1 定义

决定系数（coefficient of determination），也称为拟合优度（goodness of fit）。

决定系数反应了因变量 $y$ 的波动有多少百分比能被 $x$ 的波动所描述，即表征因变量 $y$ 的变异中有多少百分比可由自变量 $x$ 来解释。

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2 如果用不同的线型拟合散点，则$R^2$是会随着变化的，因此要深刻理解公式

【提前提示】

1. 拟合优度数值越大，说明自变量对因变量的解释程度越高，自变量引起的变动占总变动的百分比高。散点在 回归直线（注意这里并不一定是1:1线） 附近越聚集，一般认为 $R^2$ > 0.8 时，拟合效果较好！
2. 对于上述回归直线，其可以是通过线性拟合得到的直线或曲线，也可以是自己指定的某一条线（如1:1线）。因此，如果是对线性拟合得到的直线求$R^2$, 则表明该回归直线对散点的拟合程度。
3. 如果是对1:1线进行求$R^2$，可以反映观测值和模拟值的接近程度（这有些类似于相关系数CC的特性）。

2.1 求$R^2$的通用公示（网上搞的太乱了，满天飞）

3 Matlab 实现（以线性拟合为例）

% 创建样本
x = 1:100';
data = x + 50*rand(1, 100);

% 拟合线性回归模型,
mdl = fitlm(x, data)

mdl = 

Linear regression model:
    y ~ 1 + x1

Estimated Coefficients:
                   Estimate       SE       tStat       pValue  
                   ________    ________    ______    __________

    (Intercept)    24.751        2.8809    8.5912    1.3673e-13
    x1             1.0266      0.049528    20.727     1.334e-37


Number of observations: 100, Error degrees of freedom: 98
Root Mean Squared Error: 14.3
R-squared: 0.814,  Adjusted R-Squared 0.812
F-statistic vs. constant model: 430, p-value = 1.33e-37
>> mdl.Rsquared.Ordinary
ans =

    0.8143

【注意】上面通过Matlab自带的线性拟合工具，可以得到一阶线性或者高阶非线性的拟合曲线，和该线的对于样本的拟合优度。通过查看 mdl 对象的属性可以找到 $R^2$ = 0.8143, 注意，这里计算的是对最优回归线的，并不是1:1线的！，不信化，你看下面。

通过使用polyfit 函数可以对线性拟合直线进行检验，如下：

>> P = polyfit(x, data, 1);
>> P

P =

    1.0266   24.7510

这两个参数就是ax+b的a和b，和上面计算的结果Estimate一致！

致谢知乎 “十一” 提供灵感
https://zhuanlan.zhihu.com/p/108464743