排序算法时间复杂度、空间复杂度、稳定性比较
排序算法分类
排序大的分类可以分为两种：内排序和外排序。
放在内存的称为内排序，需要使用外存的称为外排序。
排序算法的时间复杂度和空间复杂度
| 排序算法 | 平均时间复杂度 | 最坏时间复杂度 | 最好时间复杂度 | 空间复杂度 | 稳定性 |
| 冒泡排序 | O(n²) | O(n²) | O(n) | O(1) | 稳定 |
| 直接选择排序 | O(n²) | O(n²) | O(n) | O(1) | 不稳定 |
| 直接插入排序 | O(n²) | O(n²) | O(n) | O(1) | 稳定 |
| 快速排序 | O(nlogn) | O(n²) | O(nlogn) | O(nlogn) | 不稳定 |
| 堆排序 | O(nlogn) | O(nlogn) | O(nlogn) | O(1) | 不稳定 |
| 希尔排序 | O(nlogn) | O(ns) | O(n) | O(1) | 不稳定 |
| 归并排序 | O(nlogn) | O(nlogn) | O(nlogn) | O(n) | 稳定 |
| 计数排序 | O(n+k) | O(n+k) | O(n+k) | O(n+k) | 稳定 |
| 基数排序 | O(N*M) | O(N*M) | O(N*M) | O(M) | 稳定 |
注：
1 归并排序可以通过手摇算法将空间复杂度降到O(1)，但是时间复杂度会提高。
2 基数排序时间复杂度为O(N*M)，其中N为数据个数，M为数据位数。
辅助记忆
- 时间复杂度记忆-
- 冒泡、选择、直接 排序需要两个for循环，每次只关注一个元素，平均时间复杂度为O(n²)）（一遍找元素O(n)，一遍找位置O(n)）
- 快速、归并、希尔、堆基于二分思想，log以2为底，平均时间复杂度为O(nlogn)（一遍找元素O(n)，一遍找位置O(logn)）
- 稳定性记忆-“快希选堆”（快牺牲稳定性）
- 排序算法的稳定性：排序前后相同元素的相对位置不变，则称排序算法是稳定的；否则排序算法是不稳定的。
原理理解
1 冒泡排序
1.1 过程
冒泡排序从小到大排序：一开始交换的区间为0~N-1，将第1个数和第2个数进行比较，前面大于后面，交换两个数，否则不交换。再比较第2个数和第三个数，前面大于后面，交换两个数否则不交换。依次进行，最大的数会放在数组最后的位置。然后将范围变为0~N-2，数组第二大的数会放在数组倒数第二的位置。依次进行整个交换过程，最后范围只剩一个数时数组即为有序。
1.2 动图
1.3 核心代码（函数）
//array[]为待排序数组，n为数组长度
void BubbleSort(int array[], int n)
{
int i, j, k;
for(i=0; i<n-1; i++)
for(j=0; j<n-1-i; j++)
{
if(array[j]>array[j+1])
{
k=array[j];
array[j]=array[j+1];
array[j+1]=k;
}
}
}2 直接选择排序
2.1 过程
选择排序从小到大排序：一开始从0~n-1区间上选择一个最小值，将其放在位置0上，然后在1~n-1范围上选取最小值放在位置1上。重复过程直到剩下最后一个元素，数组即为有序。
2.2 动图
2.3 核心代码（函数）
//array[]为待排序数组，n为数组长度
void selectSort(int array[], int n)
{
int i, j ,min ,k;
for( i=0; i<n-1; i++)
{
min=i; //每趟排序最小值先等于第一个数，遍历剩下的数
for( j=i+1; j<n; j++) //从i下一个数开始检查
{
if(array[min]>array[j])
{
min=j;
}
}
if(min!=i)
{
k=array[min];
array[min]=array[i];
array[i]=k;
}
}
}3 直接插入排序
3.1 过程
插入排序从小到大排序：首先位置1上的数和位置0上的数进行比较，如果位置1上的数大于位置0上的数，将位置0上的数向后移一位，将1插入到0位置，否则不处理。位置k上的数和之前的数依次进行比较，如果位置K上的数更大，将之前的数向后移位，最后将位置k上的数插入不满足条件点，反之不处理。
3.2 动图
3.3 核心代码（函数）
//array[]为待排序数组，n为数组长度
void insertSort(int array[], int n)
{
int i,j,temp;
for( i=1;i<n;i++)
{
if(array[i]<array[i-1])
{
temp=array[i];
for( j=i;array[j-1]>temp;j--)
{
array[j]=array[j-1];
}
array[j]=temp;
}
}
}4 快速排序
4.1 过程
快速排序从小到大排序：在数组中随机选一个数（默认数组首个元素），数组中小于等于此数的放在左边部分，大于此数的放在右边部分，这个操作确保了这个数是处于正确位置的，再对左边部分数组和右边部分数组递归调用快速排序，重复这个过程。
4.2 动图
4.3 核心代码（函数）
void quicksort(int a[], int left, int right) {
int i, j, t, privotkey;
if (left > right) //（递归过程先写结束条件）
return;
privotkey = a[left]; //temp中存的就是基准数（枢轴）
i = left;
j = right;
while (i < j) {
