必记的13个不定积分公式(详细推导)
常见积分公式
- 前言
- 1 ∫ c s c x d x = l n ∣ c s c x − c o t x ∣ + C \int cscxdx=ln|cscx-cotx|+C ∫cscxdx=ln∣cscx−cotx∣+C
- 2 ∫ s e c x d x = l n ∣ s e c x + t a n x ∣ + C \int secxdx=ln|secx+tanx|+C ∫secxdx=ln∣secx+tanx∣+C
- 3 ∫ d x x 2 − a 2 = l n ∣ x + x 2 − a 2 ∣ + C \int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C ∫x2−a2dx=ln∣x+x2−a2∣+C
- 4 ∫ d x a 2 − x 2 = a r c s i n x a + C \int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=arcsin\frac{x}{a}+C ∫a2−x2dx=arcsinax+C
- 5 ∫ d x x 2 + a 2 = l n ∣ x + x 2 + a 2 ∣ + C \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+C ∫x2+a2dx=ln∣x+x2+a2∣+C
- 6 ∫ d x x 2 − a 2 = 1 2 a l n ∣ x − a x + a ∣ + C \int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}ln|\frac{x-a}{x+a}|+C ∫x2−a2dx=2a1ln∣x+ax−a∣+C
- 7 ∫ d x a 2 + x 2 = 1 a a r c t a n x a + C \int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}+C ∫a2+x2dx=a1arctanax+C
- 8 ∫ 1 1 + e x d x = x − l n ( 1 + e x ) + C \int \frac{1}{1+e^x}dx=x-ln(1+e^x)+C ∫1+ex1dx=x−ln(1+ex)+C
- 9 ∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 l n ( x + x 2 + a 2 ) + C \int\sqrt{x^2+a^2}dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2}+\frac{a^2}{2}ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C ∫x2+a2dx=2xx2+a2+2a2ln(x+x2+a2)+C
- 10 ∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 l n ( x + x 2 − a 2 ) + C \int\sqrt{x^2-a^2}dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2}-\frac{a^2}{2}ln(x+\sqrt{x^2-a^2})+C ∫x2−a2dx=2xx2−a2−2a2ln(x+x2−a2)+C
- 11 ∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 a r c s i n x a + C \int\sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}arcsin\frac{x}{a}+C ∫a2−x2dx=2xa2−x2+2a2arcsinax+C
- 12 ∫ t a n x d x = − l n ∣ c o s x ∣ + C \int tanxdx=-ln|cosx|+C ∫tanxdx=−ln∣cosx∣+C
- 13 ∫ c o t x d x = l n ∣ s i n x ∣ + C \int cotxdx=ln|sinx|+C ∫cotxdx=ln∣sinx∣+C
前言
这些公式都是必记的！因为经常在考场上出现，如果现推的话又很容易出错和耗时间，故需要我们深刻地去记忆。
公式推导所得答案不唯一，若想检验答案正确性，可以通过对所得答案进行求导，若求导后的值和原式相同，则答案正确。
