题目：有关小波的几个术语及常见的小波基介绍

        本篇是这段时间学习小波变换的一个收尾，了解一下常见的小波函数，混个脸熟，知道一下常见的几个术语，有个印象即可，这里就当是先作一个备忘录，以后若有需要再深入研究。

一、小波基选择标准

        小波变换不同于傅里叶变换，根据小波母函数的不同，小波变换的结果也不尽相同。现实中到底选择使用哪一种小波的标准一般有以下几点：

1、支撑长度

        小波函数Ψ(t)、Ψ(ω)、尺度函数φ(t)和φ(ω)的支撑区间，是当时间或频率趋向于无穷大时，Ψ(t)、Ψ(ω)、φ(t)和φ(ω)从一个有限值收敛到0的长度。支撑长度越长，一般需要耗费更多的计算时间，且产生更多高幅值的小波系数。大部分应用选择支撑长度为5~9之间的小波，因为支撑长度太长会产生边界问题，支撑长度太短消失矩太低，不利于信号能量的集中。

        这里常常见到“紧支撑”的概念，通俗来讲，对于函数f(x)，如果自变量x在0附近的取值范围内，f(x)能取到值；而在此之外，f(x)取值为0，那么这个函数f(x)就是紧支撑函数，而这个0附近的取值范围就叫做紧支撑集。总结为一句话就是“除在一个很小的区域外，函数为零，即函数有速降性”。

2、对称性

        具有对称性的小波，在图像处理中可以很有效地避免相位畸变，因为该小波对应的滤波器具有线性相位的特点。

3、消失矩

        在实际中，对基本小波往往不仅要求满足容许条件，对还要施加所谓的消失矩（Vanishing Moments）条件，使尽量多的小波系数为零或者产生尽量少的非零小波系数，这样有利于数据压缩和消除噪声。消失矩越大，就使更多的小波系数为零。但在一般情况下，消失矩越高，支撑长度也越长。所以在支撑长度和消失矩上，我们必须要折衷处理。

        小波的消失矩的定义为，若

其中，Ψ(t)为基本小波，0<=p<N。则称小波函数具有N阶消失矩。从上式还可以得出，同任意n-1阶多项式正交。在频域内表示就是Ψ(ω)在ω=0处有高阶零点（一阶零点就是容许条件）。

4、正则性

        在量化或者舍入小波系数时，为了减小重构误差对人眼的影响，我们必须尽量增大小波的光滑性或者连续可微性。因为人眼对“不规则”(irregular)误差比“平滑”误差更加敏感。换句话说，我们需要强加“正则性”(regularity)条件。也就是说正则性好的小波，能在信号或图像的重构中获得较好的平滑效果，减小量化或舍入误差的视觉影响。但在一般情况下，正则性好，支撑长度就长，计算时间也就越大。因此正则性和支撑长度上，我们也要有所权衡。

        消失矩和正则性之间有很大关系，对很多重要的小波（比如，样条小波，Daubechies小波等）来说，随着消失矩的增加，小波的正则性变大，但是，并不能说随着小波消失矩的增加，小波的正则性一定增加，有的反而变小。

