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1.题目

有n个物品，它们有各自的体积和价值，现有给定容量的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

2.例子

number＝4，capacity＝8

物品编号（i）W（体积）V（价值）
123
234
345
456

3.实现

1.动态规划

1.什么是动态规划

1.动态规划算法是通过拆分问题，定义问题状态和状态之间的关系，
使得问题能够以递推（或者说分治）的方式去解决。
2.动态规划算法的基本思想与分治法类似，也是将待求解的问题分解为若干个子问题（阶段），
按顺序求解子阶段，前一子问题的解，为后一子问题的求解提供了有用的信息。
在求解任一子问题时，列出各种可能的局部解，通过决策保留那些有可能达到最优的局部解，
丢弃其他局部解。依次解决各子问题，最后一个子问题就是初始问题的解。

2.对题目分析

1.分析

面对每个物品，我们只有选择拿取或者不拿两种选择，不能选择装入某物品的一部分，也不能装入同一物品多次。
解决办法：声明一个 大小为 m[n][c] 的二维数组，m[ i ][ j ] 表示 在面对第 i 件物品，且背包容量为 j 时所能获得的最大价值 ，那么我们可以很容易分析得出 m[i][j] 的计算方法，
（1）. j < weight[i] 的情况，这时候背包容量不足以放下第 i 件物品，只能选择不拿
m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ]
（2）. j>=w[i] 的情况，这时背包容量可以放下第 i 件物品，我们就要考虑拿这件物品是否能获取更大的价值。
如果拿取，m[ i ][ j ]=m[ i-1 ][ j-weight[ i ] ] + value[ i ]。 这里的m[ i-1 ][ j-weight[ i ] ]指的就是考虑了i-1件物品，背包容量为j-w[i]时的最大价值，也是相当于为第i件物品腾出了w[i]的空间。
如果不拿，m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ] , 同（1）
究竟是拿还是不拿，自然是比较这两种情况那种价值最大。

2.状态转换方程
if(j>=w[i])
    m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-weight[i]]+value[i]);
else
    m[i][j]=m[i-1][j];
3.状态转换图

1）如，i=1，j=1，w(1)=2，v(1)=3，有j<w(1)，故V(1,1)=V(1-1,1)=0；
2) 又如i=1，j=2，w(1)=2，v(1)=3，有j=w(1),故V(1,2)=max｛ V(1-1,2)，V(1-1,2-w(1))+v(1) ｝=max｛0，0+3｝=3；
3) 如此下去，填到最后一个，i=4，j=8，w(4)=5，v(4)=6，有j>w(4)，故V(4,8)=max｛ V(4-1,8)，V(4-1,8-w(4))+v(4) ｝=max｛9，4+6｝=10；所以填完表如下图：
在这里插入图片描述

3.代码

#define N 100
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;

void Knap(int value[], int weight[], int c, int n, int  m[][N])
{
	for (int i = 1; i <= n; i++)//物品i 
	{
		for (int j = 1; j <= c; j++)//重量j 
		{
			if (j >= weight[i])
			{
				m[i][j] = max(m[i - 1][j], m[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
			}
			else m[i][j] = m[i - 1][j];
		}
	}
	//for (int i = 0; i <= n; i++)//物品i 
	//{
	//	for (int j = 0; j <= c; j++)//重量j 
	//	{
	//		cout << m[i][j] << ' ';
	//	}
	//	cout << endl;
	//}
}

void Trace(int m[][N], int weight[], int c, int n, int x[])
{
	int h = n, g = c;
	while (h >= 1)
	{
		if (m[h][g] == m[h - 1][g])
			x[h] = 0;
		else
		{
			x[h] = 1;
			g = g - weight[h];
		}
		h--;
	}
}

int main()
{
	int value[100];
	int weight[100];
	int m[N][N] = { 0 };
	int x[N];
	int c;
	int n;
	value[0] = 0;
	weight[0] = 0;
	cout << "请输入背包可以承受的重量:";
	cin >> c;
	cout << "请输入物体数量:";
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		printf("请输入第%d个物体的质量与价值:", i);
		cin >> weight[i] >> value[i];
	}
	Knap(value, weight, c, n, m);
	Trace(m, weight, c, n, x);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		cout << x[i] << "  ";
	cout << endl;
	return 0;
}