1 ∫ c s c x d x = l n ∣ c s c x − c o t x ∣ + C \int cscxdx=ln|cscx-cotx|+C ∫cscxdx=ln∣cscx−cotx∣+C
原式
=
∫
c
s
c
x
(
c
s
c
x
−
c
o
t
x
)
c
s
c
x
−
c
o
t
x
d
x
=
∫
c
s
c
2
x
−
c
s
c
x
c
o
t
x
c
s
c
x
−
c
o
t
x
d
x
原式=\int \frac{cscx(cscx-cotx)}{cscx-cotx}dx=\int \frac{csc^2x-cscxcotx}{cscx-cotx}dx
原式=∫cscx−cotxcscx(cscx−cotx)dx=∫cscx−cotxcsc2x−cscxcotxdx
=
∫
1
c
s
c
x
−
c
o
t
x
d
(
c
s
c
x
−
c
o
t
x
)
=\int \frac{1}{cscx-cotx}d(cscx-cotx)
=∫cscx−cotx1d(cscx−cotx)
=
l
n
∣
c
s
c
x
−
c
o
t
x
∣
+
C
=ln|cscx-cotx|+C
=ln∣cscx−cotx∣+C
2 ∫ s e c x d x = l n ∣ s e c x + t a n x ∣ + C \int secxdx=ln|secx+tanx|+C ∫secxdx=ln∣secx+tanx∣+C
原式
=
∫
s
e
c
x
(
s
e
c
x
+
t
a
n
x
)
s
e
c
x
+
t
a
n
x
d
x
=
∫
s
e
c
2
x
+
s
e
c
x
t
a
n
x
s
e
c
x
+
t
a
n
x
d
x
原式=\int\frac{secx(secx+tanx)}{secx+tanx}dx=\int\frac{sec^2x+secxtanx}{secx+tanx}dx
原式=∫secx+tanxsecx(secx+tanx)dx=∫secx+tanxsec2x+secxtanxdx
=
∫
d
(
t
a
n
x
+
s
e
c
x
)
s
e
c
x
+
t
a
n
x
=\int\frac{d(tanx+secx)}{secx+tanx}
=∫secx+tanxd(tanx+secx)
=
l
n
∣
s
e
c
x
+
t
a
n
x
∣
+
C
=ln|secx+tanx|+C
=ln∣secx+tanx∣+C
3 ∫ d x x 2 − a 2 = l n ∣ x + x 2 − a 2 ∣ + C \int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C ∫x2−a2dx=ln∣x+x2−a2∣+C
令
x
=
a
s
e
c
t
x=asect
x=asect, 则
d
x
=
a
s
e
c
t
⋅
t
a
n
t
d
t
,
s
e
c
t
=
x
a
,
t
a
n
t
=
x
2
−
a
2
a
dx=asect·tantdt, sect=\frac{x}{a},tant=\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a}
dx=asect⋅tantdt,sect=ax,tant=ax2−a2
原式
=
∫
a
s
e
c
t
⋅
t
a
n
t
d
t
a
2
s
e
c
2
t
−
a
2
=
∫
a
s
e
c
t
⋅
t
a
n
t
d
t
a
2
(
s
e
c
2
t
−
1
)
=
∫
s
e
c
t
⋅
t
a
n
t
d
t
t
a
n
t
原式 =\int\frac{asect·tantdt}{\sqrt{a^2sec^2t-a^2}}=\int\frac{asect·tantdt}{\sqrt{a^2(sec^2t-1)}}=\int\frac{sect·tantdt}{tant}
原式=∫a2sec2t−a2asect⋅tantdt=∫a2(sec2t−1)asect⋅tantdt=∫tantsect⋅tantdt
=
∫
s
e
c
t
d
t
=
l
n
∣
s
e
c
t
+
t
a
n
t
∣
+
C
=
l
n
∣
x
a
+
x
2
−
a
2
a
∣
+
C
=\int sectdt=ln|sect+tant|+C=ln|\frac{x}{a}+\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a}|+C
=∫sectdt=ln∣sect+tant∣+C=ln∣ax+ax2−a2∣+C
将分母的
a
看成常数
C
，得最终结果：
将分母的a看成常数C，得最终结果：
