本节介绍频率特性法的基本概念
本节介绍典型环节的幅相频率特性和对数频率特性
本节介绍绘制开环系统的Nyquist图和Bode图

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前一章讲了根轨迹法，属于一种复域分析方法。而除了在复域中处理输入输出，还可以在频域中处理（实际上频域中处理更加常用），所以这里介绍频率特性分析法。
频域分析，实际上就是研究稳态正弦响应的 幅值 和 相角 随频率的变化规律。
频域分析法通过研究开环频率特性进而研究闭环稳定性及性能。
与根轨迹相同，也是一种图解分析法，所以方便实用但也有一定的近似性。

频率特性的基本概念

什么是频率响应？

频率特性是指线性系统稳态正弦响应的幅值、相角随输入频率变化的规律性

比如在这里解出来u_c(t)，里面含有$\omega$，说明输出与输入的频率有关。这个规律就叫做频率特性

输出第一项将随着时间增大而趋于0，称为衰减信号或瞬态分量
而第二项是一个正弦函数形式，频率为$\omega$，称为稳态分量
取出稳态分量，也就是得到稳态正弦响应。这个正弦函数的幅值$|G(j\omega )|$和相位$\varphi (\omega )$均为频率$\omega$的函数，因此可以构建一个频率传递函数，分别对应其幅值和相角，记为：
$G(j\omega )=|G(j\omega )|e^{j\varphi (\omega )}$
$G(j\omega )$就是系统的频率特性。

频率特性的定义

• 方法1:
  分别定义幅值和相角
  $\{\begin{array}{rl}|G(i\omega )|=& \frac{|c_s(t)|}{|r(t)|}\\ \angle G(j\omega )=& \angle c_s(t)-\angle r(t)\end{array}$
  这两个公式分别称为幅频特性和相频特性
  

• 方法2:
  利用复域传递函数
  $G(j\omega )=G(s){|}_{s=j\omega }$
  

• 方法3:
  利用fourier变换
  $G(j\omega )=\frac{C(j\omega )}{R(j\omega )}$
  
  也就是先通过复域传递函数，进行拉氏反变换，然后把s替换成$j\omega$，化简之后发现变成了傅氏反变换的形式，因此推导出这个公式。

接下来根据定义做一道例题：

由于稳态正弦响应一定是与输入频率相同的正弦函数，所以只需要确定出幅值和相位就可以写出函数了。

要表示系统频率特性，可以采用多种不同的方法：

幅相频率特性 Nyquist

也叫做极座标图。在复平面上，频率特性可以表示为一个向量，向量的长度表示频率特性的幅值，向量与实轴正方向的夹角为频率响应的相位，这样就构成了Nyquist图。

典型环节的幅相特性曲线

比例 微分 积分 惯性 一阶复合微分环节

现在再来看Nyquist图，颇有一种根轨迹的感觉。平面叫做G平面，也就是说平面上的每一个点都表示一个$G(j\omega )$。随着$\omega$的取值从0到无穷，频率特性留下的轨迹就成为了幅相特性曲线。
根据一个点的位置，可以知道$G(j\omega )$的幅值和相位，但并不能直接读出$\omega$

之前都是已知系统传递函数来画图。但也可以从Nyquist图反求系统传递函数：

震荡环节

震荡环节和之前最大的不同就是根据$\xi$的不同，Nyquist图的形状也不同。

研究曲线的形状，求幅值的最值：

1.在$\xi$较大时，随$\omega$增大，幅值单调减小，也就是曲线一直趋近原点。时间响应该震荡依旧震荡
而$\xi$较小时，随$\omega$增大，幅值先增大后减小，也就是曲线先远离原点，再趋近原点。

2.引入谐振频率和谐振峰值来表示幅值最大点的频率和幅值。

由图像反求传递函数：

二阶复合微分环节

「这个不稳定二阶微分，还有前面的不稳定一阶复合微分，是我自己瞎取的名字，方便和不稳定震荡环节、不稳定惯性环节相对应」

延迟环节

开环幅相特性曲线

之前是每一个环节分开来。现在直接从开环传递函数入手。仍然是分成幅值和相角两个方面分别计算，再合成为矢量。根据$\omega$的变化绘制成曲线。

绘制开环幅相特性一般不要求高精度，所以根据起点、终点，大概勾勒出形状即可。如果有更高的要求，可以代入与实轴的交点等条件增加精度。

0 1 2 3型系统的开环Nyquist

看这个例题：


也就是说不同的系统型别，开环幅相特性曲线朝向是不同的。而对于某一型的系统，可以根据这个例题，直接勾勒出对应的曲线形状。

来看个例题：

基本思路：实部虚部分开，计算与实轴的交点，找出渐近线，再根据相应系统的型别对应的曲线形状勾勒出曲线。

那如果不是0 1 2 3型系统，而是其他型别该怎么办？

其他型别系统的开环Nyquist

那就先根据起点和终点勾勒出一个形状，再实部虚部分开计算与座标轴的交点，描绘曲线。

对数频率特性 Bode

Nyquist图计算比较繁琐，而且无法直观看出每个零点和极点的影响。而Bode图更加方便因此工程实际中使用更多。
Bode图由对数幅频曲线和对数相频曲线两部分组成。

