设\left \{ x_1,x_2,x_3......x_n \right \}，为总体的一个样本，且其样本均值为\overline{X}，样本方差为S^{2}，总体方差为σ²，总体期望为μ。

证明1：为什么样本均值的期望等于总体的期望?

因为对于简单随机抽样的样本：

x_1,x_2,x_3...x_n与总体X是同分布的，所以各样本的期望均为总体期望。

E(\bar{X})=E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(x_i)=\frac{1}{n}\cdot n\cdot E(X)=\mu

证明2：为什么样本均值的方差等于 \frac{ \sigma^2}{ n} ？

D(\bar{X})=D(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i)=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}D(x_i)=\frac{\sigma ^2}{n}

证明3：为什么样本方差的期望等于总体的方差？

S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{X})^2

E(S^2)=E(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{X})^2)=\frac{1}{n-1}E(\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{X})^2)

=\frac{1}{n-1}E[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}+n\bar{X^2}-2(x_1+x_2+\cdots +x_n)\bar{X}]

=\frac{1}{n-1}E(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}-n\bar{X^2})

因为方差的性质可知：\large D(X)=E(X^{2})-E^{2}(X)

则：E(X^{2})=D(X)+E^2(X)=D(X)+E^2(X)=\sigma ^2+\mu ^2

所以：E(S^2)=\frac{1}{n-1}\times [n(\sigma ^2+\mu ^2)-nE(\bar{X^2})]

又因为：E(\bar{X^2})=D(\bar X)+E^2(\bar X)=\frac{\sigma ^2}{n}+\mu ^2

故：E(S^2)=\sigma ^2

 

 

 

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