将分母的a看成常数C，得最终结果：
=
l
n
∣
x
+
x
2
−
a
2
∣
+
C
=ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C
=ln∣x+x2−a2∣+C
4 ∫ d x a 2 − x 2 = a r c s i n x a + C \int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=arcsin\frac{x}{a}+C ∫a2−x2dx=arcsinax+C
令
x
=
a
s
i
n
t
,
则
d
x
=
a
c
o
s
t
d
t
,
t
=
a
r
c
s
i
n
x
a
x=asint,则dx=acostdt,t=arcsin\frac{x}{a}
x=asint,则dx=acostdt,t=arcsinax
原式
=
∫
a
c
o
s
t
d
t
a
2
−
a
2
s
i
n
2
t
=
∫
a
c
o
s
t
d
t
a
c
o
s
t
原式=\int\frac{acostdt}{\sqrt{a^2-a^2sin^2t}}=\int\frac{acostdt}{acost}
原式=∫a2−a2sin2tacostdt=∫acostacostdt
=
∫
1
d
t
=
∫
t
+
C
=\int1dt=\int t+C
=∫1dt=∫t+C
=
a
r
c
s
i
n
x
a
+
C
=arcsin\frac{x}{a}+C
=arcsinax+C
5 ∫ d x x 2 + a 2 = l n ∣ x + x 2 + a 2 ∣ + C \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+C ∫x2+a2dx=ln∣x+x2+a2∣+C
令
x
=
a
t
a
n
t
,
则
d
x
=
a
s
e
c
2
t
d
t
,
x=atant,则dx=asec^2tdt,
x=atant,则dx=asec2tdt,
原式
=
∫
a
s
e
c
2
t
d
t
a
2
t
a
n
2
t
+
a
2
=
∫
s
e
c
t
d
t
=
原式=\int\frac{asec^2tdt}{\sqrt{a^2tan^2t+a^2}}=\int sectdt=
原式=∫a2tan2t+a2asec2tdt=∫sectdt=
=
l
n
∣
s
e
c
t
+
t
a
n
t
∣
+
C
=ln|sect+tant|+C
=ln∣sect+tant∣+C
6 ∫ d x x 2 − a 2 = 1 2 a l n ∣ x − a x + a ∣ + C \int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}ln|\frac{x-a}{x+a}|+C ∫x2−a2dx=2a1ln∣x+ax−a∣+C
原式
=
∫
d
x
(
x
+
a
)
(
x
−
a
)
=
1
2
a
∫
x
+
a
−
x
+
a
(
x
+
a
)
(
x
−
a
)
原式=\int\frac{dx}{(x+a)(x-a)}=\frac{1}{2a}\int\frac{x+a-x+a}{(x+a)(x-a)}
原式=∫(x+a)(x−a)dx=2a1∫(x+a)(x−a)x+a−x+a
=
1
2
a
∫
[
1
x
−
a
d
(
x
−
a
)
−
1
x
+
a
d
(
x
+
a
)
]
=\frac{1}{2a}\int[\frac{1}{x-a}d(x-a)-\frac{1}{x+a}d(x+a)]
=2a1∫[x−a1d(x−a)−x+a1d(x+a)]
=
1
2
a
(
l
n
∣
x
−
a
∣
−
l
n
∣
x
+
a
∣
)
+
C
=\frac{1}{2a}(ln|x-a|-ln|x+a|)+C
=2a1(ln∣x−a∣−ln∣x+a∣)+C
=
1
2
a
l
n
∣
x
−
a
x
+
a
∣
+
C
=\frac{1}{2a}ln|\frac{x-a}{x+a}|+C
=2a1ln∣x+ax−a∣+C
7 ∫ d x a 2 + x 2 = 1 a a r c t a n x a + C \int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}+C ∫a2+x2dx=a1arctanax+C
令
x
=
a
t
a
n
t
,
则
d
x
=
a
s
e
c
2
t
d
t
,
t
=
a
r
c
t
a
n
x
a
x=atant,则dx=asec^2tdt, t=arctan\frac{x}{a}
