关于交叉熵在loss函数中使用的理解

交叉熵（cross entropy）是深度学习中常用的一个概念，一般用来求目标与预测值之间的差距。以前做一些分类问题的时候，没有过多的注意，直接调用现成的库，用起来也比较方便。最近开始研究起对抗生成网络（GANs），用到了交叉熵，发现自己对交叉熵的理解有些模糊，不够深入。遂花了几天的时间从头梳理了一下相关知识点，才算透彻的理解了，特地记录下来，以便日后查阅。

信息论

交叉熵是信息论中的一个概念，要想了解交叉熵的本质，需要先从最基本的概念讲起。

1 信息量

首先是信息量。假设我们听到了两件事，分别如下：
事件A：巴西队进入了2018世界杯决赛圈。
事件B：中国队进入了2018世界杯决赛圈。
仅凭直觉来说，显而易见事件B的信息量比事件A的信息量要大。究其原因，是因为事件A发生的概率很大，事件B发生的概率很小。所以当越不可能的事件发生了，我们获取到的信息量就越大。越可能发生的事件发生了，我们获取到的信息量就越小。那么信息量应该和事件发生的概率有关。

假设 X X <script type="math/tex" id="MathJax-Element-1">X</script>是一个离散型随机变量，其取值集合为χ $\chi$<script type="math/tex" id="MathJax-Element-2">\chi</script>,概率分布函数 p(x)=Pr(X=x),x∈χ p ( x ) = P r ( X = x ) , x ∈ χ <script type="math/tex" id="MathJax-Element-3">p(x)=Pr(X=x),x\in\chi</script>,则定义事件 X=x0 X = x 0 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-4">X=x_0</script>的信息量为：

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-5">I(x_0)=-log(p(x_0))</script>
由于是概率所以 p(x0) p ( x 0 ) <script type="math/tex" id="MathJax-Element-6">p(x_0)</script>的取值范围是 [0,1] [ 0 , 1 ] <script type="math/tex" id="MathJax-Element-7">[0,1]</script>,绘制为图形如下：

可见该函数符合我们对信息量的直觉

2 熵

考虑另一个问题，对于某个事件，有 n n <script type="math/tex" id="MathJax-Element-8">n</script>种可能性，每一种可能性都有一个概率p(xi) $p(x_i)$<script type="math/tex" id="MathJax-Element-9">p(x_i)</script>
这样就可以计算出某一种可能性的信息量。举一个例子，假设你拿出了你的电脑，按下开关，会有三种可能性，下表列出了每一种可能的概率及其对应的信息量

序号	事件	概率p	信息量I
A	电脑正常开机	0.7	-log(p(A))=0.36
B	电脑无法开机	0.2	-log(p(B))=1.61
C	电脑爆炸了	0.1	-log(p(C))=2.30

注：文中的对数均为自然对数

我们现在有了信息量的定义，而熵用来表示所有信息量的期望，即：

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-10"> H(X)=-\sum_{i=1}^n p(x_i)log(p(x_i)) </script>

其中n代表所有的n种可能性，所以上面的问题结果就是

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-11"> \begin{eqnarray} H(X)&=&-[p(A)log(p(A))+p(B)log(p(B))+p(C))log(p(C))]\\ &=&0.7\times 0.36+0.2\times 1.61+0.1\times 2.30\\ &=&0.804 \end{eqnarray} </script>

然而有一类比较特殊的问题，比如投掷硬币只有两种可能，字朝上或花朝上。买彩票只有两种可能，中奖或不中奖。我们称之为0-1分布问题（二项分布的特例），对于这类问题，熵的计算方法可以简化为如下算式：

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-12"> \begin{eqnarray} H(X)&=&-\sum_{i=1}^n p(x_i)log(p(x_i))\\ &=&-p(x)log(p(x))-(1-p(x))log(1-p(x)) \end{eqnarray} </script>

3 相对熵（KL散度）

相对熵又称KL散度,如果我们对于同一个随机变量 x 有两个单独的概率分布 P(x) 和 Q(x)，我们可以使用 KL 散度（Kullback-Leibler (KL) divergence）来衡量这两个分布的差异

维基百科对相对熵的定义

In the context of machine learning, DKL(P‖Q) is often called the information gain achieved if P is used instead of Q.

即如果用P来描述目标问题，而不是用Q来描述目标问题，得到的信息增量。

在机器学习中，P往往用来表示样本的真实分布，比如[1,0,0]表示当前样本属于第一类。Q用来表示模型所预测的分布，比如[0.7,0.2,0.1]
直观的理解就是如果用P来描述样本，那么就非常完美。而用Q来描述样本，虽然可以大致描述，但是不是那么的完美，信息量不足，需要额外的一些“信息增量”才能达到和P一样完美的描述。如果我们的Q通过反复训练，也能完美的描述样本，那么就不再需要额外的“信息增量”，Q等价于P。

KL散度的计算公式：

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-13"> D_{KL}(p||q)=\sum_{i=1}^np(x_i)log(\frac{p(x_i)}{q(x_i)}) \tag{3.1} </script>
n为事件的所有可能性。
DKL D K L <script type="math/tex" id="MathJax-Element-14">D_{KL}</script>的值越小，表示q分布和p分布越接近