4.结果

在这里插入图片描述

2.贪心算法

1.什么是贪心算法

1.贪心算法的基本思想是找出整体当中每个小的局部的最优解，
并且将所有的这些局部最优解合起来形成整体上的一个最优解。
2.使用贪心算法的问题必须满足下面的两个性质：
  1）整体的最优解可以通过局部的最优解来求出；
  2）一个整体能够被分为多个局部，并且这些局部都能够求出最优解。
  使用贪心算法当中的两个典型问题是活动安排问题和背包问题。
3.贪心算法一般按如下步骤进行:
  1）建立数学模型来描述问题。
   2）把求解的问题分成若干个子问题。
   3）对每个子问题求解，得到子问题的局部最优解。
   4）把子问题的解局部最优解合成原来解问题的一个解。

2.对题目分析

1.分析

首先我们按照物品的单位重量价值来进行排序，
然后按照单位重量价值从高到低依次进行选择，
  若其能装入背包则将其装入，
  不能则继续判断下一个直至所有物品都判断完，
就得到了问题的一个解。

2.缺点

但是对于0-1背包问题，用贪心算法并不能保证最终可以将背包装满，部分剩余的空间使得单位重量背包空间的价值降低了，这也是用贪心算法一般无法求得0-1背包最优解的原因。

3.代码

#include <iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
struct node
{
	double v;//价值
	double w;//重量
} wu[100];
bool cmp1(node a, node b)//重量
{
	if (a.w == b.w)
		return a.v > b.v;
	return a.w < b.w;
}
bool cmp2(node a, node b)//价值
{
	if (a.v == b.v)
		return a.w < b.w;
	return a.v > b.v;
}
bool cmp3(node a, node b)// 单位价值
{
	if ((a.v / a.w) == (b.v / b.w))
		return a.w < b.w;
	return (a.v / a.w) > (b.v / b.w);
}
int fun1(int n, int c)
{
	sort(wu, wu + n, cmp1);
	int value = 0;
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		if (c >= wu[i].w)
		{
			c -= wu[i].w;
			value += wu[i].v;
		}
	}
	return value;
}
int fun2(int n, int c)
{
	sort(wu, wu + n, cmp2);
	int value = 0;
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		if (c >= wu[i].w)
		{
			c -= wu[i].w;
			value += wu[i].v;
		}
	}
	return value;
}
int fun3(int n, int c)
{
	sort(wu, wu + n, cmp3);
	int value = 0;
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		if (c >= wu[i].w)
		{
			c -= wu[i].w;
			value += wu[i].v;
		}
	}
	return value;
}

int random(int n, int c)
{
	int ans = -1, m = 1000;
	int flag, b[110];
	while (m--)
	{
		int flag2 = 0, value = 0;
		for (int i = 0; i < n; i++)
		{
			b[i] = 1;
		}
		while (1)
		{
			flag = rand() % n;
			if (b[flag] != 0)
			{
				if (flag2 + wu[flag].w <= c)
				{
					flag2 += wu[flag].w;
					b[flag] = 0;
					value += wu[flag].v;
				}
			}
			else
			{
				break;
			}
		}
		if (value > ans)
		{
			ans = value;
		}
	}
	return ans;
}


int main()
{
	int n, c;//n个物品，c的容量
	cin >> n >> c;
	for (int i = 0; i < n; i++)
		cin >> wu[i].w;
	for (int j = 0; j < n; j++)
		cin >> wu[j].v;
	cout << "优先放重量最小的答案：";
	cout << fun1(n, c) << endl;
	cout << "优先放价值最大的答案：";
	cout << fun2(n, c) << endl;
	cout << "先放性价比最大的答案：";
	cout << fun3(n, c) << endl;
	cout << "随机1000次最大的答案：";
	cout << random(n, c) << endl;
	return 0;
}

4.结果

在这里插入图片描述

3.回溯法

1.什么是回溯法

1.回溯法概念：
  回溯算法有“通用的解题法”之称。用它可以系统地搜索一个问题的所在解或任一解。
  回溯法是一个即带有系统性又带有跳跃性的所搜算法。
2.回溯法思想：
  1）在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，
  从根结点出发深度探索解空间树。当探索到某一结点时，
   要先判断该结点是否包含问题的解，如果包含，就从该结点出发继续探索下去，
  如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯。
  2）若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，
  且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束；
   而若使用回溯法求任一个解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。
  3）回溯法解题步骤：
     1>针对所给问题，定义问题的解空间
     2>确定易于搜索的解空间结构
     3>以深度优先方式所搜解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