5、相似性

        选择和信号波形相似的小波，这对于压缩和消噪是有参考价值的。

二、常见的小波基

        以下列出的15种小波基是Matlab中支持的15种。

小波函数	Haar	Daubechies	Biorthogonal	Coiflets	Symlets	Morlet	Mexican Hat	Meyer
小波缩写名	haar	db	bior	coif	sym	morl	mexh	meyr
表示形式	haar	db N	biorNr.Nd	coif N	sym N	morl	mexh	meyr
举例	haar	db3	bior2.4	coif3	sym2	morl	mexh	meyr
正交性	有	有	无	有	有	无	无	有
双正交性	有	有	有	有	有	无	无	有
紧支撑性	有	有	有	有	有	无	无	无
连续小波变换	可以	可以	可以	可以	可以	可以	可以	可以
离散小波变换	可以	可以	可以	可以	可以	不可以	不可以	可以 但无FWT
支撑长度	1	2N-1	重构:2Nr+1 分解:2Nd+1	6N-1	2N-1	有限长度	有限长度	有限长度
滤波器长度	2	2N	Max(2Nr, 2Nd)+2	6N	2N	[-4, 4]	[-5, 5]	[-8, 8]
对称性	对称	近似对称	不对称	近似对称	近似对称	对称	对称	对称
小波函数 消失矩阶数	1	N	Nr-1	2N	N	-	-	-
尺度函数 消失矩阶数	-	-		2N-1	-	-	-	-

 

小波函数	Gaus	Dmeyer	ReverseBior	Cgau	Cmor	Fbsp	Shan
小波缩写名	gaus	dmey	rbioNr.Nd	cgau	cmor	fbsp	shan
表示形式	gaus N	dmey	rbioNr.Nd	cgau N	cmor	fbsp	shan
举例	gaus3	dmey	rbio2.4	cgau3	cmor	fbsp	shan
紧支撑正交性	无	无	无	无	无	无	无
紧支撑双正交性	无	无	有	无	无	无	无
连续小波变换	可以	不可以	可以	不可以	不可以	不可以	不可以
离散小波变换	不可以	可以	可以	不可以	不可以	不可以	不可以
对称性	对称	对称	对称	对称	对称	对称	对称
小波函数 消失矩阶数	-	-	-	-	-	-	-
尺度函数 消失矩阶数	-	-	Nr-1	-	-	-	-	-

 

1、Haar小波

        Haar，一般音译为“哈尔”。

        Haar函数是小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，也是最简单的一个小波函数，它是支撑域在t∈[0,1]范围内的单个矩形波。

        Haar小波在时域上是不连续的，所以作为基本小波性能不是特别好。

        在Matlab中输入命令waveinfo('haar')可得到如下信息：

    General characteristics: Compactlysupported

    wavelet, the oldest and the simplestwavelet.

   

    scaling function phi = 1 on [0 1] and 0otherwise.

    wavelet function psi = 1 on [0 0.5], = -1on [0.5 1] and 0 otherwise.

 

    Family                  Haar

    Short name              haar

    Examples                haar is the same as db1

    Orthogonal              yes

    Biorthogonal            yes

    Compact support         yes

    DWT                     possible

    CWT                     possible

 

    Support width           1

    Filters length          2

    Regularity              haar is not continuous

    Symmetry                yes

    Number of vanishing

    moments for psi         1

2、Daubechies(dbN)小波(紧支集正交小波)

        Daubechies，一般音译为“多贝西”。

        Daubechies小波是由世界著明的小波分析学者Ingrid Daubechies(一般音译为英格丽·多贝西)构造的小波函数，我们一般简写成dbN，N是小波的阶数。小波函数Ψ(t)和尺度函数φ(t)中的支撑区为2N-1，Ψ(t)的消失矩为N。dbN小波具有较好的正则性，即该小波作为稀疏基所引入的光滑误差不容易被察觉，使得信号重构过程比较光滑。dbN小波的特点是随着阶次（序列N）的增大消失矩阶数越大，其中消失矩越高光滑性就越好，频域的局部化能力就越强，频带的划分效果越好，但是会使时域紧支撑性减弱，同时计算量大大增加，实时性变差。另外，除N=1外，dbN小波不具有对称性（即非线性相位），即在对信号进行分析和重构时会产生一定的相位失真。dbN没有明确的表达式（除了N=1外，N=1时即为Haar小波）。

        在Matlab中输入命令waveinfo('db')可得到如下信息：

    General characteristics: Compactlysupported

    wavelets with extremal phase and highest

    number of vanishing moments for a given

    support width. Associated scaling filtersare

    minimum-phase filters.

