在面对工业中的传感器采集到的高维的信号，如振动信号，通常需要对数据进行统计特征提取，以进行降维。对于这类时序信号，常用的有时域、频域和时-频域特征提取方法。本次对这三个方面的特征提取代码进行一下总结，并以IEEE PHM 2012 挑战赛的轴承数据集中的Bearing 1_1 的数据进行示例。

Bearing 1_1的数据维度为(2803, 2560)，即共有2803个样本，每个样本数据的信号长度为2560，具体的数据介绍资料比较多，可以自行百度或看直接看官方的数据介绍。

时域特征提取

时域统计特征可分为有量纲统计量和无量纲统计量，有量纲统计量的数值大小会因外界一些物理量的变化而变化，而无量纲统计量不易受外界因素的干扰影响，且通常对早期的微弱故障敏感。

常用的时域统计特征如下：

特征	公式	特征	公式
最大值	$F_1=\max \left(X\left(i\right)\right)$	标准差	$F_9=\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^N{\left(X\left(i\right)-F_4\right)}^2}{N-1}}$
最大绝对值	$F_2=\max \left(|X\left(i\right)|\right)$	峭度	$F_{10}=\frac{{\sum }_{i=1}^N{\left(X\left(i\right)-F_4\right)}^4}{\left(N-1\right){F_9}^4}$
最小值	$F_3=\min \left(X\left(i\right)\right)$	偏度	$F_{11}=\frac{{\sum }_{i=1}^N{\left(X\left(i\right)-F_4\right)}^3}{\left(N-1\right){F_9}^3}$
均值	$F_4=\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^{N}X\left(i\right)$	裕度指标	$F_{12}=\frac{F_2}{F_8}$
峰峰值	$F_5=F_1-F_3$	波形指标	$F_{13}=\frac{F_7}{F_6}$
绝对平均值	$F_6=\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^N|X\left(i\right)|$	脉冲指标	$F_{14}=\frac{F_2}{F_6}$
均方根值	$F_7=\sqrt{\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^{N}X{\left(i\right)}^2}$	峰值指标	$F_{15}=\frac{F_2}{F_7}$
方根幅值	$F_8=(\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^N\sqrt{|X\left(i\right)|}{)}^2$

在设备运行良好的状态下，最大值或最大绝对值（也可以视为峰值）变化范围不大，基本上稳定在一个阈值以下，但一旦最大值或最大绝对值异常变大，基本上可以认为设备健康状况出现了问题，大到一定程度一定是出现了某种故障隐患；

均值反映了在机械运转过程中，由于轴心位置的变化而产生的振动信号的变化；

均方根值，又称有效值反应了振动信号的能量强度和稳定性。工程人员通常最关心的通常就是这个指标，这个指标如果异常变大，则表示机械设备很有可能存在某种隐患；

峭度反应了振动信号的冲击特性，峭度对于冲击比较敏感，一般情况下峭度值应该在3左右，因为正态分布的峭度等于3，如果偏离3太多则说明机械设备存在一定的冲击性振动，可能存在某种故障隐患；

偏度反映了振动信号的非对称性，通常情况下振动信号是关于x轴对称的，这时候偏度应该趋近于0。如果设备某一个方向的摩擦或碰撞较大就会造成振动的不对称，使偏度变大。

裕度指标常用来检测机械设备的磨损状况；

脉冲指标和峰值指标都是用来检测信号中有无冲击的指标。

import numpy as np
from scipy import stats


def get_time_domain_feature(data):
    """
    提取 15个 时域特征
    
    @param data: shape 为 (m, n) 的 2D array 数据，其中，m 为样本个数， n 为样本（信号）长度
    @return: shape 为 (m, 15)  的 2D array 数据，其中，m 为样本个数。即 每个样本的16个时域特征
    """
    rows, cols = data.shape
    
    # 有量纲统计量
    max_value = np.amax(data, axis=1)  # 最大值
    peak_value = np.amax(abs(data), axis=1)  # 最大绝对值
    min_value = np.amin(data, axis=1)  # 最小值
    mean = np.mean(data, axis=1)  # 均值
    p_p_value = max_value - min_value  # 峰峰值
    abs_mean = np.mean(abs(data), axis=1)  # 绝对平均值
    rms = np.sqrt(np.sum(data**2, axis=1) / cols)  # 均方根值
    square_root_amplitude = (np.sum(np.sqrt(abs(data)), axis=1) / cols) ** 2  # 方根幅值
    # variance = np.var(data, axis=1)  # 方差
    std = np.std(data, axis=1)  # 标准差
    kurtosis = stats.kurtosis(data, axis=1)  # 峭度
    skewness = stats.skew(data, axis=1)  # 偏度
    # mean_amplitude = np.sum(np.abs(data), axis=1) / cols  # 平均幅值 == 绝对平均值
    
    # 无量纲统计量
    clearance_factor = peak_value / square_root_amplitude  # 裕度指标
    shape_factor = rms / abs_mean  # 波形指标
    impulse_factor = peak_value  / abs_mean  # 脉冲指标
    crest_factor = peak_value / rms  # 峰值指标
    # kurtosis_factor = kurtosis / (rms**4)  # 峭度指标
    
    features = [max_value, peak_value, min_value, mean, p_p_value, abs_mean, rms, square_root_amplitude,
                std, kurtosis, skewness,clearance_factor, shape_factor, impulse_factor, crest_factor]
    
    return np.array(features).T

Bearing1_1的时域特征提取示例：

频域特征提取

除了在时域进行特征分析外，我们通常还会再频域对信号进行分析。通过傅里叶变换将时域信号转变为频谱，即可在频域中对信号进行分析。

常用的频域特征有：

特征	公式	特征	公式
重心频率	$F_1=\frac{{\sum }_{k=1}^K{f}_{k}S\left(k\right)}{{\sum }_{k=1}^{K}S\left(k\right)}$	频率均方根	$F_3=\sqrt{\frac{{\sum }_{k=1}^K{f_k}^{2}S\left(k\right)}{{\sum }_{k=1}^{K}S\left(k\right)}}$
平均频率	$F_2=\frac{{\sum }_{k=1}^{K}S\left(k\right)}{K}$	频率方差	$F_4=\frac{{\sum }_{k=1}^K{\left(f_k-F_1\right)}^{2}S\left(k\right)}{{\sum }_{k=1}^{K}S\left(k\right)}$

import numpy as np


def get_frequency_domain_feature(data, sampling_frequency):
    """
    提取 4个 频域特征
    
