目录

摘要

1.半正矢公式（Haversine Formula）介绍

2.半正矢公式应用

3.半正矢公式计算

3.1 主要思路

3.2 计算步骤

3.2.1 平面向量计算方法

3.2.2 空间向量计算方法

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摘要

写本文的出发点是需要在Qlik中根据经纬度计算地球上两点间的距离。我在社区上搜到了相关公式的分享，这个公式叫做“半正矢公式”。对于“半正矢”知之甚少的我，决定从头到尾将公式计算一遍，并通过这篇文章记录所有的步骤，希望它能对需要的人有所帮助。这也算是温习高中所学的三角函数了。

本文的部分图片源自其他网站，剩下的图都是通过GeoGebra制作的。这个工具非常方便，推荐大家使用。

(GeoGebra - the world’s favorite, free math tools used by over 100 million students and teachers)

1.半正矢公式（Haversine Formula）介绍

公式： 

(i)

如图 (i), OAC是一个圆，O是其圆心，A和C是圆上的点，r 是⊙OAC的半径。

设：r = 1, 那么 OA = OC = r =1;

过点A做一条垂线，交线段OC于点B，∠OBA=90°。

设：∠AOB=θ;

因此，AB = sinθ, OB = cosθ, BC = 反正弦 = 1 – cosθ.

所谓的半正矢就是“一半的反正弦”（Haversine = “half reversed sin”），所以：

 

最后得出：

2.半正矢公式应用

回到应用场景，已知地球上的两个点A和B，现在我们想知道这两点之间的最短距离。地球可以近似看作为一个球体，那么AB间的最短距离就是过AB两点的大圆圆弧，这个大圆是地球的内切圆，半径和圆心点都于地球相同。

(ii)

设：A点坐标 = (Ø1, λ1); B点坐标 = (Ø2, λ2);

Ø = 纬度, λ = 经度

d = A 和 B 的最短距离

R = 地球半径 = 6371 km

把 ​​​替换为 Haversin(θ)  可得：

 

过去的水手们可以查余弦函数、半正矢函数和半正矢函数的逆函数的数值表，从而求出距离d。只要有数值表，还是挺方便的。[1]

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[1]https://plus.maths.org/content/lost-lovely-haversine

3.半正矢公式计算

3.1 主要思路

(iii)

如图 (iii), ⊙OAB 是地球的内切圆，圆心为O。

距离计算步骤：

1. 计算AB，即点A和B之间的直线距离；
2. 通过AB和地球半径R，计算∠AOB 的角度；
3. 通过∠AOB 和R计算 ，即⊙ OAB上AB的弧长，这个弧长就是最短距离。

3.2 计算步骤

3.2.1 平面向量计算方法

 (iv)

与第2节相同，设：

A点坐标 = (Ø1, λ1)； B点坐标 = (Ø2, λ2)；

Ø = 纬度，λ = 经度；

d = AB间的最短距离；

R = 地球半径 = 6371 km；

O = 地球球心；

N = 北极点；

点C和E与点A在同一条经度线上；

点D和F与点B在同一条经度线上;

点D 与点A在同一条纬度线上；

点C 与点B在同一条纬度线上；

点E和F又是在赤道上，点A所在经度线与点B所在经度线相较于北极点。

可得：

C点坐标 = (Ø2, λ1)； D点坐标 = (Ø1, λ2)；

E点坐标 = (0, λ1)； F点坐标 = (0, λ2)；

引入  ：

(v)

如图(v)，OXY是一个圆，设r 为⊙OXY的半径，且r = 1；

OX = OY = r = 1, OZ是线段XY的垂线；

设∠XOY=θ，那么∠XOZ=∠YOZ=θ/2；

所以 XZ=  ， 且 XY=2XZ= 。

回到图 (iv), ∠AOC = Ø2 – Ø1;

因为 OA = OC =R，所以 AC =  ;

同理，BD = AC；EF = ；

点O’ 是点A和点D所在圆的圆心，O’A 长度等于圆的半径。

过点A做一条垂线，相交OE于G，∠AOG = ∠AOE = Ø1；

所以 :  ；

由于 ∠GOO’ = ∠AGO = 90°，OG = O’A，所以 O’A = ；

∠AO’D = λ2 – λ1, 可得 AD = ；

同理， BC =  ；

知道AD和BC的长度后，我们在等腰梯形ADBC中就可以计算AB的长度了。

 (vi)

在等腰梯形ADBC中，过点A做一条垂线相交BC于点E。

那么：

；

；  

；

 ；

现在，AB线段的长度已经计算出来，接下来就是最后一步计算 的弧长。

(vii)

 

如图(vii)，⊙OAB 是地球的内接圆，圆心为O，OA = R.

设：AC = √a, ∠AOB = b, ∠OCA = 90°；

那么 AC = AB/2;

 ；

 ；

 ； 

   ；

 

​​​​​​​

   ；

 

把 ​​​替换为 Haversin(θ)  ：  

与第二节的公式一致，计算完毕。

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或者我们可以用正切函数tan:

  ​​​​​​​

​​​​​​​

​​​​​​​

​​​​​​​

这与Qlik 社区分享的计算公式一致[2]。