//顺序很重要，要先从右边开始找（最后交换基准时换过去的数要保证比基准小，因为基准选取数组第一个数）
while (a[j] >= privotkey && i < j) {
j--;
}
a[i] = a[j];
//再找左边的
while (a[i] <= privotkey && i < j) {
i++;
}
a[j] = a[i];
}
//最终将基准数归位
a[i] = privotkey;
quicksort(a, left, i - 1);//继续处理左边的，这里是一个递归的过程
quicksort(a, i + 1, right);//继续处理右边的 ，这里是一个递归的过程
}5 堆排序
5.1 过程
堆排序从小到大排序：首先将数组元素建成大小为n的大顶堆，堆顶（数组第一个元素）是所有元素中的最大值，将堆顶元素和数组最后一个元素进行交换，再将除了最后一个数的n-1个元素 建立成大顶堆，再将最大元素和数组倒数第二个元素进行交换，重复直至堆大小减为1。
-
注：完全二叉树
假设二叉树深度为n，除了第n层外，n-1层节点都有两个孩子，第n层节点连续从左到右。如下图
-
注：大顶堆
大顶堆是具有以下性质的完全二叉树：每个节点的值都大于或等于其左右孩子节点的值。
即，根节点是堆中最大的值，按照层序遍历给节点从1开始编号，则节点之间满足如下关系：
(1<=i<=n/2)
5.2 动图
5.3 核心代码（函数）
void heapSort(int array[], int n)
{
int i;
for (i=n/2;i>0;i--)
{
HeapAdjust(array,i,n);//从下向上，从右向左调整
}
for( i=n;i>1;i--)
{
swap(array, 1, i);
HeapAdjust(array, 1, i-1);//从上到下，从左向右调整
}
}
void HeapAdjust(int array[], int s, int n )
{
int i,temp;
temp = array[s];
for(i=2*s;i<=n;i*=2)
{
if(i<n&&array[i]<array[i+1])
{
i++;
}
if(temp>=array[i])
{
break;
}
array[s]=array[i];
s=i;
}
array[s]=temp;
}
void swap(int array[], int i, int j)
{
int temp;
temp=array[i];
array[i]=array[j];
array[j]=temp;
}6 希尔排序
6.1 过程
希尔排序是插入排序改良的算法，希尔排序步长从大到小调整，第一次循环后面元素逐个和前面元素按间隔步长进行比较并交换，直至步长为1，步长选择是关键。
6.2 动图
6.3 核心程序（函数）
//下面是插入排序
void InsertSort( int array[], int n)
{
int i,j,temp;
for( i=0;i<n;i++ )
{
if(array[i]<array[i-1])
{
temp=array[i];
for( j=i-1;array[j]>temp;j--)
{
array[j+1]=array[j];
}
array[j+1]=temp;
}
}
}
//在插入排序基础上修改得到希尔排序
void SheelSort( int array[], int n)
{
int i,j,temp;
int gap=n; //~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
do{
gap=gap/3+1; //~~~~~~~~~~~~~~~~~~
for( i=gap;i<n;i++ )
{
if(array[i]<array[i-gap])
{
temp=array[i];
for( j=i-gap;array[j]>temp;j-=gap)
{
array[j+gap]=array[j];
}
array[j+gap]=temp;
}
}
}while(gap>1); //~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
}7 归并排序
7.1 过程
归并排序从小到大排序：首先让数组中的每一个数单独成为长度为1的区间，然后两两一组有序合并，得到长度为2的有序区间，依次进行，直到合成整个区间。
7.2 动图
7.3 核心代码（函数）
递归实现
实现归并，并把数据都放在list1里面
void merging(int *list1, int list1_size, int *list2, int list2_size)
{
int i=0, j=0, k=0, m=0;
int temp[MAXSIZE];
while(i < list1_size && j < list2_size)
{
if(list1[i]<list2[j])
{
temp[k++] = list1[i++];
}
else
{
temp[k++] = list2[j++];
}
}
while(i<list1_size)
{
temp[k++] = list1[i++];
}
while(j<list2_size)
{
temp[k++] = list2[j++];
}
for(m=0; m < (list1_size+list2_size); m++)
{
list1[m]=temp[m];
}
}
//如果有剩下的，那么说明就是它是比前面的数组都大的，直接加入就可以了
void mergeSort(int array[], int n)
{
if(n>1)
{
int *list1 = array;