 

    Family                  Daubechies

    Short name              db

    Order N                 N strictly positive integer

    Examples                db1 or haar, db4, db15

 

    Orthogonal              yes

    Biorthogonal            yes

    Compact support         yes

    DWT                     possible

    CWT                     possible

 

    Support width           2N-1

    Filters length          2N

    Regularity              about 0.2 N for large N

    Symmetry                far from

    Number of vanishing

    moments for psi         N

3、Symlet(symN)小波(近似对称的紧支集正交小波)

        Symlet小波函数是IngridDaubechies提出的近似对称的小波函数，它是对db函数的一种改进。Symlet小波系通常表示为symN (N=2,3,…,8)。symN小波的支撑范围为2N-1，消失矩为N，同时也具备较好的正则性。该小波与dbN小波相比，在连续性、支集长度、滤波器长度等方面与dbN小波一致，但symN小波具有更好的对称性，即一定程度上能够减少对信号进行分析和重构时的相位失真。

        在Matlab中输入命令waveinfo('sym')可得到如下信息：

    General characteristics: Compactlysupported wavelets with

    least asymmetry and highest number ofvanishing moments

    for a given support width.

    Associated scaling filters are nearlinear-phase filters.

 

    Family                  Symlets

    Short name              sym

    Order N                 N = 2, 3, ...

    Examples                sym2, sym8

 

    Orthogonal              yes

    Biorthogonal            yes

    Compact support         yes

    DWT                     possible

    CWT                     possible

 

    Support width           2N-1

    Filters length          2N

    Regularity             

    Symmetry                near from

    Number of vanishing

    moments for psi         N

4、Coiflet(coifN)小波

        根据R.Coifman的要求，Daubechies构造了Coiflet小波，它具有coifN (N=1,2,3,4,5)这一系列。Coiflet的小波函数Ψ(t)的2N阶矩为零，尺度函数φ(t)的2N-1阶矩为零。Ψ(t)和φ(t)的支撑长度为6N-1。Coiflet的Ψ(t)和φ(t)具有比dbN更好的对称性。

        在Matlab中输入命令waveinfo('coif')可得到如下信息：

    General characteristics: Compactlysupported

    wavelets with highest number of vanishing

    moments for both phi and psi for a given

    support width.

 

    Family                  Coiflets

    Short name              coif

    Order N                 N = 1, 2, ..., 5

    Examples                coif2, coif4

 

    Orthogonal              yes

    Biorthogonal            yes

    Compact support         yes

    DWT                     possible

    CWT                     possible

 

    Support width           6N-1

    Filters length          6N

    Regularity             

    Symmetry                near from

    Number of vanishing

    moments for psi         2N

    Number of vanishing

    moments for phi         2N-1

5、Biorthogonal(biorNr.Nd)小波

        为了解决对称性和精确信号重构的不相容性，引入了双正交小波，称为对偶的两个小波分别用于信号的分解和重构。双正交小波解决了线性相位和正交性要求的矛盾。由于它有线性相位特性，所以主要应用在信号与图像的重构中。通常的用法是采用一个函数进行分解，用另外一个小波函娄进行重构。

        双正交小波与正交小波的区别在于正交小波满足<Ψ_j,k ,Ψ_l,m>=δ_j,kδ_l,m，也就是对小波函数的伸缩和平移构成的基函数完全正交，而双正交小波满足的正交性为<Ψ_j,k ,Ψ_l,m>=δ_j,k，也就是对不同尺度伸缩下的小波函数之间有正交性，而同尺度之间通过平移得到的小波函数系之间没有正交性，所以用于分解与重构的小波不是同一个函数，相应的滤波器也不能由同一个小波生成。

        该小波虽然不是正交小波，但却是双正交小波，具备正则性，同时也是紧支撑的，其重构支撑范围为2Nr+1，分解支撑范围为2Nd+1。biorNr.Nd小波的主要特征表现在具有线性相位特性。一般来说为了获得线性相位，需要降低对于正交性的局限，为此该双正交小波降低了对于正交性的要求，保留了正交小波的一部分正交性，使小波攻得了线性相位和较短支集的特性。

        在Matlab中输入命令waveinfo('bior')可得到如下信息：

   General characteristics: Compactly supported

   biorthogonal spline wavelets for which

   symmetry and exact reconstruction are possible

    withFIR filters (in orthogonal case it is

   impossible except for Haar).

