@阅读目录
一.O(logn)代码小证明
二.典型时间复杂度分析
三.常见的算法

1. 𝑙𝑜𝑔𝑁 - 对分查找
2. 𝑙𝑜𝑔𝑁 - 欧几里得算法
3. 𝑙𝑜𝑔𝑁 - 幂运算
4. n² - 选择排序
5. n² - 插入排序
6. 2ⁿ - 汉诺塔
7. 2ⁿ - 斐波那契数
8. 最大公约数

一.O(logn)代码小证明

我们先来看下面一段代码:

int cnt = 1;
while (cnt < n)
{
    cnt *= 2;
    //时间复杂度为O(1)的程序步骤序列
}

由于cnt每次在乘以2之后都会更加逼近n，也就是说，在有x次后，cnt将会大于n从而跳出循环，所以2^𝑥 = 𝑛 ,也就是𝑥=𝑙𝑜𝑔2𝑛，所以这个循环的复杂度为O(logn)

二.典型时间复杂度

$c$ 常数
$logN$ 对数级
$lo{g}^{2}N$ 对数平方根
$N$ 线性级
$NlogN$
$N^2$ 平方级
$N^3$ 立方级
$2^N$ 指数级
由此我们可以得知，𝑙𝑜𝑔𝑁的算法效率是最高的

三.常见的算法

1. 𝑙𝑜𝑔𝑁-对分查找

 (int)BinarySearch:(NSArray *)originArray element:(int)element
{
    int low, mid, high;
    low = 0; high = (int)originArray.count - 1;
    while (low <= high) {
        mid = (low + high) / 2;
        if ([originArray[mid] intValue] < element) {
            low = mid + 1;
        } else if ([originArray[mid] intValue] > element) {
            high = mid -1;
        } else {
            return mid;
        }
    }
    
    return -1;
}

2. 𝑙𝑜𝑔𝑁-欧几里得算法

求最大公约数的一个有效的算法，最古老的著名算法之一：欧几里得算法。
递归的定义为：
用gcd(m,n) 表示整数m和n的最大公约数：

• 如果m%n==0，那么gcd(m,n) 为n。
• 否则，gcd(m,n) 就是gcd(n，m%n)。

证明：假设m%n=r，那么m=(m/n)*n+r，能整除m和n的任意数字都必须也能整除r。因此 gcd(m,n) 和gcd(n,r)是一样的。

 (unsigned int)Gcd:(unsigned int)m n:(unsigned int)n
{
    unsigned int Rem;
    while (n > 0) {
        Rem = m % n;
        m = n;
        n = Rem;
    }
    return m;
}

3. 𝑙𝑜𝑔𝑁 - 幂运算

 (long)Pow:(long)x n:(unsigned int)n
{
    if (n == 0) {
        return 1;
    }
    if (n == 1) {
        return x;
    }
    
    if ([self isEven:n]) {
        return [self Pow:x * x n:n / 2];
    } else {
        return [self Pow:x * x n:n / 2] * x;
    }
}

(BOOL)isEven:(unsigned int)n
{
    if (n % 2 == 0) {
        return YES;
    } else {
        return NO;
    }
}

4. n² 选择排序

5. n² 插入排序

6. 2ⁿ 汉诺塔

7. 2ⁿ - 斐波那契数

//递归循环，冗余算法
    public static long fib(long index){
        if (index == 0){
            return 0;
        }else if (index == 1)
            return 1;
        else
            return fib(index-1) + fib(index - 2);
    }

//递归循环：赋值算法。时间复杂度为O(n)
public class ImprovedFibonacci {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner input = new Scanner(System.in);
        System.out.println("Enter an index for the Fibonacci number: ");
        int index = input.nextInt();

        System.out.println("Fibonacci number at index "+index+" is "+fib(index));
    }

    public static long fib(long n){
        long f0 = 0;
        long f1 = 1;
        long f2 = 1;

        if (n == 0)
            return f0;
        else if (n == 1)
            return f1;
        else if (n == 2)
            return f2;

        for(int i=3; i<=n; i++){
            f0 = f1;
            f1 = f2;
            f2 = f0 + f1;
        }
        return f2;
    }
}

8、最大公约数 - 1

时间复杂度O(n)

public class GCD1 {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner input = new Scanner(System.in);
        System.out.println("Enter first integer: ");
        int m = input.nextInt();
        System.out.println("Enter second integer: ");
        int n = input.nextInt();

        System.out.println("The greatest common divisor for "+ m +" and "+n+" is "+gcd(m,n));
    }

    public static int gcd(int m, int n){
        int gcd = 1;
        if (m % n == 0)
            return n;
        for (int k = (n/2); k>=1; k--){
            if (m%k == 0 && n%k == 0){
                gcd = k;
                break;
            }
        }
        return gcd;
    }
}

8、最大公约数 - 2（欧几里得算法）

时间复杂度O(logn)

    public static int gcd(int m,int n){
        if (m%n == 0)
            return n;
        else
            return gcd(n,m%n);
    }

最后，也是最基本的最重要的

当题目的数据范围达到了$10^{18}$的时候，很显然就要用O(logn)的算法或数据结构了

参考：

https://www.cnblogs.com/linhaostudy/p/11659846.html
Java语言程序设计第八版-进阶版-Y.Daniel Liang