int list1_size = n/2;
int *list2 = array + n/2;
int list2_size = n-list1_size;
mergeSort(list1, list1_size);
mergeSort(list2, list2_size);
merging(list1, list1_size, list2, list2_size);
}
}
//归并排序复杂度分析：一趟归并需要将待排序列中的所有记录
//扫描一遍，因此耗费时间为O(n),而由完全二叉树的深度可知，
//整个归并排序需要进行[log2n],因此，总的时间复杂度为
//O(nlogn),而且这是归并排序算法中平均的时间性能
//空间复杂度：由于归并过程中需要与原始记录序列同样数量级的
//存储空间去存放归并结果及递归深度为log2N的栈空间，因此空间
//复杂度为O(n+logN)
//也就是说，归并排序是一种比较占内存，但却效率高且稳定的算法
迭代实现
void MergeSort(int k[],int n)
{
int i,next,left_min,left_max,right_min,right_max;
//动态申请一个与原来数组一样大小的空间用来存储
int *temp = (int *)malloc(n * sizeof(int));
//逐级上升，第一次比较2个，第二次比较4个，第三次比较8个。。。
for(i=1; i<n; i*=2)
{
//每次都从0开始，数组的头元素开始
for(left_min=0; left_min<n-i; left_min = right_max)
{
right_min = left_max = left_min + i;
right_max = left_max + i;
//右边的下标最大值只能为n
if(right_max>n)
{
right_max = n;
}
//next是用来标志temp数组下标的，由于每次数据都有返回到K，
//故每次开始得重新置零
next = 0;
//如果左边的数据还没达到分割线且右边的数组没到达分割线，开始循环
while(left_min<left_max&&right_min<right_max)
{
if(k[left_min] < k[right_min])
{
temp[next++] = k[left_min++];
}
else
{
temp[next++] = k[right_min++];
}
}
//上面循环结束的条件有两个，如果是左边的游标尚未到达，那么需要把
//数组接回去，可能会有疑问，那如果右边的没到达呢，其实模拟一下就可以
//知道，如果右边没到达，那么说明右边的数据比较大，这时也就不用移动位置了
while(left_min < left_max)
{
//如果left_min小于left_max，说明现在左边的数据比较大
//直接把它们接到数组的min之前就行
k[--right_min] = k[--left_max];
}
while(next>0)
{
//把排好序的那部分数组返回该k
k[--right_min] = temp[--next];
}
}
}
}
//非递归的方法，避免了递归时深度为log2N的栈空间，
//空间只是用到归并临时申请的跟原来数组一样大小的空间，并且在时间性能上也有一定的提升，
//因此，使用归并排序是，尽量考虑用非递归的方法。8 桶排序（基数排序和基数排序的思想）
8.1 过程
桶排序是计数排序的变种，把计数排序中相邻的m个”小桶”放到一个”大桶”中，在分完桶后，对每个桶进行排序（一般用快排），然后合并成最后的结果。
8.2 图解
8.3 核心程序
#include <stdio.h>
int main()
{
int a[11],i,j,t;
for(i=0;i<=10;i++)
a[i]=0; //初始化为0
for(i=1;i<=5;i++) //循环读入5个数
{
scanf("%d",&t); //把每一个数读到变量t中
a[t]++; //进行计数(核心行)
}
for(i=0;i<=10;i++) //依次判断a[0]~a[10]
for(j=1;j<=a[i];j++) //出现了几次就打印几次
printf("%d ",i);
getchar();getchar();
//这里的getchar();用来暂停程序，以便查看程序输出的内容
//也可以用system("pause");等来代替
return 0;
}9 计数排序
9.1 过程
算法的步骤如下：
- 找出待排序的数组中最大和最小的元素
- 统计数组中每个值为i的元素出现的次数，存入数组C的第i项
- 对所有的计数累加（从C中的第一个元素开始，每一项和前一项相加）
- 反向填充目标数组：将每个元素i放在新数组的第C(i)项，每放一个元素就将C(i)减去1
9.2 图解
9.3 核心程序（函数）
程序1：
#define NUM_RANGE (100) //预定义数据范围上限，即K的值
void counting_sort(int *ini_arr, int *sorted_arr, int n) //所需空间为 2*n+k
{
int *count_arr = (int *)malloc(sizeof(int) * NUM_RANGE);
int i, j, k;
//初始化统计数组元素为值为零
for(k=0; k<NUM_RANGE; k++){
count_arr[k] = 0;
}
//统计数组中，每个元素出现的次数
for(i=0; i<n; i++){
count_arr[ini_arr[i]]++;
}
//统计数组计数，每项存前N项和，这实质为排序过程
