一、哈夫曼树的定义

首先需要理解几个问题：
1、什么是路径
在一棵树中，从一个结点到另一个结点所经过的所有结点，被我们称为两个结点之间的路径
2、什么是路径长度
在一棵树中，从一个结点到另一个结点所经过的“边”的数量，被我们称为两个结点之间的路径长度。
3、什么是结点的带权路径长度
树的每一个结点，都可以拥有自己的“权重”（Weight），权重在不同的算法当中可以起到不同的作用。结点的带权路径长度，是指树的根结点到该结点的路径长度，和该结点权重的乘积。
4、什么是树的带权路径长度
在一棵树中，所有叶子结点的带权路径长度之和，被称为树的带权路径长度，也被简称为WPL。

比如以上 WPL=13+33+42+62+8*2=46

而哈夫曼树（Huffman Tree）是在叶子结点和权重确定的情况下，带权路径长度最小的二叉树，也被称为最优二叉树。

二、构建思路

初始状态：有四棵只有根节点的树

合并权值为1和2的树，生成他们的父结点，父结点权值为3

合并权值为3和2的两颗树，生成父结点，父节点权值为5

最后合并剩下的两棵树，最后剩下的一棵就是哈夫曼树

基本思路就是先将每个给定权值的结点看成一棵只有根节点的树，然后不断合成权值最小的两个树，生成一个权值为他们之和的一棵新树，最终剩下的一棵树就是哈夫曼树

三、代码实现

定义树

typedef struct {
    int weight;         // 结点权值?
    int parent, lc, rc; // 双亲结点和左 右子节点
} HTNode, *HuffmanTree;

查找最小的两个权值的结点

void Select(HuffmanTree &HT, int n, int &s1, int &s2)
{
    int minum;      // 定义一个临时变量保存最小值?
    for(int i=1; i<=n; i++)     // 以下是找到第一个最小值
    {
        if(HT[i].parent == 0)
        {
            minum = i;
            break;
        }
    }
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        if(HT[i].parent == 0)
            if(HT[i].weight < HT[minum].weight)
                minum = i;
    }
    s1 = minum;
    // 以下是找到第二个最小值，且与第一个不同
    for(int i=1; i<=n; i++)     
    {
        if(HT[i].parent == 0 && i != s1)
        {
            minum = i;
            break;
        }
    }
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        if(HT[i].parent == 0 && i != s1)
            if(HT[i].weight < HT[minum].weight)
                minum = i;
    }
    s2 = minum;
}

建立哈夫曼树

void CreatHuff(HuffmanTree &HT, int *w, int n)
{
    int m, s1, s2;
    m = n * 2 - 1;  // 总结点的个数
    HT = new HTNode[m + 1]; // 分配空间
    for(int i=1; i<=n; i++) // 1 - n 存放叶子结点，初始化
    {
        HT[i].weight = w[i];
        HT[i].parent = 0;
        HT[i].lc = 0;
        HT[i].rc = 0;
    }
    for(int i=n+1; i<=m; i++)   // 非叶子结点的初始化
    {
        HT[i].weight = 0;
        HT[i].parent = 0;
        HT[i].lc = 0;
        HT[i].rc = 0;
    }
    
    printf("\nthe HuffmanTree is: \n");
 
    for(int i = n+1; i<=m; i++)     // 创建非叶子节点，建哈夫曼树
    {   // 在HT[1]~HT[i-1]的范围内选择两个parent为0且weight最小的两个结点，其序号分别赋值给 s1 s2
        Select(HT, i-1, s1, s2);
        HT[s1].parent = i;  // 删除这两个结点
        HT[s2].parent = i;
        HT[i].lc = s1;      // 生成新的树，左右子节点是 s1和s2
        HT[i].rc = s2;
        HT[i].weight = HT[s1].weight + HT[s2].weight;   // 新树的权??
        printf("%d (%d, %d)\n", HT[i].weight, HT[s1].weight, HT[s2].weight);
    }
    printf("\n");
}

总代码：

#include <stdio.h>
#include <string.h>

typedef struct {
    int weight;         // 结点权值?
    int parent, lc, rc; // 双亲结点和左 右子节点
} HTNode, *HuffmanTree;
 
void Select(HuffmanTree &HT, int n, int &s1, int &s2)
{
    int minum;      // 定义一个临时变量保存最小值?
    for(int i=1; i<=n; i++)     // 以下是找到第一个最小值
    {
        if(HT[i].parent == 0)
        {
            minum = i;
            break;
        }
    }
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        if(HT[i].parent == 0)
            if(HT[i].weight < HT[minum].weight)
                minum = i;
    }
    s1 = minum;
    // 以下是找到第二个最小值，且与第一个不同
    for(int i=1; i<=n; i++)     
    {
        if(HT[i].parent == 0 && i != s1)
        {
            minum = i;
            break;
        }
    }
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        if(HT[i].parent == 0 && i != s1)
            if(HT[i].weight < HT[minum].weight)
                minum = i;
    }
    s2 = minum;
}
 
void CreatHuff(HuffmanTree &HT, int *w, int n)
{
    int m, s1, s2;
    m = n * 2 - 1;  // 总结点的个数
    HT = new HTNode[m + 1]; // 分配空间
    for(int i=1; i<=n; i++) // 1 - n 存放叶子结点，初始化
    {
        HT[i].weight = w[i];
        HT[i].parent = 0;
        HT[i].lc = 0;
        HT[i].rc = 0;
    }
    for(int i=n+1; i<=m; i++)   // 非叶子结点的初始化
    {
        HT[i].weight = 0;
        HT[i].parent = 0;
        HT[i].lc = 0;
        HT[i].rc = 0;
    }
    
    printf("\nthe HuffmanTree is: \n");
 
    for(int i = n+1; i<=m; i++)     // 创建非叶子节点，建哈夫曼树
    {   // 在HT[1]~HT[i-1]的范围内选择两个parent为0且weight最小的两个结点，其序号分别赋值给 s1 s2
        Select(HT, i-1, s1, s2);
        HT[s1].parent = i;  // 删除这两个结点
        HT[s2].parent = i;
        HT[i].lc = s1;      // 生成新的树，左右子节点是 s1和s2
        HT[i].rc = s2;
        HT[i].weight = HT[s1].weight + HT[s2].weight;   // 新树的权??
        printf("%d (%d, %d)\n", HT[i].weight, HT[s1].weight, HT[s2].weight);
    }
    printf("\n");
}
 
int main()*
{
    HuffmanTree HT;
    
    int *w, n, wei;
    printf("input the number of node\n");
    scanf("%d", &n);
    w = new int[n+1];
    printf("\ninput the %dth node of value\n", n);
 
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        scanf("%d", &wei);
        w[i] = wei;
    }
    CreatHuff(HT, w, n);
 
 
 
    return 0;
}