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前言

  二值图像中一类主要处理是对提取的目标图形进行形态分析。形态学处理中最基本的是腐蚀和膨胀。
  腐蚀和膨胀是两个互为对偶的运算。腐蚀的作用是将目标图像收缩，而膨胀是将图像扩大。
  结构元素是指具有某种确定形状的基本结构元素，例如，一定大小的矩形、圆形等。结构元素具有原点。如下图所示：

这就是一个矩形的结构元素（四个 1 构成矩形），标有颜色的位置就是结构元素的原点。

这是一个三角形的结构元素（三个 1 构成三角形），标有颜色的位置就是结构元素的原点。

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一、腐蚀

1.概念

  腐蚀是一种消除边界点，使边界向内部收缩的过程。可以用来消除小且无意义的目标物。如果两目标物间有细小的连通，可以选取足够大的结构元素，将细小连通腐蚀掉。

2.算法的具体步骤

1. 构建结构元素
2. 扫描原图，找到第一个像素值为1（因为是二值图，非0即1）的点。
3. 将预先设定好形状以及原点位置的结构元素的原点移动到该点
4. 判断该结构元素覆盖范围内的图像的像素值是否全部为1，如果是，则腐蚀后图像相同位置上的像素值为1，如果至少有一个像素的值为0，则腐蚀后图像的相同位置上的像素值为0
5. 对原图中所有像素值为1的点重复进行步骤3和步骤4

3.举例

设原图像$f$如下图所示：

结构元素选择三角形的结构元素，结构元素原点在左上角，如下图所示：

按照算法步骤，将结构元素的原点移动到第一个像素值为1的点，如下图所示：

可以清楚的看到，结构元素覆盖范围内的像素值全为1。所以腐蚀后的图像在第一行第二列的像素值$g(1,2)=1$。
接下来我们寻找下一个像素值为1的点，发现在该点是边缘点。此时的结构元素的原点移动到该点，会出现边界溢出的现象，所有我们对此像素不做处理（也就是说要确保结构元素的覆盖范围在原图内）。
下一个像素值为1的像素点位于第二行，第二列，将结构元素的原点移动到该点。如下图所示：

可以看到，结构元素覆盖范围内的像素值有两个1，一个0。所以腐蚀后的图像在第二行、第二列的像素值$g(2,2)=0$。
以此类推，对所有像素值为1的像素点重复上述操作。便可得到腐蚀后的图像$g$，如下图所示：

4.python代码

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二、膨胀

1.概念

  膨胀是将目标区域接触的背景点合并到该目标物中，使目标边界向外扩张的处理。膨胀可以用来填补目标区域存在的某些空洞，也可以用来消除包含在目标区域中的小颗粒噪声。膨胀处理是腐蚀处理的对偶。

2.算法步骤

1. 将预先设定好形状以及原点位置的结构元素移动到图像中可包容（可包容的意思是说：结构元素的覆盖范围必须完全落在图像内）的所有像素点
2. 判断该结构元素覆盖范围内的像素值是否存在至少一个为1的点，如果存在，则膨胀后图像中与结构元素原点相同位置的像素值为1，如果该覆盖范围内所有的像素值为0，则膨胀后图像相同位置上的像素值为0
3. 对原图中的所有像素重复进行步骤2

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3.举例

设原图像$f$如下图所示：

三角形的结构元素如下图所示，带有颜色的位置为结构元素的原点：

第一步：将结构元素的原点移动到图像中的第一个像素点，如下图所示：

结构元素覆盖的范围内有两个0，一个1，所以膨胀后的图像在第一行，第一列位置处的像素值$g(1,1)=1$。
依次遍历原图中的每个像素点（结构元素无法全部落在原图内的像素点除外）。
当遍历到$f(3,1)$点时，如下图所示：

此时结构元素覆盖范围内有三个0，0个1，所以膨胀后的图像在第三行、第三列位置处的像素值$g(3,1)=0$。

膨胀后的图像$g$如下图所示：

4.C++代码

# 膨胀算法
import cv2
import numpy as np

# 读取二值图像
input_image = cv2.imread('test1.png', cv2.IMREAD_GRAYSCALE)

height = input_image.shape[0]
width = input_image.shape[1]

# 定义结构元素,左上角为结构元素原点
s = np.array([[1, 0], [1, 1]], dtype=np.bool8)
m, n = s.shape[0], s.shape[1]

output_image = input_image.copy()

# 进行膨胀操作
for row in range(height-m+1):  # 对边界不做处理
    for col in range(width-n+1):
        result = input_image[row:row+m, col:col+n] & s
        if result.sum() >= 1:
            output_image[row, col] = 255
        else:
            output_image[row, col] = 0 

cv2.imshow('input-image', input_image)
cv2.imshow('output-image', output_image)
cv2.waitKey(0)

5. 结果展示

可以看到，右图（膨胀后的图像）相较于左边的原图，轮廓变粗。

参考资料

1. 数字图像处理基础.朱虹