x=atant,则dx=asec2tdt,t=arctanax
原式
=
∫
a
s
e
c
2
t
d
t
a
2
s
e
c
2
t
=
∫
1
a
d
t
=
1
a
t
+
C
原式=\int\frac{asec^2tdt}{a^2sec^2t}=\int\frac{1}{a}dt=\frac{1}{a}t+C
原式=∫a2sec2tasec2tdt=∫a1dt=a1t+C
=
1
a
a
r
c
t
a
n
x
a
+
C
=\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}+C
=a1arctanax+C
8 ∫ 1 1 + e x d x = x − l n ( 1 + e x ) + C \int \frac{1}{1+e^x}dx=x-ln(1+e^x)+C ∫1+ex1dx=x−ln(1+ex)+C
原式
=
∫
e
x
e
x
(
1
+
e
x
)
d
x
=
∫
d
e
x
e
x
(
1
+
e
x
)
原式=\int\frac{e^x}{e^x(1+e^x)}dx=\int\frac{de^x}{e^x(1+e^x)}
原式=∫ex(1+ex)exdx=∫ex(1+ex)dex
令
e
x
=
t
,
则
x
=
l
n
t
令e^x=t,则x=lnt
令ex=t,则x=lnt
原式
=
∫
d
t
t
(
1
+
t
)
=
∫
(
1
t
−
1
1
+
t
)
d
t
=
l
n
∣
t
∣
−
l
n
∣
1
+
t
∣
+
C
原式=\int\frac{dt}{t(1+t)}=\int(\frac{1}{t}-\frac{1}{1+t})dt=ln|t|-ln|1+t|+C
原式=∫t(1+t)dt=∫(t1−1+t1)dt=ln∣t∣−ln∣1+t∣+C
=
x
−
l
n
(
1
+
e
x
)
+
C
=x-ln(1+e^x)+C
=x−ln(1+ex)+C
9 ∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 l n ( x + x 2 + a 2 ) + C \int\sqrt{x^2+a^2}dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2}+\frac{a^2}{2}ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C ∫x2+a2dx=2xx2+a2+2a2ln(x+x2+a2)+C
令
x
=
a
t
a
n
t
,
则
d
x
=
a
s
e
c
2
t
d
t
,
t
a
n
t
=
x
a
令x=atant,则dx=asec^2tdt,tant=\frac{x}{a}
令x=atant,则dx=asec2tdt,tant=ax
原式
=
∫
a
2
t
a
n
2
t
+
a
2
⋅
a
s
e
c
2
t
d
t
=
∫
a
2
s
e
c
3
t
d
t
=
a
2
∫
s
e
c
3
t
d
t
原式=\int\sqrt{a^2tan^2t+a^2}·asec^2tdt=\int a^2sec^3tdt= a^2\int sec^3tdt
原式=∫a2tan2t+a2⋅asec2tdt=∫a2sec3tdt=a2∫sec3tdt
=
a
2
∫
s
e
c
⋅
s
e
c
2
t
d
t
=
a
2
∫
s
e
c
t
d
t
a
n
t
=
a
2
(
s
e
c
t
⋅
t
a
n
t
−
∫
t
a
n
2
t
s
e
c
t
d
t
)
=a^2\int sec·sec^2tdt=a^2\int sectdtant=a^2(sect·tant-\int tan^2tsectdt)
=a2∫sec⋅sec2tdt=a2∫sectdtant=a2(sect⋅tant−∫tan2tsectdt)
=
a
2
(
s
e
c
t
⋅
t
a
n
t
−
∫
(
s
e
c
t
2
−
1
)
s
e
c
t
d
t
)
=
a
2
(
s
e
c
t
⋅
t
a
n
t
−
∫
s
e
c
3
t
d
t
+
∫
s
e
c
t
d
t
)
=a^2(sect·tant-\int(sect^2-1)sectdt)=a^2(sect·tant-\int sec^3tdt+\int sectdt)
=a2(sect⋅tant−∫(sect2−1)sectdt)=a2(sect⋅tant−∫sec3tdt+∫sectdt)
于是目前得到的关系式为
:
a
2
∫
s
e
c
3
t
d
t
=
a
2
(
s
e
c
t
⋅
t
