叉积（向量积、外积）的运算法则及其与点积（数量积、内积）的混合运算
·
设a, b, c为R3上的三个向量，λ, μ为两个标量，×表示两向量之间的叉积，·表示两向量之间的数量积。则：
1. 叉积的定义
a与b的叉积为一向量，记为a×b。记a与b之间的夹角为θ，则它的模与方向分别为：
- 模：
|a×b|=|a||b|sinθ - 方向：垂直于
a与b所构成的平面，且满足右手法则
2. 叉积的代数规则
- 反交换律：
a×b=-b×a。 - 分配律：
a×(b+c)=a×b+a×c。 - 与标量乘法兼容：
(λa)×b=a×(λb)=λ(a×b)。 - 数乘结合律：
(λa)×(μb)=(λμ)(a×b) - 雅可比恒等式：
a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b)=0。 - 分配律，线性性和雅可比恒等式表明：具有向量加法和叉积的R3构成了一个李代数。
- 两个非零向量
a和b平行，当且仅当a×b=0。
3. 拉格朗日公式
(a×b)×c=b(a·c)-a(b·c)a×(b×c)=b(a·c)-c(a·b)
可以使用拉格朗日公式第2条证明代数规则第5条的雅可比恒等式：
a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b)
= b(a·c)-c(a·b)+c(b·a)-a(b·c)+a(c·b)-b(c·a)
= [a(c·b)-a(b·c)]+[b(a·c)-b(c·a)]+[c(b·a)-c(a·b)]
= 0
4. 向量的混合积
(a×b)·c=(b×c)·a=(c×a)·b
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