半对数座标系

Bode图是画在半对数座标系里面的。
横轴：频率$\omega$，但按照频率的对数$\lg \omega$标定
纵轴1：对数幅值（Logarithm magnitude，简称Lm）
$LmG(j\omega )=20\lg |G(j\omega )|$，线性标定
纵轴2：相角，线性标定

两个纵轴都很好理解，一个是对幅值取对数×20，一个就是相角本身，也都是线性标度。
而对于横轴，由于划分刻度是按照对数，因此疏密不一。这里一定要注意：横座标上的某个点，直接读出其座标值，是频率，而不是频率对数
对数分度，有"等距等比"的性质，也就是当变量增大或减小10倍（记为dec，称为十倍频或者旬距）时，座标间的距离变化一个单位长度。

典型环节的对数频率特性曲线

part1：比例 微分 积分 惯性 一阶复合微分环节

惯性环节和一阶复合微分环节的特征是$\pm 20dB/dec$

注意：

这里的$L(\omega )$曲线都是画的直线，是经过了近似处理，为研究方便的。
$\phi (\omega )$曲线全部都是中心对称的，这里只证明了一个。画的时候可以根据对称性更轻松画出。

震荡 二阶复合微分 延迟环节

震荡环节和二阶复合微分环节的特征是$\pm 40dB/dec$

例题与其他概念

例题由图像倒求传递函数

概念有这么几个，了解即可。

转折频率

对数幅值频率特性拐弯的点
对于惯性、一阶复合微分：$\frac{1}{T}$
对于震荡、二阶复合微分：${\omega }_n$
之前都是画的近似曲线，变成折线，但实际上在转折频率处$L(\omega )$已经有改变了。以惯性环节为例，在转折频率处有-3dB的衰减

截止频率

对数幅值频率特性为0的点，也就是$|G(j{\omega }_c)|=1$

开环对数频率特性

在这里可以发现，绘制开环对数频率特性的时候，无论是对数幅值还是相角，都符合线性定理，可以根据多个典型环节叠加而来。

绘制开环Bode图的步骤

1. 将开环传递函数化为尾1标准型
2. 列出每一个环节的转折频率
3. 确定基准线（最小的转折频率左边的情况）
   基准线过点（$\omega =1,L(1)=20\lg K$）
   斜率$-20vdB/dec$，v为系统型别
4. 叠加做图：
   惯性、一阶复合微分$\mp 20dB/dec$
   震荡、二阶复合微分$\mp 40dB/dec$
5. 修正：
   两惯性环节转折频率很接近时$\to$用圆弧修正
   震荡环节$\xi <0.38或\xi >0.8时\to$用曲线表示
6. 检查：
   $L(\omega )$最右端斜率为$-20(n-m)dB/dec$
   转折点个数=惯性、一阶复合微分、震荡、二阶复合微分环节个数和
   $\phi (\omega )\to -90°(n-m)$

关于相角频率特性，这里只是大致勾勒一下。开环的相角频率特性同样是多个典型环节特性的叠加。
实在严谨的做图中，需要使用圆规测距描点，再连接成曲线。但因为工程实践不太看这个曲线，所以多做题根据手感勾一条一般问题不大。

紧接着借这道例题讲一下Nyquist图和Bode图的对应关系：

先看幅值，Bode图的一个幅值，对应Nyquist图上的一个圆，根据圆与曲线的交点就可以找出两图中对应的点。
再看相角，Bode图的一个相角，对应Nyquist图上的一条射线，同理可以找出两图对应的点。

例题：从对数频率特性反求传递函数

通过转折点、斜率可以知道系统的构型。本题全是直线，$\xi$是不可求的，因此要求的参数只有一个K。
除了这种方法，这道题还有很多别的方法

这里绿色框的近似处理，跟前面讲典型环节时的近似处理是一样的意思，如果代入$\omega$后s项大于1，把1舍去；反之，把s项舍去。

最后在这里拓展一下：

首先是基准线的函数关系式：
$L(\omega )=20lg|\frac{K}{{\omega }^v}|$
由此可以得出，已知基准线与横轴交点座标${\omega }_0$时：
$K={\omega }_0^v，{\omega }_o=K^{\frac{1}{v}}$

非最小相角系统

先来看一道例题：
之前在没有给出相频特性的情况下，默认所有环节都是稳定的。但是如果给出了相频特性，就需要根据这条曲线来确定具体哪些环节稳定而哪些环节不稳定了。

「这里是用了代数的方法去计算相角，做题的时候也可以画零点极点分布图来帮助确定相角。」

在这里就涉及到了非最小相角系统：
在右半S平面存在开环零、极点，或带有纯延时环节的系统称为非最小相角系统。

如果更加直观的解释，就是系统的各个环节中，含有某一个或几个不稳定环节或者纯延时环节。
也就是前面那个例题，在+ -，- +，- -的情况下，都属于非最小相角系统。

之所以叫做非最小相角系统，是因为相比最小相角系统，非最小相角系统相角变化的绝对值一般更大

但值得注意的是：非最小相角系统未必不稳定

对数幅相特性 Nichols

使用得比较少，只简单介绍一下。
相当于把Bode图的幅值、相角两条曲线合为一条。以相角$\phi (\omega )$为横座标，对数幅值$L(\omega )$为纵座标，根据频率$\omega$变化，描绘出对应的点形成的曲线。