本篇文章将详细介绍非牛顿流体函数的具体使用方法。

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常见的非牛顿流体有：幂律、CarreauYasuda 模型、交叉模型、Herschel-Bulkley 模型以及粘度曲线等 5 种模型。

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表观粘度η

非牛顿流体的粘度μ随剪切速率γ′和剪切应力τ而变化，所以用流动曲线上某一点的τ与γ′的比值来表示在某一值时的粘度，这种粘度称为表观粘度，用η表示：

τ=ηγ′ 

η=τ/γ′

下面将介绍各模型的参数的含义：

① 幂律（Ostwald-De Wale幂律）：

 

幂律模型适用于广泛剪切变形速率下的假塑性流体或胀塑性流体。

由于其在公式上的简单性，在工程上有较大的实用价值。但是由于它是一个纯粹的经验方程，所以物理意义不够明确。

另外，对于切变率很大或很小的情形，幂指数定律都不适用。

一致性指数：k，也称稠度系数。k值是粘度的度量，但不等于粘度值，而粘度越高，K值也越高；

幂律指数：n，为流动行为指数或非牛顿指数，是与温度有关的参数，n偏离1的程度越大，表明材料非牛顿性越强。；

当n>1时，幂律方程反映剪切变稠的胀塑性流体（如淀粉、蔗糖溶液、涂料等）；

当n<1时，幂律方程反映剪切变稀的假塑性流体（如大多数聚合物，番茄酱等）；

当n=1时，幂律方程反映牛顿流体k=η0；

最小粘度：流体在幂律模型下适用的最小粘度，n>1时必须要输入；

最大粘度：流体在幂律模型下适用的最小粘度，n<1时必须要输入。

多数高分子流体是假塑性流体，可以用幂律方程描述，其流动行为指数n=0.15~0.6。

② Carreau Yasuda模型：

Carreau Yasuda方程既反映高剪切速率下的假塑性，又反映低剪切速率下的牛顿性。能够描写比幂律方程范围更广的流动性质。

幂律指数：n，为流动行为指数或非牛顿指数，一般n<1；

时间常数：λ，也称松弛时间，指材料受力变形，外力解除后恢复正常状态所需的时间；

零剪切粘度：η_0，也称第一牛顿粘度。剪切速率很小时，聚合物粘度较大，且通常为一个定值，所以常作为聚合物粘度的标准；

无限剪切粘度：η_∞，也称第二牛顿粘度。剪切速率非常大时，聚合物大分子链容易发生降解，有时可取为0；

Yasuda指数：a，控制从第一牛顿流动区到剪切变稀指数区域的粘度转变速度的常数（a＜1时，转变区域扩大），当a取2时就是 Carreau模型。

例如：下图是3%乳清蛋白分离物和0.4%黄原胶假塑性溶液的粘度曲线。

如果应用Carreau-Yasuda流变方程进行拟合，拟合参数如下：

Carreau Yasuda模型适用于高分子聚合物的剪切变稀行为，而且是最常用于表征人体血液粘稠度的非牛顿模型之一。

不同模型血液粘度值测量数据的对比

（图片摘自 G. Mach 等人员在 COMSOL 用户年会 2016 慕尼黑站发表的演示作品）

③ 交叉模型：

交叉（Cross）模型可全面描述“S”形流动曲线反应的转折，石油化工领域应用较多，通常用来描述沥青等热塑性材料。

幂律指数：n，为流动行为指数或非牛顿指数，n可取大于1或小于1的数值；

时间常数：λ，也称松弛时间，指材料受力变形，外力解除后恢复正常状态所需的时间；

零剪切粘度：η_0，也称第一牛顿粘度。剪切速率很小时，聚合物粘度较大，且通常为一个定值，所以常作为聚合物粘度的标准；

交叉（Cross）模型还有一些其他表达形式，例如：Cross-Exp模型、Cross-WLF模型。

Cross-Exp模型：

Cross-WLF模型 ：

④ Herschel-Bulkley模型：

Herschel-Bulkley模型可以描述带有屈服应力的剪切变稀或剪切增稠流体。

模型中的流动行为指数n=1的情况下，Herschel-Bulkey模型将退化为Bingham模型，可用来描述宾汉流体。

一致性指数：k，也称稠度系数。k值是粘度的度量，但不等于粘度值，而粘度越高，K值也越高；

幂律指数：n，为流动行为指数或非牛顿指数，是与温度有关的参数，n偏离1的程度越大，表明材料非牛顿性越强；

当n>1时，为广义宾汉流体剪切变稠；

当n<1时，为广义宾汉流体剪切变稀；

当n=1时，为理想宾汉流体；

屈服应力：τ_0，只有当外力超过该应力才发生流动；

临界剪切速率：γ′_0，屈服剪切速率，开始流动时的剪切速率。

线性坐标下的典型的Bingham与Herschel-Bulkley模型拟合

⑤ 粘度曲线：输入粘度与剪切速率的离散数据点。

非牛顿流体模型很多，如果遇到软件没有提供的模型，可以在Excel表格里编辑好后，通过粘度曲线进行定义。

一些常见的流动模型

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本来想这次给大家分享下案例，奈何篇幅太长，下次一定。

口说无凭，要不先预热一下吧

水滴自由下落

非牛顿流体自由下落

非牛顿流体注液过程

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参考资料：

[1] J. Sepulveda, A. Montillet, D. Della Valle, C. Loisel, A. Riaublanc, Deformation of gas-liquid interfaces in a non-Newtonian fluid at high throughputs inside a microfluidic device and effect of an expansion on bubble breakup mechanisms, Chemical Engineering Science (2019).

[2]  White Paper – Understanding Yield Stress Measurements.

[3] Moldex3D模流分析知识点大百科-材料性质与模型（1/4） - 知乎 (zhihu.com)

[4] A13C2A29F91287E8DEC1A117259_269C7DBF_C13EB.pdf (hzau.edu.cn)