 

   Family                 Biorthogonal

    Shortname              bior

    OrderNr,Nd             Nr = 1 , Nd = 1, 3, 5

    r forreconstruction    Nr = 2 , Nd = 2, 4, 6,8

    d fordecomposition     Nr = 3 , Nd = 1, 3, 5,7, 9

                            Nr = 4 , Nd = 4

                            Nr = 5 , Nd = 5

                            Nr = 6 , Nd = 8

 

   Examples                bior3.1,bior5.5

 

   Orthogonal              no

   Biorthogonal            yes

   Compact support         yes

   DWT                     possible

   CWT                     possible

 

   Support width           2Nr+1 forrec., 2Nd+1 for dec.

   Filters length         max(2Nr,2Nd)+2 but essentially

    biorNr.Nd              ld                      lr     

                     effective length        effective length

                         of Lo_D                 of Hi_D

 

    bior1.1                 2                       2      

    bior1.3                 6                       2

    bior1.5                10                       2             

    bior2.2                 5                       3             

    bior2.4                 9                       3     

    bior2.6                13                       3             

    bior2.8                17                       3             

    bior3.1                 4                       4              

    bior3.3                 8                       4             

    bior3.5                12                       4

    bior3.7                16                       4

    bior3.9                20                       4

    bior 4.4                 9                       7

    bior5.5                 9                      11

    bior6.8                17                      11

 

   Regularity for         

    psirec.                Nr-1 and Nr-2 at theknots

   Symmetry                yes 

    Numberof vanishing

   moments for psi dec.    Nr

 

   Remark: bior 4.4 , 5.5 and 6.8 are such that reconstruction and

   decomposition functions and filters are close in value.

6、ReverseBior小波

        由Biorthogonal而来，因此两者形式很类似。

        在Matlab中输入命令waveinfo('bior')可得到如下信息：

   General characteristics: Compactly supported

   biorthogonal spline wavelets for which

   symmetry and exact reconstruction are possible

    withFIR filters (in orthogonal case it is

   impossible except for Haar).

 

   Family                 Biorthogonal

    Shortname              rbio

    OrderNd,Nr             Nd = 1 , Nr = 1, 3, 5

    r forreconstruction    Nd = 2 , Nr = 2, 4, 6,8

    d fordecomposition     Nd = 3 , Nr = 1, 3, 5,7, 9

                            Nd = 4 , Nr = 4

                            Nd = 5 , Nr = 5

                            Nd = 6 , Nr = 8

 

   Examples                rbio3.1,rbio5.5

 

   Orthogonal              no

   Biorthogonal            yes

   Compact support         yes

   DWT                     possible

    CWT                     possible

 

   Support width           2Nd+1 forrec., 2Nr+1 for dec.

   Filters length         max(2Nd,2Nr)+2 but essentially

    rbioNd.Nr              lr                      ld

                      effective length        effective length

                        of Hi_D                  of Lo_D

 

    rbio1.1                 2                       2

    rbio1.3                 6                       2

    rbio1.5                10                       2

    rbio2.2                 5                       3

    rbio2.4                 9                       3

    rbio2.6                13                       3

    rbio2.8                17                       3

    rbio3.1                 4                       4

    rbio3.3                 8                       4

    rbio3.5                12                       4

    rbio3.7                16                       4

    rbio3.9                20                       4

    rbio4.4                 9                       7

    rbio5.5                 9                      11

    rbio6.8                17                      11

 

   Regularity for         

    psirec.                Nd-1 and Nd-2 at theknots

   Symmetry                yes 

    Numberof vanishing

   moments for psi dec.    Nd

 

   Remark: rbio 4.4 , 5.5 and 6.8 are such that reconstruction and

   decomposition functions and filters are close in value. 

