一、简介

  XGBoost(eXtreme Gradient Boosting)又叫极度梯度提升树，是boosting算法的一种实现方式。针对分类或回归问题，效果非常好。在各种数据竞赛中大放异彩，而且在工业界也是应用广泛，主要是因为其效果优异，使用简单，速度快等优点。本文主要从以下几个方面介绍该算法模型：

二、基本原理

  xgb是boosting算法的一种实现方式，主要是降低偏差，也就是降低模型的误差。因此它是采用多个基学习器，每个基学习器都比较简单，避免过拟合，下一个学习器是学习前面基学习器的结果$y_i^t$和实际值$y_i$的差值，通过多个学习器的学习，不断降低模型值和实际值的差。
$$y_i^0=0$$
$$y_i^1=f_1(x_i)=y_i^0+f_1(x_i)$$
$$$y_i^2=f_1(x_i)+f_2(x_i)=y_i^1+f_2(x_i)$$
$$y_i^t=\sum _{k=1}^t{f}_k(x_i)=y_i^{t-1}+f_t(x_i)$$
基本思路就是不断生成新的树，每棵树都是基于上一颗树和目标值的差值来进行学习，从而降低模型的偏差。最终模型结果的输出如下：$y_i={\sum }_{k=1}^t{f}_k(x_i)$，即所有树的结果累加起来才是模型对一个样本的预测值。那在每一步如何选择/生成一个较优的树呢？那就是由我们的目标函数来决定。

三、目标函数

  目标函数由两部分组成，一是模型误差，即样本真实值和预测值之间的差值，二是模型的结构误差，即正则项，用于限制模型的复杂度。
$$Obj(\theta )=L(\theta )+\Omega (\theta )=L(y_i,y_i^t)+\sum _{k=1}^t\Omega (f_k(x_i))$$
因为$y_i^t=y_i^{t-1}+f_t(x_i)$，所以将其带入上面的公式中转换为：
$Ob{j}^t={\sum }_{n=1}^{n}L(y_i,y_i^{t-1}+f_t(x_i))+\Omega (f_t)+{\sum }_{t=1}^{T-1}\Omega (f_t)$，第t颗树的误差由三部分组成，n个样本在第t颗树的误差求和，以及第t颗树的结构误差和前t-1颗树的结构误差。其中前t-1颗树的结构误差是常数，因为我们已经知道前t-1颗树的结构了。
  假设我们的损失函数是平方损失函数(mse)，则上述目标函数转换为：
$$\begin{gathered} Ob{j}^t=\sum _{i=1}^{n}L(y_i,y_i^{t-1}+f_t(x_i))+\Omega (f_t)+\sum _{t=1}^{T-1}\Omega (f_t) \\ =\sum _{i=1}^n(y_i-(y_i^{t-1}+f_t(x_i)){)}^2+\Omega (f_t)+constant \end{gathered}$$
上述公式即为损失函数为mse时xgb第t步的目标函数。唯一的变量即为$f_t$，此处的损失函数仍然是一个相对复杂的表达式，所以为了简化它，采用二阶泰勒展开来近似表达，即$$f(x+\Delta x)=f(x)+f^{{}^{\prime }}(x)\Delta x+1/2f^{{}^{\prime \prime }}(x)\Delta x^2$$，所以另$g_i={\partial }_{y_i^{t-1}}l(y_i,y_i^{t-1})$，$h_i={\partial }_{y_i^{t-1}}^{2}l(y_i,y_i^{t-1})$，即分别是$l(y_i,y_i^{t-1})$的一阶导和二阶导。则上述损失函数转换为二阶导之后，$$Ob{j}^t=\sum _{i=1}^n[l(y_i,y_i^{t-1})+g_i{f}_t(x_{})+1/2h_i{f}_t^2(x)]+\Omega (f_t)+constant$$，
  所以当损失函数是mse时，$g_i=2(y_i^{t-1}-y_i)$，$h_i=2$。
  经过转换之后，其中第一项是所有样本与第t-1颗树的误差之和，因为第t-1颗树是已知的，所以可以将其视为常数项，我们暂时在目标函数中将其舍去，我们的目标函数变为关于$f_t(x)$的函数了。而$f_t(x)$则是关于叶子节点输出$w$的函数，所以我们的目标函数全部转换为关于$w$的函数，$$\begin{gathered} Ob{j}^t=\sum _{i=1}^n[g_i{f}_t(x_{})+1/2h_i{f}_t^2(x)]+\Omega (f_t)+constant \\ =\sum _{i=1}^n[g_i{w}_q(x_i)+1/2h_i{w}_q^2(x_i)]+\gamma T+1/2\lambda \sum _{j=1}^T{w}_j^2 \\ =\sum _{j=1}^T[\sum _{i\in I_j}(g_i)\ast w_j+1/2\ast \sum _{i\in I_j}(h_i+\lambda )w_j^2]+\gamma T \end{gathered}$$。我们令$G_j={\sum }_{i\in I_j}(g_i)$，令$H_j=\sum i\in I_j(h_i)$，则我们的目标函数转换为$$Ob{j}^t=\sum _{j=1}^T{G}_j\ast w_j+1/2(H_j+\lambda )\ast w_j^2+\lambda T$$。在上述表达式中，$j表示第j个节点$，$i表示第i个样本$。所以整个目标函数转换成了关于$w$即叶节点分数的一元二次函数，想要优化目标函数，就是求解最优的w，因此我们对目标求导，得到$$w^{\ast }=-G_i/(H_i+\lambda )$$，将$w^{\ast }$代入目标函数中，则目标函数变为$$Ob{j}^t=-1/2\sum _{j=1}^T{G}_j^2/(H_j+\lambda )+\lambda T$$。如此简单，所以在求解二叉树的目标函数时，只要知道损失函数的一阶导、二阶导，以及样本落在哪个叶子节点上，我们只要求出在每个叶子节点上，该样本的一阶导和二阶导就能求出目标函数。也就能决定是否分裂该节点，依据哪个节点的特征值来进行分裂。