a
n
t
−
∫
s
e
c
3
t
d
t
+
∫
s
e
c
t
d
t
)
于是目前得到的关系式为:a^2\int sec^3tdt=a^2(sect·tant-\int sec^3tdt+\int sectdt)
于是目前得到的关系式为:a2∫sec3tdt=a2(sect⋅tant−∫sec3tdt+∫sectdt)
移项得：
a
2
∫
s
e
c
3
t
d
t
=
a
2
(
1
2
s
e
c
t
⋅
t
a
n
t
+
1
2
l
n
∣
s
e
c
t
+
t
a
n
t
∣
)
+
C
移项得：a^2\int sec^3tdt=a^2(\frac{1}{2}sect·tant+\frac{1}{2}ln|sect+tant|)+C
移项得：a2∫sec3tdt=a2(21sect⋅tant+21ln∣sect+tant∣)+C
=
a
2
(
1
2
x
2
+
a
2
a
⋅
x
a
+
1
2
l
n
(
x
2
+
a
2
a
+
x
a
)
)
+
C
(
s
e
c
t
可通过画三角形求解
)
=a^2(\frac{1}{2}\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{a}·\frac{x}{a}+\frac{1}{2}ln(\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{a}+\frac{x}{a}))+C(sect可通过画三角形求解)
=a2(21ax2+a2⋅ax+21ln(ax2+a2+ax))+C(sect可通过画三角形求解)
下一步将
l
n
中的
a
化入常数项
C
里去，然后化简整个式子：
下一步将ln中的a化入常数项C里去，然后化简整个式子：
下一步将ln中的a化入常数项C里去，然后化简整个式子：
=
x
2
x
2
+
a
2
+
a
2
2
l
n
(
x
+
x
2
+
a
2
)
+
C
=\frac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2}+\frac{a^2}{2}ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C
=2xx2+a2+2a2ln(x+x2+a2)+C
10 ∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 l n ( x + x 2 − a 2 ) + C \int\sqrt{x^2-a^2}dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2}-\frac{a^2}{2}ln(x+\sqrt{x^2-a^2})+C ∫x2−a2dx=2xx2−a2−2a2ln(x+x2−a2)+C
令
x
=
a
s
e
c
t
,
则
d
x
=
a
s
e
c
t
⋅
t
a
n
t
d
t
令x=asect,则dx=asect·tantdt
令x=asect,则dx=asect⋅tantdt
原式
=
∫
a
2
s
e
c
2
t
−
a
2
⋅
a
s
e
c
t
⋅
t
a
n
t
d
t
=
∫
a
2
s
e
c
t
⋅
t
a
n
2
t
d
t
原式=\int \sqrt{a^2sec^2t-a^2}·asect·tantdt=\int a^2sect·tan^2tdt
原式=∫a2sec2t−a2⋅asect⋅tantdt=∫a2sect⋅tan2tdt
=
a
2
∫
s
e
c
t
(
s
e
c
2
−
1
)
d
t
=
a
2
∫
(
s
e
c
3
t
d
t
−
s
e
c
t
d
t
)
=a^2\int sect(sec^2-1)dt=a^2\int (sec^3tdt-sectdt)
=a2∫sect(sec2−1)dt=a2∫(sec3tdt−sectdt)
前面求过，
∫
s
e
c
3
t
=
1
2
(
s
e
c
t
⋅
t
a
n
2
t
+
l
n
∣
s
e
c
t
+
t
a
n
t
∣
)
前面求过，\int sec^3t=\frac{1}{2}(sect·tan^2t+ln|sect+tant|)
前面求过，∫sec3t=21(sect⋅tan2t+ln∣sect+tant∣)
∴
原式
=
a
2
(
1
2
(
s
e
c
t
⋅
t
a
n
2
t
+
l
n
∣
s
e
c
t
+
t
a
n
t
∣
)
−
l
n
∣
s
e
c
t
+
t
a
n
t
∣
)
+
C