7、Meyer小波

        Meyer小波的小波函数和尺度函数都是在频率域中进行定义的，它不是紧支撑的，但它的收敛速度很快。

        在Matlab中输入命令waveinfo('meyr')可得到如下信息：

   General characteristics: Infinitely regular orthogonal wavelet.

 

    Family                  Meyer

    Shortname              meyr

 

   Orthogonal              yes

   Biorthogonal            yes

   Compact support         no

   DWT                     possiblebut without FWT

                        FIR based approximation provides FWT

   CWT                     possible

 

   Support width           infinite

   Effective support       [-8 8]

   Regularity             indefinitely derivable

   Symmetry                yes

8、Dmeyer小波

        Dmeyer即离散的Meyer小波，它是Meyer小波基于FIR的近似，用于快速离散小波变换的计算。

        在Matlab中输入命令waveinfo('dmey')可得到如下信息：

    Definition: FIR based approximation of theMeyer Wavelet.

 

    Family                  DMeyer

    Short name              dmey

 

    Orthogonal              yes

    Biorthogonal            yes

    Compact support         yes

    DWT                     possible

    CWT                     possible

9、Gaussian小波

        Gaussian小波是高斯密度函数的微分形式，它是一种非正交与非双正交的小波，没有尺度函数。

        在Matlab中输入命令waveinfo('gaus')可得到如下信息：

    Definition: derivatives of the Gaussian

    probability density function.

 

    gaus(x,n) = Cn * diff(exp(-x^2),n) wherediff denotes

    the symbolic derivative and where Cn issuch that

    the 2-norm of gaus(x,n) = 1.

 

    Family                  Gaussian

    Short name              gaus

 

    Wavelet name            gaus"n"

 

    Orthogonal              no

    Biorthogonal            no

    Compact support         no

    DWT                    no

    CWT                     possible

 

    Support width           infinite

    Effective support       [-5 5]

    Symmetry                yes

                        n even ==> Symmetry

                        n odd  ==> Anti-Symmetry

10、MexicanHat(mexh)小波

        Mexican Hat函数为Gauss函数的二阶导数。因数它的形状像墨西哥帽的截面，所以我们称这个函数为墨西哥草帽函数。它在时域和频率都有很好的局部化，但不存在尺度函数，所以此小波函数不具有正交性。

        在Matlab中输入命令waveinfo('mexh')可得到如下信息：

    Definition: second derivative of theGaussian

    probability density function

 

    mexh(x) = c * exp(-x^2/2) * (1-x^2)

    where c = 2/(sqrt(3)*pi^{1/4})

 

    Family                  Mexican hat

    Short name              mexh

 

    Orthogonal             no

    Biorthogonal            no

    Compact support         no

    DWT                     no

    CWT                     possible

 

    Support width           infinite

    Effective support       [-5 5]

    Symmetry                yes

11、Morlet小波

        Morlet小波是高斯包络下的单频率正弦函数，没有尺度函数，是非正交分解。

        在Matlab中输入命令waveinfo('morl')可得到如下信息：

    Definition:

    morl(x) = exp(-x^2/2) * cos(5x)

 

    Family                  Morlet

    Short name              morl

 

    Orthogonal              no

    Biorthogonal            no

    Compact support         no

    DWT                     no

    CWT                     possible

 

    Support width           infinite

    Effective support       [-4 4]

    Symmetry                yes

12、ComplexGaussian小波

        属于一类复小波，没有尺度函数。

        在Matlab中输入命令waveinfo('cgau')可得到如下信息：

    Definition: derivatives of the complexGaussian

    function

 

    cgau(x) = Cn * diff(exp(-i*x)*exp(-x^2),n)where diff denotes

    the symbolic derivative and where Cn is aconstant

 