三、节点分裂

   xgb节点是否分裂取决于信息增益的变化，若分裂当前节点，信息增益>0，则进行分裂，若不大于0则不分裂，如何判断分列前后信息增益的变化呢。那就可以使用我们的目标函数来表示了。
$$Gain=G_L^2/(H_L+\lambda )+G_R^2/(H_R+\lambda )-(G_L+G_R{)}^2/(H_L+H_R+\lambda )+\gamma$$
  节点分裂有两种方式：1、贪心算法，2、近似算法

3.1 贪心算法

  贪心算法分裂的方式就是一种暴力搜索的方式，遍历每一个特征，遍历该特征的每一个取值，计算分裂前后的增益，选择增益最大的特征取值作为分裂点。

分裂流程如上图所示。

3.2 近似算法

   近似算法，其实就是分桶，目的是为了提升计算速度，降低遍历的次数，所以对特征进行分桶。就是将每一个特征的取值按照分位数划分到不同的桶中，利用桶的边界值作为分裂节点的候选集，每次遍历时不再是遍历所有特征取值，而是仅遍历该特征的几个桶（每个桶可以理解为该特征取值的分位数）就可以，这样可以降低遍历特征取值的次数。
  分桶算法分为global模式和local模式，global模式就是在第一次划分桶之后，不再更新桶，一直使用划分完成的桶进行后续的分裂。这样做就是计算复杂度降低，但是经过多次划分之后，可能会存在一些桶是空的，即该桶中已经没有了数据。
  local模式就是在每次分列前都重新划分桶，优点是每次分桶都能保证各桶中的样本数量都是均匀的，不足的地方就是计算量大。

四、其它特点

4.1 缺失值处理

   对于存在某一维特征缺失的样本，xgb会尝试将其放到左子树计算一次增益，再放到右子树计算一次增益，对比放在左右子树增益的大小决定放在哪个子树。

4.2 防止过拟合

   xgb提出了两种防止过拟合的方法：第一种称为Shrinkage，即学习率，在每次迭代一棵树的时候对每个叶子结点的权重乘上一个缩减系数，使每棵树的影响不会过大，并且给后面的树留下更大的空间优化。另一个方法称为Column Subsampling，类似于随机森林选区部分特征值进行建树，其中又分为两个方式:方式一按层随机采样，在对同一层结点分裂前，随机选取部分特征值进行遍历，计算信息增益；方式二在建一棵树前随机采样部分特征值，然后这棵树的所有结点分裂都遍历这些特征值，计算信息增益。

五、总结

  以上是对xgb的一些理解，大多是观看了很多大神的博客，通过不断的看别人总结的部分以及公式的推导，才让我逐渐理解xgb的各种特征。本文还是有很多不足的地方，后续逐渐补充，完善。