2.对题目分析

1.分析

01背包属于找最优解问题，用回溯法需要构造解的子集树。对于每一个物品i，对于该物品只有选与不选2个决策，总共有n个物品，可以顺序依次考虑每个物品，
这样就形成了一棵解空间树： 基本思想就是遍历这棵树，以枚举所有情况，最后进行判断，如果重量不超过背包容量，且价值最大的话，该方案就是最后的答案。
在搜索状态空间树时，只要左子节点是可一个可行结点，搜索就进入其左子树。对于右子树时，先计算上界函数，以判断是否将其减去（剪枝）。
上界函数bound():当前价值cw+剩余容量可容纳的最大价值<=当前最优价值bestp。　
为了更好地计算和运用上界函数剪枝，选择先将物品按照其单位重量价值从大到小排序，此后就按照顺序考虑各个物品。

2.设计

利用回溯法试设计一个算法求出0-1背包问题的解，也就是求出一个解向量ｘi （即对n个物品放或不放的一种的方案）
其中， (ｘi = 0 或１，ｘi = 0表示物体ｉ不放入背包，ｘi ＝1表示把物体ｉ放入背包）。
在递归函数Backtrack中，
　　当i>n时，算法搜索至叶子结点，得到一个新的物品装包方案。此时算法适时更新当前的最优价值
　　当i<n时，当前扩展结点位于排列树的第（i-1）层，此时算法选择下一个要安排的物品，以深度优先方式递归的对相应的子树进行搜索，对不满足上界约束的结点，则剪去相应的子树。

3.解空间树图

在这里插入图片描述

4.时间复杂度与空间复杂度

  因为物品只有选与不选2个决策，而总共有n个物品，所以时间复杂度为。
　　因为递归栈最多达到n层，而且存储所有物品的信息也只需要常数个一维数组，所以最终的空间复杂度为O(n)。

3.代码

#include <iostream>
#include <stdio.h>
//#include <conio.h>
using namespace std;
int n;//物品数量
double c;//背包容量
double v[100];//各个物品的价值　
double w[100];//各个物品的重量　
double cw = 0.0;//当前背包重量
double cp = 0.0;//当前背包中物品总价值
double bestp = 0.0;//当前最优价值
double perp[100];//单位物品价值(排序后)
int order[100];//物品编号



//按单位价值排序
void knapsack()
{
    int i, j;
    int temporder = 0;
    double temp = 0.0;

    for (i = 1; i <= n; i++)
        perp[i] = v[i] / w[i]; //计算单位价值（单位重量的物品价值）
    for (i = 1; i <= n - 1; i++)
    {
        for (j = i + 1; j <= n; j++)
            if (perp[i] < perp[j])//冒泡排序perp[],order[],sortv[],sortw[]
            {
                temp = perp[i];  //冒泡对perp[]排序
                perp[i] = perp[j];//单位物品价值
                perp[j] = temp;

                temporder = order[i];//冒泡对order[]排序
                order[i] = order[j];;//物品编号
                order[j] = temporder;

                temp = v[i];//冒泡对v[]排序
                v[i] = v[j];//各个物品的价值
                v[j] = temp;

                temp = w[i];//冒泡对w[]排序
                w[i] = w[j];//各个物品的重量
                w[j] = temp;
            }
    }
}


//计算上界函数，功能为剪枝
double bound(int i)
{   //判断当前背包的总价值cp＋剩余容量可容纳的最大价值<=当前最优价值
    double leftw = c - cw;//剩余背包容量
    double b = cp;//记录当前背包的总价值cp,最后求上界
    //以物品单位重量价值递减次序装入物品
    while (i <= n && w[i] <= leftw)
    {
        leftw -= w[i];
        b += v[i];
        i++;
    }
    //装满背包
    if (i <= n)
        b += v[i] / w[i] * leftw;
    return b;//返回计算出的上界

}

//回溯函数
void backtrack(int i)
{   //i用来指示到达的层数（第几步，从0开始），同时也指示当前选择玩了几个物品
    if (i > n) //递归结束的判定条件
    {
        bestp = cp;
        return;
    }
    //如若左子节点可行，则直接搜索左子树;
    //对于右子树，先计算上界函数，以判断是否将其减去
    if (cw + w[i] <= c)//将物品i放入背包,搜索左子树
    {
        cw += w[i];//同步更新当前背包的重量
        cp += v[i];//同步更新当前背包的总价值
        backtrack(i + 1);//深度搜索进入下一层
        cw -= w[i];//回溯复原
        cp -= v[i];//回溯复原
    }
    if (bound(i + 1) > bestp)//如若符合条件则搜索右子树
    {
        backtrack(i + 1); //后续节点的价值上界大于当前最优价值，则可以进入右界面  否则最优的都小于或等于当前的 就没必要再进入右节点 
        //进入右节点 因为不加入到背包 故 当前的价值 重量 都不发生改变
    }
}