4 交叉熵

对式3.1变形可以得到：

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-15"> \begin{eqnarray} D_{KL}(p||q) &=& \sum_{i=1}^np(x_i)log(p(x_i))-\sum_{i=1}^np(x_i)log(q(x_i))\\ &=& -H(p(x))+[-\sum_{i=1}^np(x_i)log(q(x_i))] \end{eqnarray} </script>

等式的前一部分恰巧就是p的熵，等式的后一部分，就是交叉熵：

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-16"> H(p,q)=-\sum_{i=1}^np(x_i)log(q(x_i)) </script>

在机器学习中，我们需要评估label和predicts之间的差距，使用KL散度刚刚好，即 DKL(y||ŷ ) D K L ( y | | y ^ ) <script type="math/tex" id="MathJax-Element-17">D_{KL}(y||\hat{y})</script>，由于KL散度中的前一部分 −H(y) − H ( y ) <script type="math/tex" id="MathJax-Element-18">-H(y)</script>不变，故在优化过程中，只需要关注交叉熵就可以了。所以一般在机器学习中直接用用交叉熵做loss，评估模型。

机器学习中交叉熵的应用

1 为什么要用交叉熵做loss函数？

在线性回归问题中，常常使用MSE（Mean Squared Error）作为loss函数，比如：

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-32">loss = \frac{1}{2m}\sum_{i=1}^m(y_i-\hat{y_i})^2</script>

这里的m表示m个样本的，loss为m个样本的loss均值。
MSE在线性回归问题中比较好用，那么在逻辑分类问题中还是如此么？

2 交叉熵在单分类问题中的使用

这里的单类别是指，每一张图像样本只能有一个类别，比如只能是狗或只能是猫。
交叉熵在单分类问题上基本是标配的方法

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-20">loss=-\sum_{i=1}^{n}y_ilog(\hat{y_i}) \tag{2.1}</script>

上式为一张样本的loss计算方法。式2.1中n代表着n种类别。
举例说明,比如有如下样本

对应的标签和预测值

*	猫	青蛙	老鼠
Label	0	1	0
Pred	0.3	0.6	0.1

那么

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-21"> \begin{eqnarray} loss&=&-(0\times log(0.3)+1\times log(0.6)+0\times log(0.1)\\ &=&-log(0.6) \end{eqnarray} </script>

对应一个batch的loss就是

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-22">loss=-\frac{1}{m}\sum_{j=1}^m\sum_{i=1}^{n}y_{ji}log(\hat{y_{ji}}) </script>

m为当前batch的样本数

3 交叉熵在多分类问题中的使用

这里的多类别是指，每一张图像样本可以有多个类别，比如同时包含一只猫和一只狗
和单分类问题的标签不同，多分类的标签是n-hot。
比如下面这张样本图，即有青蛙，又有老鼠，所以是一个多分类问题

对应的标签和预测值

*	猫	青蛙	老鼠
Label	0	1	1
Pred	0.1	0.7	0.8

值得注意的是，这里的Pred不再是通过softmax计算的了，这里采用的是sigmoid。将每一个节点的输出归一化到[0,1]之间。所有Pred值的和也不再为1。换句话说，就是每一个Label都是独立分布的，相互之间没有影响。所以交叉熵在这里是单独对每一个节点进行计算，每一个节点只有两种可能值，所以是一个二项分布。前面说过对于二项分布这种特殊的分布，熵的计算可以进行简化。

同样的，交叉熵的计算也可以简化，即

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-23"> loss =-ylog(\hat{y})-(1-y)log(1-\hat{y}) </script>

注意，上式只是针对一个节点的计算公式。这一点一定要和单分类loss区分开来。
例子中可以计算为：

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-24"> \begin{eqnarray} loss_猫 &=&-0\times log(0.1)-(1-0)log(1-0.1)=-log(0.9)\\ loss_蛙 &=&-1\times log(0.7)-(1-1)log(1-0.7)=-log(0.7)\\ loss_鼠 &=&-1\times log(0.8)-(1-1)log(1-0.8)=-log(0.8) \end{eqnarray} </script>

单张样本的loss即为 loss=loss猫+loss蛙+loss鼠 l o s s = l o s s 猫 + l o s s 蛙 + l o s s 鼠 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-25">loss = loss_猫+loss_蛙+loss_鼠</script>
每一个batch的loss就是：

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-26"> loss =\sum_{j=1}^{m}\sum_{i=1}^{n}-y_{ji}log(\hat{y_{ji}})-(1-y_{ji})log(1-\hat{y_{ji}}) </script>

式中m为当前batch中的样本量，n为类别数。

总结

路漫漫，要学的东西还有很多啊。

参考：

https://www.zhihu.com/question/65288314/answer/244557337
https://en.wikipedia.org/wiki/Kullback%E2%80%93Leibler_divergence
https://jamesmccaffrey.wordpress.com/2013/11/05/why-you-should-use-cross-entropy-error-instead-of-classification-error-or-mean-squared-error-for-neural-network-classifier-training/