∴原式=a^2(\frac{1}{2}(sect·tan^2t+ln|sect+tant|)-ln|sect+tant|)+C
∴原式=a2(21(sect⋅tan2t+ln∣sect+tant∣)−ln∣sect+tant∣)+C
接下来的具体化简方法前面已经提到过了，此处省略
接下来的具体化简方法前面已经提到过了，此处省略
接下来的具体化简方法前面已经提到过了，此处省略
=
x
2
x
2
−
a
2
−
a
2
2
l
n
(
x
+
x
2
−
a
2
)
+
C
=\frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2}-\frac{a^2}{2}ln(x+\sqrt{x^2-a^2})+C
=2xx2−a2−2a2ln(x+x2−a2)+C
11 ∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 a r c s i n x a + C \int\sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}arcsin\frac{x}{a}+C ∫a2−x2dx=2xa2−x2+2a2arcsinax+C
令
x
=
a
s
i
n
t
,
d
x
=
a
c
o
s
t
d
t
,
t
=
a
r
c
s
i
n
x
a
,
c
o
s
t
=
a
2
−
x
2
a
(
画三角形求解
c
o
s
t
)
令x=asint,dx=acostdt,t=arcsin\frac{x}{a},cost=\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}(画三角形求解cost)
令x=asint,dx=acostdt,t=arcsinax,cost=aa2−x2(画三角形求解cost)
原式
=
∫
a
2
−
a
2
s
i
n
2
t
⋅
a
c
o
s
t
d
t
=
∫
a
2
c
o
s
2
t
d
t
=
a
2
2
∫
(
1
+
c
o
s
2
t
)
d
t
原式=\int \sqrt{a^2-a^2sin^2t}·acostdt=\int a^2cos^2tdt=\frac{a^2}{2}\int(1+cos2t)dt
原式=∫a2−a2sin2t⋅acostdt=∫a2cos2tdt=2a2∫(1+cos2t)dt
=
a
2
2
t
+
a
2
4
s
i
n
2
t
+
C
=
a
2
2
a
r
c
s
i
n
x
a
+
a
2
4
⋅
2
s
i
n
t
c
o
s
t
+
C
=\frac{a^2}{2}t+\frac{a^2}{4}sin2t+C=\frac{a^2}{2}arcsin\frac{x}{a}+\frac{a^2}{4}·2sintcost+C
=2a2t+4a2sin2t+C=2a2arcsinax+4a2⋅2sintcost+C
=
x
2
a
2
−
x
2
+
a
2
2
a
r
c
s
i
n
x
a
+
C
=\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}arcsin\frac{x}{a}+C
=2xa2−x2+2a2arcsinax+C
12 ∫ t a n x d x = − l n ∣ c o s x ∣ + C \int tanxdx=-ln|cosx|+C ∫tanxdx=−ln∣cosx∣+C
原式
=
∫
s
i
n
x
c
o
s
x
d
x
=
−
∫
d
c
o
s
x
c
o
s
x
=
−
l
n
∣
c
o
s
x
∣
+
C
原式=\int \frac{sinx}{cosx}dx=-\int \frac{dcosx}{cosx}=-ln|cosx|+C
原式=∫cosxsinxdx=−∫cosxdcosx=−ln∣cosx∣+C
13 ∫ c o t x d x = l n ∣ s i n x ∣ + C \int cotxdx=ln|sinx|+C ∫cotxdx=ln∣sinx∣+C
原式 = ∫ c o s x s i n x d x = ∫ d s i n x s i n x = l n ∣ s i n x ∣ + C 原式=\int \frac{cosx}{sinx}dx=\int \frac{dsinx}{sinx}=ln|sinx|+C 原式=∫sinxcosxdx=∫sinxdsinx=ln∣sinx∣+C
旨在为数千万中国开发者提供一个无缝且高效的云端环境，以支持学习、使用和贡献开源项目。
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