for(k=1; k<NUM_RANGE; k++){
count_arr[k] += count_arr[k-1];
}
//将计数排序结果转化为数组元素的真实排序结果
for(j=n-1 ; j>=0; j--){
int elem = ini_arr[j]; //取待排序元素
int index = count_arr[elem]-1; //待排序元素在有序数组中的序号
sorted_arr[index] = elem; //将待排序元素存入结果数组中
count_arr[elem]--; //修正排序结果，其实是针对算得元素的修正
}
free(count_arr);
}
程序2：C++(最大最小压缩桶数)
public static void countSort(int[] arr) {
if (arr == null || arr.length < 2) {
return;
}
int min = arr[0];
int max = arr[0];
for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
min = Math.min(arr[i], min);
max = Math.max(arr[i], max);
}
int[] countArr = new int[max - min + 1];
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
countArr[arr[i] - min]++;
}
int index = 0;
for (int i = 0; i < countArr.length; i++) {
while (countArr[i]-- > 0) {
arr[index++] = i + min;
}
}10 基数排序
10.1 过程
基数排序是基于数据位数的一种排序算法。
它有两种算法
①LSD–Least Significant Digit first 从低位（个位）向高位排。
②MSD– Most Significant Digit first 从高位向低位（个位）排。
时间复杂度O(N*最大位数)。
空间复杂度O(N)。
10.2 图解
对a[n]按照个位0~9进行桶排序： 
对b[n]进行累加得到c[n]，用于b[n]中重复元素计数
！！！b[n]中的元素为temp中的位置！！！跳跃的用++补上： 
temp数组为排序后的数组，写回a[n]。temp为按顺序倒出桶中的数据（联合b[n],c[n],a[n]得到），重复元素按顺序输出： 
10.3 核心程序
//基数排序
//LSD 先以低位排，再以高位排
//MSD 先以高位排，再以低位排
void LSDSort(int *a, int n)
{
assert(a); //判断a是否为空，也可以a为空||n<2返回
int digit = 0; //最大位数初始化
for (int i = 0; i < n; ++i)
{ //求最大位数
while (a[i] > (pow(10,digit))) //pow函数要包含头文件math.h，pow(10,digit)=10^digit
{
digit++;
}
}
int flag = 1; //位数
for (int j = 1; j <= digit; ++j)
{
//建立数组统计每个位出现数据次数（Digit[n]为桶排序b[n]）
int Digit[10] = { 0 };
for (int i = 0; i < n; ++i)
{
Digit[(a[i] / flag)%10]++; //flag=1时为按个位桶排序
}
//建立数组统计起始下标（BeginIndex[n]为个数累加c[n]，用于记录重复元素位置
//flag=1时，下标代表个位数值，数值代表位置，跳跃代表重复）
int BeginIndex[10] = { 0 };
for (int i = 1; i < 10; ++i)
{
//累加个数
BeginIndex[i] = BeginIndex[i - 1] + Digit[i - 1];
}
//建立辅助空间进行排序
//下面两条可以用calloc函数实现
int *tmp = new int[n];
memset(tmp, 0, sizeof(int)*n);//初始化
//联合各数组求排序后的位置存在temp中
for (int i = 0; i < n; ++i)
{
int index = (a[i] / flag)%10; //桶排序和位置数组中的下标
//计算temp相应位置对应a[i]中的元素，++为BeginIndex数组数值加1
//跳跃间隔用++来补，先用再++
tmp[BeginIndex[index]++] = a[i];
}
//将数据重新写回原空间
for (int i = 0; i < n; ++i)
{
a[i] = tmp[i];
}
flag = flag * 10;
delete[] tmp;
}
} 推荐一个非常好的算法可视化演示的网站：https://visualgo.net/zh
上文指出三种算法的性能差异：在数据量小的时候快速排序当属第一，堆排序最差，但随着数据的不断增大归并排序的性能会逐步赶上并超过快速排序，性能成为三种算法之首。可能在数据量大到一定数量时，快速排序的堆栈开销比较大，所以在性能上大打折扣，甚至堆排序的性能也能好过它，但总体上来说快速排序表现的还是比较优秀的。
旨在为数千万中国开发者提供一个无缝且高效的云端环境，以支持学习、使用和贡献开源项目。
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