一、正交向量组

（1）定义

        若一个非零向量组中的向量两两相交，则称该向量组为正交向量组；

        由单个非零向量组成的向量组也为正交向量组

（2）判断

1.2.1 方法

        证明两两相交的的方法就是计算向量的内积和是否为 0 ；

 1.2.2 

        例：

        有一向量组 α1 = （ 1，1，1 ），α2 = （ -1，2，-1 ），α3 = （ -1，0，1 ），问其是否为正交向量组；

        解： 

         因为向量组中的向量内积和都为 0 ，所以该向量组为正交向量组；

二、正交基与规范正交基

（1）正交基

2.1.1 定义

         设 α1，α2，……，αr 是向量空间 V ( V ⊂ R^n ) 的一个基，如果 α1，α2，……，αr 两两相交，那么我们就称  α1，α2，……，αr 是 V 的一个正交基；

2.1.2 

        例：

        已知三维空间组的两个向量正交，试求 α3 使 α1， α2， α3，构成三位空间的一个正交基；

         解：

（2）规范正交基

2.2.1 定义

         设 n 维向量 e1，e2，……，er 是向量空间 V ( V ⊂ R^n ) 的一个基，如果 e1，e2，……，er 两两相交并且都是单位向量，那么我们就称  e1，e2，……，er 是 V 的一个规范正交基；

2.2.2 正交规范化

施密特正交化公式：

 2.2.3

        例：

         解：

三、正交矩阵

（1）定义

        如果 n 阶矩阵 A 满足 A^T A = A A^T = E ,则称 A 为正交矩阵；( E 为单位矩阵 )

（2）性质

        a. 正交矩阵的转置矩阵跟它的逆矩阵相等；

        b. 正交矩阵的行列式等于 ±1 ；

        c. 正交矩阵的行（列）向量都是规范正交基；

 （3）

        例：

         解：