1][tc + s - 1] = t;             // 用t号的L型骨牌覆盖右下角
        chessBoard(tr, tc, tr + s - 1, tc + s - 1, s); // 递归覆盖其余方格
    }
    // 判断特殊方格在不在右上棋盘
    if (dr < tr + s && dc >= tc + s)
    {
        chessBoard(tr, tc + s, dr, dc, s);
    }
    else
    {
        board[tr + s - 1][tc + s] = t;
        chessBoard(tr, tc + s, tr + s - 1, tc + s, s);
    }
    // 判断特殊方格在不在左下棋盘
    if (dr >= tr + s && dc < tc + s)
    {
        chessBoard(tr + s, tc, dr, dc, s);
    }
    else
    {
        board[tr + s][tc + s - 1] = t;
        chessBoard(tr + s, tc, tr + s, tc + s - 1, s);
    }

    // 判断特殊方格在不在右下棋盘
    if (dr >= tr + s && dc >= tc + s)
    {
        chessBoard(tr + s, tc + s, dr, dc, s);
    }
    else
    {
        board[tr + s][tc + s] = t;
        chessBoard(tr + s, tc + s, tr + s, tc + s, s);
    }
}

int main()
{
    int boardSize = 8;                 // 棋盘边长
    chessBoard(0, 0, 3, 3, boardSize); // (0, 0)为顶点，大小为boardSize的棋盘； 特殊方块位于(3, 3)
    // 打印棋盘
    int i, j;
    printf("\n\n\n");
    for (i = 0; i < boardSize; i++)
    { 
        for (j = 0; j < boardSize; j++)
        {
            printf("%d\t", board[i][j]);
        }
        printf("\n\n\n");
    }
    return 0;
}

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时间复杂度

设 $T(k)$ 是算法 ChessBoard 覆盖一个 $2^k\times 2^k$ 棋盘所需的时间，则从算法的分治策略可知， $T(k)$ 满足如下递归方程
$$T(k)=\{\begin{array}{ll}O(1)& k=0\\ 4T(k-1)+O(1)& k>0\end{array}$$
解此递归方程可得 $T(k)=O\left(4^k\right)$ 。由于覆盖一个 $2^k\times 2^k$ 棋盘所需的 $\mathrm{L}$ 型骨牌个数为 $\left(4^k-1\right)/3$，故算法 ChessBoard 是一个在渐近意义下最优的算法。