    Family                  Complex Gaussian

    Short name              cgau

 

    Wavelet name            cgau"n"

 

    Orthogonal              no

    Biorthogonal            no

    Compact support         no

    DWT                     no

    Complex CWT             possible

 

    Support width           infinite

    Symmetry                yes

                        n even ==> Symmetry

                        n odd  ==> Anti-Symmetry

13、ComplexShannon Wavelets：shan

        在Matlab中输入命令waveinfo('shan')可得到如下信息：

    Definition: a complex Shannon wavelet is

            shan(x) =Fb^{0.5}*sinc(Fb*x)*exp(2*i*pi*Fc*x)

    depending on two parameters:

            Fb is a bandwidth parameter

            Fc is a wavelet center frequency

 

    The condition Fc > Fb/2 is sufficient toensure that

    zero is not in the frequency supportinterval.

 

    Family                  Complex Shannon

    Short name              shan

 

    Wavelet name            shan"Fb"-"Fc"

 

    Orthogonal              no

    Biorthogonal            no

    Compact support         no

    DWT                     no

    complex CWT             possible

 

    Support width           infinite

14、ComplexFrequency B-Spline Wavelets (复高斯B样条小波)

        样条函数（splinefunction）指一类分段（片）光滑、并且在各段交接处也有一定光滑性的函数，简称样条。

        在Matlab中输入命令waveinfo('fbsp')可得到如下信息：

    Definition: a complex Frequency B-Splinewavelet is

        fbsp(x) = Fb^{0.5}*(sinc(Fb*x/M))^M*exp(2*i*pi*Fc*x)

    depending on three parameters:

            M is an integer order parameter(>=1)

            Fb is a bandwidth parameter

            Fc is a wavelet center frequency

 

    For M = 1, the condition Fc > Fb/2 issufficient to ensure

    that zero is not in the frequency supportinterval.

 

    Family                  Complex Frequency B-Spline

    Short name              fbsp

 

    Wavelet name           fbsp"M"-"Fb"-"Fc"

 

    Orthogonal              no

    Biorthogonal            no

    Compact support         no

    DWT                     no

    complex CWT             possible

 

    Support width           infinite

15、ComplexMorlet小波

        Morlet小波是一种单频复正弦调制高斯波，也是最常用的复值小波该小波，在时频两域均具有良好的分辨率，将此小波加以改造特别适用于地震资料的分析。

        在Matlab中输入命令waveinfo('cmor')可得到如下信息：

    Definition: a complex Morlet wavelet is

        cmor(x) =(pi*Fb)^{-0.5}*exp(2*i*pi*Fc*x)*exp(-(x^2)/Fb)

    depending on two parameters:

        Fb is a bandwidth parameter

        Fc is a wavelet center frequency

 

    Family                  Complex Morlet

    Short name              cmor

 

    Wavelet name            cmor"Fb"-"Fc"

 

    Orthogonal              no

    Biorthogonal            no

    Compact support         no

    DWT                     no

    complex CWT             possible

 

    Support width           infinite

 

参考文献

【1】葛哲学，沙威.小波分析理分与MATLAB R2007实现[M].北京：电子工业出版社，2007.

【2】魏明果.实用小波分析[M].北京：北京理工大学出版社，2005.

【3】董长虹. Matlab小波分析工具箱原理与应用[M].北京：国防工业出版社，2004.

【4】张颖超，茅丹，胡凯.压缩传感理论在心电图信号恢复问题上的研究[J]. 计算机研究发展，2014，51(5)：1018-1027.

【5】wcrzq，microwest.紧支集是什么意思，求详细解释，谢谢.百度知道

【6】zhaodong584584. 消失矩阶数，百度百科

【7】well3216. 对消失矩的理解(转载自matwav)，CSDN博客

【8】小米. 小波消失矩，新浪博客

【9】muchi1234. 正则性，百度百科

【10】洋务大臣. 样条函数，百度百科

【11】其它网络资源，Thanks!!!