int main()
{
    int i;
    printf("请输入物品的数量和背包的容量：");
    scanf_s("%d %lf", &n, &c);
    printf("请依次输入%d个物品的重量:\n", n);
    for (i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf_s("%lf", &w[i]);
        order[i] = i;
    }

    printf("请依次输入%d个物品的价值:\n", n);
    for (i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf_s("%lf", &v[i]);
    }


    knapsack();
    backtrack(1);

    cout << endl;
    printf("最优价值为：%.lf\n", bestp);
    return 0;
}

4.结果

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4.分支限界法

1.什么是分支限界法

分支限界法常以广度优先或以最小耗费（最大效益）优先的方式搜索问题的解空间树。
   在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。
   活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。
  在这些儿子结点中，导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃，
  其余儿子结点被加入活结点表中。
   此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复上述结点扩展过程。
  这个过程一直持续到找到所需的解或活结点表为空时为止。

2.对题目分析

1.分析

函数MaxKnapSack使用分支限界法
用子集树表示，左子节点表示当前物品放入，右子节点表示当前物品不放入。
优先级：按照优先队列中节点元素N的优先级由上界函数bound计算出的uprofit给出。（就是当前背包的重量+剩余可以放的重量）（剩余的物品按照单位重量价值非升序排序，将单位重量价值大的先放 入，放不下整个物品的话，就放入一部分。）如果到达了叶节点，由于使用的是优先队列，所有活结点价值上届不超过该叶节点价值，是最优值

2.时间复杂度与空间复杂度

空间：最坏情况下需搜索2^(n +１) –２个节点，需O(2^n ) 个空间存储节点，则算法空间复杂性为O(2^n ）
时间：最坏情况有 2^(n +１) - ２ 个节点，限界函数时间复杂度O（n），若 对每个节点用限界函数判断，则其时间复杂度为O(n2^n).

3.代码方法1

#include <iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
using namespace std;

const int N = 110;
struct stone {
	int v, w;
	stone() {
		v = w = 0;
	}
	bool operator < (stone b) const {
		return v / w > b.v / b.w;
	}
}item[N];

struct node {
	int level, cv, cw;
	float bound;
	bool operator< (const node& b) const {
		return bound > b.bound;
	}
};

int best, W, n;
inline void Initialize(priority_queue<node>& Q) {
	while (Q.size()) Q.pop();
}

float bound(node& p) {
	int left = W - p.cw;
	float val = p.cv;
	int i;

	for (i = p.level; i <= n && item[i].w <= left; i++) {
		left -= item[i].w;
		val += item[i].v;
	}
	if (i <= n) val += item[i].v * 1.0 / item[i].w * left;
	return val;
}
priority_queue<node> PQ;
void knapsack() {
	node u, v;
	Initialize(PQ);
	v = { 0,0,0,0 };
	best = 0;
	v.bound = bound(v);
	PQ.push(v);
	while (PQ.size()) {
		v = PQ.top();
		PQ.pop();
		if (v.level == n) continue;
		if (v.bound > best) {
			u.level = v.level + 1;
			u.cw = v.cw + item[u.level].w;
			u.cv = v.cv + item[u.level].v;
			//printf("%d %d\n", u.cw, u.cv);
			if (u.cw <= W && u.cv > best)
				best = u.cv;
			u.bound = bound(u);
			if (u.bound > best) PQ.push(u);
			u.cw = v.cw; u.cv = v.cv;
			u.level = v.level + 1;
			u.bound = bound(u);
			if (u.bound > best) PQ.push(u);
		}
	}
}
int main() {
	printf("请输入物品的数量和背包的容量：");
	scanf_s("%d %d", &n, &W);
	printf("请依次输入%d个物品的重量:\n", n);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		scanf_s("%d", &item[i].w);
	}

	printf("请依次输入%d个物品的价值:\n", n);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		scanf_s("%d", &item[i].v);
	}
	sort(item + 1, item + 1 + n);
	knapsack();
	printf("%d\n", best);
	return 0;
}
/*
4 7
3 5 2 1
9 10 7 4

20
*/

4.结果1

在这里插入图片描述

5.代码方法2

#include <iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
using namespace std;
//分支限界发求解01背包问题 基于的是贪心思想   在第1个物品放入 和没放入背包时  其实 都有一个理论上可能达到的最大价值 
//我们选理论价值最大的那个可能性   如果该物品放入背包 可能的价值大  我们就走这条路 如果这个不放入 价值大 我们就走另外一条路 
//总容量
int totalvolume;
//物品数量
int amount;

