本博客详细讲述了升余弦和根升余弦滤波器的频域和时域表达式，最后给出了单位脉冲响应的Python 实现。

升余弦滤波器

升余弦滤波器（Raised-cosine filter）是一种经常作脉冲成型滤波器，它能够最大限度地减少码间干扰（ISI）。之所以会如此命名是因为，该滤波器的最简形式频谱 ($\beta =1$) 的非零部分为余弦函数且被抬升至水平轴 $f$ 的上方¹。

数学描述

升余弦滤波器是低通奈奎斯特滤波器的一种实现，即具有对称性的滤波器。这意味着它的频谱在 $f=\pm \frac{1}{2T_s}$表现出奇对称性($T_s$ 是符号速率)，如下：

• 其频域表达式是一个分段函数:
  $$H(f)=\{\begin{array}{ll}1,& |f|\le \frac{1-\beta }{2T}\\ \frac{1}{2}\left[1+\cos \left(\frac{\pi T_s}{\beta }\left[|f|-\frac{1-\beta }{2T_s}\right]\right)\right],& \frac{1-\beta }{2T_s}<|f|\le \frac{1+\beta }{2T_s}\\ 0,& \text{ otherwise }\end{array}$$
• 其时域形式即单位脉冲响应为：
  $$h(t)=\{\begin{array}{ll}\frac{\pi }{4T_s}\mathrm{sinc}\left(\frac{1}{2\beta }\right),& t=\pm \frac{T_s}{2\beta }\\ \frac{1}{T_s}\mathrm{sinc}\left(\frac{t}{T_s}\right)\frac{\cos \left(\frac{\pi \beta t}{T_s}\right)}{1-{\left(\frac{2\beta t}{T_s}\right)}^2},& \text{ otherwise }\end{array}$$
  这里 $\mathrm{sinc}(x)=\frac{\sin \pi x}{\pi x}$ ,不是数学中的 $\sin x/x$。

代码实现

import numpy as np
def rc_h(t,beta=0,T=1,normlize=False):
    """TODO: RC的单位脉冲响应
    
    :t: 时刻,numpy array
    :beta: 滚降因子
    :T: 符号周期
    :normlize: 是否能量归一化
    :returns: numpy array

    """
    # https://en.wikipedia.org/wiki/Raised-cosine_filter
    # Raised-cosine filter
    pi = np.pi
    if beta == 0:
        h = 1/T*np.sinc(t/T)
    else:
        case1 = pi/(4*T)*np.sinc(1/(2*beta))
        case2 = 1/T*np.sinc(t/T)*np.cos(pi*beta*t/T)/(1-(2*beta*t/T)**2)
        # fix case2 bug when t = pm T/(4*beta)
        case2[np.isinf(case2)] = 0
        h = np.where(np.abs(t) <= T/(2*beta), case1,case2)
    return h if not normlize else h*np.sqrt(T) #能量归一化

if __name__ == "__main__":
    # test rc_h
    import matplotlib as mpl
    import matplotlib.pyplot as plt
    mpl.use('TkAgg')
    # diff beta and draw in one figure,then save it
    t = np.linspace(-5,5,1000)
    beta = [0,0.5,1]
    fig,ax = plt.subplots(1,1)
    ax.grid()
    for b in beta:
        h = rc_h(t,beta=b)
        ax.plot(t,h,label=f"beta={b}")
    ax.legend()
    ax.set_xlabel("t")
    ax.set_ylabel("h(t)")
    ax.set_title("RC unit impulse response")
    fig.savefig("rc_h.png")
    plt.show()

图像

滤波符号时，它可以消除ISI，$h(n{T}_s)=0(n\ne 0)$ 。但是在实际的通信系统中，由于白噪声的影响，一般在发送和接收端匹配滤波，即采用根升余弦滤波器。

