在时序分析众多模型中，最为基础也是最为重要的有AR§模型，MA(q)模型，以及两者的结合ARMA(p,q)模型，同时考虑ARMA模型的平稳性，若有一个或多个根落于单位圆上，则此时的ARMA模型称作自回归单整移动平均过程，ARIMA(p,d,q)模型。

数据科学线性代数公式汇总

这里介绍Python绘制ACF和PACF图，进行模型定阶

导入模块

import sys
import os
import pandas as pd
import numpy as np
import statsmodels.api as sm
import statsmodels.formula.api as smf
import statsmodels.tsa.api as smt
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller 
from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox 
from statsmodels.graphics.api import qqplot
import matplotlib.pylab as plt
from matplotlib.pylab import style
style.use('ggplot')
from arch.unitroot import ADF
import warnings
warnings.filterwarnings("ignore")
pd.set_option('display.float_format', lambda x: '%.5f' % x) 
np.set_printoptions(precision=5, suppress=True) 
pd.set_option('display.max_columns', 100)
pd.set_option('display.max_rows', 100)

加载数据

data = pd.read_excel("data.xlsx",index_col="年份",parse_dates=True)
data.head()

	xt
年份
1952-01-01	100.00000
1953-01-01	101.60000
1954-01-01	103.30000
1955-01-01	111.50000
1956-01-01	116.50000

平稳性检验

时序图

data["diff1"] = data["xt"].diff(1).dropna()
data["diff2"] = data["diff1"].diff(1).dropna()
data1 = data.loc[:,["xt","diff1","diff2"]]
data1.plot(subplots=True, figsize=(18, 12),title="差分图")

时序图检验 - - 全靠肉眼的判断和判断人的经验，不同的人看到同样的图形，很可能会给出不同的判断。因此我们需要一个更有说服力、更加客观的统计方法来帮助我们检验时间序列的平稳性，这种方法，就是单位根检验。

单位根检验

print("单位根检验:\n")
print(ADF(data.diff1.dropna()))  

单位根检验:

   Augmented Dickey-Fuller Results   
=====================================
Test Statistic                 -3.156
P-value                         0.023
Lags                                0
-------------------------------------

Trend: Constant
Critical Values: -3.63 (1%), -2.95 (5%), -2.61 (10%)
Null Hypothesis: The process contains a unit root.
Alternative Hypothesis: The process is weakly stationary.


 **单位根检验** - -对其一阶差分进行单位根检验，得到：1%、%5、%10不同程度拒绝原假设的统计值和ADF Test result的比较，本数据中，P-value 为 0.023,接近0，ADF Test result同时小于5%、10%即说明很好地拒绝该假设，本数据中，ADF结果为-3.156，拒绝原假设，即一阶差分后数据是平稳的。

白噪声检验

判断序列是否为非白噪声序列

from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox
acorr_ljungbox(data.diff1.dropna(), lags = [i for i in range(1,12)],boxpierce=True)

(array([11.30402, 13.03896, 13.37637, 14.24184, 14.6937 , 15.33042,
        16.36099, 16.76433, 18.15565, 18.16275, 18.21663]),
 array([0.00077, 0.00147, 0.00389, 0.00656, 0.01175, 0.01784, 0.02202,
        0.03266, 0.03341, 0.05228, 0.07669]),
 array([10.4116 , 11.96391, 12.25693, 12.98574, 13.35437, 13.85704,
        14.64353, 14.94072, 15.92929, 15.93415, 15.9696 ]),
 array([0.00125, 0.00252, 0.00655, 0.01135, 0.02027, 0.03127, 0.04085,
        0.06031, 0.06837, 0.10153, 0.14226]))

通过P<α,拒绝原假设，故差分后的序列是平稳的非白噪声序列，可以进行下一步建模

模型定阶

现在我们已经得到一个平稳的时间序列，接来下就是选择合适的ARIMA模型，即ARIMA模型中合适的p,q。
第一步我们要先检查平稳时间序列的自相关图和偏自相关图。通过sm.graphics.tsa.plot_acf和sm.graphics.tsa.plot_pacf得到图形

截尾是指时间序列的自相关函数（ACF）或偏自相关函数（PACF）在某阶后均为0的性质（比如AR的PACF）；拖尾是ACF或PACF并不在某阶后均为0的性质（比如AR的ACF）。

截尾：在大于某个常数k后快速趋于0为k阶截尾
拖尾：始终有非零取值，不会在k大于某个常数后就恒等于零(或在0附近随机波动)

从一阶差分序列的自相关图和偏自相关图可以发现:

1. 自相关图拖尾或一阶截尾
2. 偏自相关图一阶截尾,

• 所以我们可以建立ARIMA(1,1,0)、ARIMA(1,1,1)、ARIMA(0,1,1)模型。

def draw_acf_pacf(data):
    """
    输入需要求解ACF\PACF的数据,
    data["xt"]
    """
    plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
    
    #模型的平稳性检验
    """时序图"""
    plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']
    data.plot(figsize=(12,8))
    plt.legend(bbox_to_anchor=(1.25, 0.5))
    plt.title("时序图")
    fig = plt.figure(figsize=(12,8))     
    """单位根检验"""
    print("单位根检验:\n")
    print(adfuller(data))    
        
    """ACF"""
    ax1 = fig.add_subplot(211)
    fig = sm.graphics.tsa.plot_acf(data, lags=20,ax=ax1)
    ax1.xaxis.set_ticks_position('bottom')
    fig.tight_layout();
    """PACF"""
    ax2 = fig.add_subplot(212)
    fig = sm.graphics.tsa.plot_pacf(data, lags=20, ax=ax2)
    ax2.xaxis.set_ticks_position('bottom')
    fig.tight_layout();
draw_acf_pacf(data["xt"])   

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