    @param data: shape 为 (m, n) 的 2D array 数据，其中，m 为样本个数， n 为样本（信号）长度
    @param sampling_frequency: 采样频率
    @return: shape 为 (m, 4)  的 2D array 数据，其中，m 为样本个数。即 每个样本的4个频域特征
    """
    data_fft = np.fft.fft(data, axis=1)
    m, N = data_fft.shape  # 样本个数 和 信号长度
    
    # 傅里叶变换是对称的，只需取前半部分数据，否则由于 频率序列 是 正负对称的，会导致计算 重心频率求和 等时正负抵消
    mag = np.abs(data_fft)[: , : N // 2]  # 信号幅值
    freq = np.fft.fftfreq(N, 1 / sampling_frequency)[: N // 2]
    # mag = np.abs(data_fft)[: , N // 2: ]  # 信号幅值
    # freq = np.fft.fftfreq(N, 1 / sampling_frequency)[N // 2: ]
    
    ps = mag ** 2 / N  # 功率谱
    
    fc = np.sum(freq * ps, axis=1) / np.sum(ps, axis=1)  # 重心频率
    mf = np.mean(ps, axis=1)  # 平均频率
    rmsf = np.sqrt(np.sum(ps * np.square(freq), axis=1) / np.sum(ps, axis=1))  # 均方根频率
    
    freq_tile = np.tile(freq.reshape(1, -1), (m, 1))  # 复制 m 行
    fc_tile = np.tile(fc.reshape(-1, 1), (1, freq_tile.shape[1]))  # 复制 列，与 freq_tile 的列数对应
    vf = np.sum(np.square(freq_tile - fc_tile) * ps, axis=1) / np.sum(ps, axis=1)  # 频率方差
    
    features = [fc, mf, rmsf, vf]
    
    return np.array(features).T

Bearing1_1的频域特征提取示例：

时-频域特征提取

为了全面的分析信号，除了单一的在时域、频域进行信号分析，我们还会综合在时-频域进行信号分析。常用的时-频域信号分析有小波包分析和EMD信号分析等，这里主要使用小波包信号分析。

在小波包的信号分析中，我们通常会以 最后一层 子频带 的 能量百分比 作为所提取到时-频域特征。

import pywt
import numpy as np


def get_wavelet_packet_feature(data, wavelet='db3', mode='symmetric', maxlevel=3):
    """
    提取 小波包特征
    
    @param data: shape 为 (n, ) 的 1D array 数据，其中，n 为样本（信号）长度
    @return: 最后一层 子频带 的 能量百分比
    """
    wp = pywt.WaveletPacket(data, wavelet=wavelet, mode=mode, maxlevel=maxlevel)
    
    nodes = [node.path for node in wp.get_level(maxlevel, 'natural')]  # 获得最后一层的节点路径
    
    e_i_list = []  # 节点能量
    for node in nodes:
        e_i = np.linalg.norm(wp[node].data, ord=None) ** 2  # 求 2范数，再开平方，得到 频段的能量（能量=信号的平方和）
        e_i_list.append(e_i)
    
    # 以 频段 能量 作为特征向量
    # features = e_i_list
        
    # 以 能量百分比 作为特征向量，能量值有时算出来会比较大，因而通过计算能量百分比将其进行缩放至 0~100 之间
    e_total = np.sum(e_i_list)  # 总能量
    features = []
    for e_i in e_i_list:
        features.append(e_i / e_total * 100)  # 能量百分比
    
    return np.array(features)

Bearing1_1的时-频域特征提取示例：

在进行小波包变换时，由于pywt.WaveletPacket函数只能接收一维数据，因此不能直接将二维矩阵传入函数，需要通过循环处理：

# 按照上诉的示例，假设需要处理的数据变量名为 data，其维度为 (2803, 2560)
time_frequency_doamin_frequency = []

# 通过for循环每次提取一个样本的时-频域特征
for i in range(data.shape[0]):
 wavelet_packet_feature = get_wavelet_packet_feature(data[i])
 time_frequency_doamin_frequency.append(wavelet_packet_feature)

time_frequency_doamin_frequency = np.array(time_frequency_doamin_frequency)
time_frequency_doamin_frequency.shape  # (2803, 8)

参考资料

[1]. 机械振动信号中的常用指标 (baidu.com)

[2]. 信号时域分析方法的理解（峰值因子、脉冲因子、裕度因子、峭度因子、波形因子和偏度等） - 知乎 (zhihu.com)

[3]. FFT与频谱、功率谱、能量谱等 - SYAO

[4]. 频域特征指标及其MATLAB代码实现（重心频率、均方频率、均方根频率、频率方差、频率标准差） - 知乎 (zhihu.com)

[5]. 雷亚国. 旋转机械智能故障诊断与剩余寿命预测[M]. 西安: 西安交通大学出版社, 2017.