根升余弦滤波器

在信号处理中，根升余弦滤波器(Raised-cosine filter, RRC )，有时也称为平方根升余弦滤波器( square-root-raised-cosine filter,SRRC )，经常用作数字通信系统中的发送和接收滤波器，以执行匹配滤波。这有助于最小化符号间干扰(ISI)。两个这样的滤波器的组合响应是升余弦滤波器的响应²。它的名字来源于它的频率响应，$H_{rrc}$是升余弦滤波器频率响应的平方根，$H_{rc}(f)$
$$H_{rc}(f)=H_{rrc}(f)\cdot H_{rrc}(f)$$
即：
$$|H_{rrc}(f)|=\sqrt{|H_{rc}(f)|}$$

数学描述

SRCC滤波器有两个重要参数,滚降系数$\beta$, 符号率的导数$T_s$

对$H_{rrx}(f)$进行逆傅里叶变换,滤波器的单位脉冲响应:
$$h(t)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{T_s}\left(1+\beta \left(\frac{4}{\pi }-1\right)\right),& t=0\\ \frac{\beta }{T_s\sqrt{2}}\left[\left(1+\frac{2}{\pi }\right)\sin \left(\frac{\pi }{4\beta }\right)+\left(1-\frac{2}{\pi }\right)\cos \left(\frac{\pi }{4\beta }\right)\right],& t=\pm \frac{T_s}{4\beta }\\ \frac{1}{T_s}\frac{\sin \left[\pi \frac{t}{T_s}(1-\beta )\right]+4\beta \frac{t}{T_s}\cos \left[\pi \frac{t}{T_s}(1+\beta )\right]}{\pi \frac{t}{T_s}\left[1-{\left(4\beta \frac{t}{T_s}\right)}^2\right]},& \text{ otherwise }\end{array}$$
注意上式中$h(t)$并不是归一化能量信号,上式${\int }_{-\infty }^{\infty }{h}^2(t)=T_s$，归一化³即
$$s(t)=\sqrt{T_s}h(t)=\frac{4\beta }{\pi \sqrt{T_s}}\frac{\cos \left[\frac{(1+\beta )}{T_s}\pi t\right]+\frac{T_s}{4\beta t}\sin \left[\frac{(1-\beta )}{T_s}\pi t\right]}{1-{\left(\frac{4\beta t}{T_s}\right)}^2}$$

代码实现

import numpy as np
def srrc_h(t,beta=0,T=1,normlize=False):
    """TODO: RC的单位脉冲响应
    
    :t: 时刻,numpy array
    :beta: 滚降因子
    :T: 符号周期
    :normlize: 是否能量归一化
    :returns: numpy array

    """
    #  https://en.wikipedia.org/wiki/Root-raised-cosine_filter
    #  Root-raisaed-cosine filter impulse response
    pi = np.pi
    if beta==0:
        h = 1/T*np.sinc(t/T)
    else:
        cond1 = t==0
        case1= 1/T*(1+beta*(4/pi-1))
        cond2 = t==np.abs(T/(4*beta))
        case2 = beta/(T*np.sqrt(2))*((1+2/pi)*np.sin(pi/4/beta)+(1-2/pi)*np.cos(pi/4/beta))

        
        cond3 = np.logical_and(np.logical_not(cond1),np.logical_not(cond2))
        fracA=np.sin(pi*t*(1-beta)/T)+4*beta*t/T*np.cos(pi*t/T*(1+beta))
        fracB=pi*t*(1-(4*beta*t/T)**2)
        case3 = fracA/fracB
        case3[fracB==0]=0

        h = cond1*case1+cond2*case2+cond3*case3
    return h if not normlize else h*np.sqrt(T)

图像

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1. https://en.wikipedia.org/wiki/Raised-cosine_filter ↩︎

2. https://en.wikipedia.org/wiki/Root-raised-cosine_filter ↩︎

3. https://gssc.esa.int/navipedia/index.php/Square-Root_Raised_Cosine_Signals_(SRRC) ↩︎