目录

1. 反对称矩阵定义

2. 反对称矩阵性质

3. 向量的反对称矩阵

4. 叉乘 与 点乘

点乘（内积）

叉乘（外积）

参考

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1. 反对称矩阵定义

设A为n维方阵，若有, （A'表示A的转置）则称矩阵A为反对称矩阵。

对于反对称矩阵，它的主对角线上的元素全为0，而位于主对角线两侧对称的元素反号。

2. 反对称矩阵性质

参考1：

参考2： 

3. 向量的反对称矩阵

有的地方a的反对称矩阵 也记作 a^

即 a^ b = a x b (a的反对称矩阵 乘以 b = 向量a 叉乘 向量b)

有的地方也写成  或者 

拓展：

• a^b = -b^a (a的反对称矩阵 乘以 向量b = b的反对称矩阵 乘以 a, 然后取相反数)； 可通过矩阵和向量的乘法法则进行简单验证。
  • 其它意思一致(用 表示一个向量的反对称矩阵)的表示形式：
• R a^ = (Ra)^ R 矩阵R 乘以 向量a的反对称矩阵 = 矩阵R乘以向量a后的反对称矩阵 再乘以 矩阵R

4. 叉乘 与 点乘

点乘（内积）

对应元素相乘相加，比如(列向量) A=(a1, a2, a3)', B=(b1, b2, b3)' 则 A·B = a1b1 + a2b2 + a3b3，结果是一个数值。 点积也叫数量积。结果是一个向量在另一个向量方向上投影的长度，是一个标量。即

 对于上述最后一个等式 A的转置（矩阵1x3） 等于 (a1,a2,a3),  B=(b1, b2, b3)' （矩阵3x1） , 所以 =a1b1 + a2b2 + a3b3 = A·B 。 

应用：当角度为90度时，即点积为0时，两个向量正交。 

叉乘（外积）

叉乘，也叫向量积。结果是一个和已有两个向量都垂直的向量。叉乘结果是一个向量，向量模长是向量A，B组成平行四边形的面积；向量方向是垂直于向量A,B组成的平面 (右手螺旋定则)；

应用：叉乘更多的是判断某个平面的方向。从这个平面上选两个不共线的向量，叉乘的结果就是这个平面的法向量。（自己叉乘自己等于0， 即 A x A = 0）

参考

向量叉积定义的证明

点乘和叉乘的区别是什么？

叉乘与反对称矩阵