//递增系数
int id_add = 0;
//定义一个结构
struct element
{
	//编号
	int Id;
	//重量
	int Weight;
	// 价值
	int Worth;
	element()
	{
		Id = id_add++;
		Weight = 0;
		Worth = 0;
	}
};
//保存某个方案 
struct PLAN
{
	//每个方案都会保存一个数组 （每个物品 是否放入）
	bool isIn[11] = { 0 };
	// 已经存入的物品的价值
	double alreadyWorth;
	//可能最大利益
	double  mostWorth;
	//剩余容量
	int leftVolume;
	//第Id个物品是否放入  这表示前Id-1个物品 是否放入都已经确定了
	int Id;
	PLAN()
	{
	}
	//初始化 所有物品都没放入的初始状态
	void Init(element* Array)
	{
		alreadyWorth = 0;
		mostWorth = 0;
		leftVolume = totalvolume;
		Id = 0;
		calculate(Array);
	};
	//后序所有的初始化都采用这个  都是在前面基础上 判断第n个物品是否放入  放入是1  不放入是0 
	void Init(PLAN& a, int is_in, element* Array)
	{

		std::copy(a.isIn, a.isIn + amount, isIn);
		//不放入
		Id = a.Id;
		leftVolume = a.leftVolume;
		alreadyWorth = a.alreadyWorth;
		//放入
		if (is_in == 1 && leftVolume - Array[Id].Weight >= 0)
		{
			leftVolume -= Array[Id].Weight;
			alreadyWorth += Array[Id].Worth;
			isIn[Id] = 1;
		}
		Id++;
		calculate(Array);
	};
	//计算某个方案的 mostWorth
	void  calculate(element* Array)
	{
		int id_used = Id;
		int leftVolume1 = leftVolume;
		mostWorth = alreadyWorth;
		while (id_used <= amount - 1 && leftVolume1 - Array[id_used].Weight >= 0)
		{
			leftVolume1 -= Array[id_used].Weight;
			mostWorth += Array[id_used].Worth;
			id_used++;
		}
		if (leftVolume1 > 0 && id_used <= amount - 1)
		{
			mostWorth += leftVolume1 * ((double)Array[id_used].Worth / (double)Array[id_used].Weight);
		}
	}


};
bool operator<(const PLAN& a, const PLAN& b)
{
	return a.mostWorth < b.mostWorth;
}
bool operator>(const PLAN& a, const PLAN& b)
{
	return a.mostWorth > b.mostWorth;
}
bool operator>=(const PLAN& a, const PLAN& b)
{
	return a.mostWorth >= b.mostWorth;
}
ostream& operator<<(ostream& os, const PLAN& a)
{
	for (int i = 0; i <= 10; i++)
	{
		if (a.isIn[i] == 1)
		{
			os << i + 1 << " ";
		}
	}
	os << "最优方案价值为" << a.alreadyWorth << endl;
	return os;
}
bool cmp_element(element& a, element& b)
{
	return ((double)a.Worth / a.Weight) > ((double)b.Worth / b.Weight);
}
int main()
{
	srand((unsigned)time(NULL));
	//大根堆
	priority_queue<PLAN>mHeap;


	cout << "请输入总的容量" << endl;
	cin >> totalvolume;
	cout << "输入物品数量" << endl;
	cin >> amount;
	element* Item = new element[amount];
	for (int i = 0; i < amount; i++)
	{
		cout << "输入第" << i + 1 << "组物品的重量和价值。以空格隔开" << endl;
		cin >> Item[i].Weight >> Item[i].Worth;

	}
	//按性价比排序
	std::sort(Item, Item + amount, cmp_element);
	cout << " 排序之后：" << endl;
	for (int i = 0; i < amount; i++)
	{
		cout << i + 1 << " " << Item[i].Weight << " " << Item[i].Worth << endl;
	}
	//临时方案
	PLAN tempPlan;
	tempPlan.Init(Item);
	//临时方案
	PLAN tempPlan1;
	while (tempPlan.Id != amount)
	{
		//第n个物品放入
		tempPlan1.Init(tempPlan, 0, Item);
		mHeap.push(tempPlan1);
		//第n个物品不放入
		tempPlan1.Init(tempPlan, 1, Item);
		mHeap.push(tempPlan1);
		tempPlan = mHeap.top();
		mHeap.pop();
	}
	//循环结束的方案 即为最优方案  因为到达叶子节点
	cout << tempPlan;
	system("pause");
	delete[]Item;
	return 0;
}

6.结果2

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# 动态规划 # 贪心算法 # 算法 # 剪枝
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