第六章

1.最少用几位二进制数即可表示任一五位长的十进制正整数?

答:
五位长的十进制正整数中，最大的数99999满足条件:$2^{16}(=65536)<99999<2^{17}(=131072)$，故最少用17位二进制数即可表示任一五位长的十进制正整数。

2.已知$X=0.a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6(a_i为0或1)$，讨论下列几种情况时$a_i$各取何值。

$(1)X>\frac{1}{2};(2)X\ge \frac{1}{8};(3)\frac{1}{4}\ge X>\frac{1}{16}$
答:
$$\begin{gathered} (1)若要X>1/2，只要a_1=1，a_2\backsim a_6不全为0即可(a_{2}or{a}_{3}or{a}_{4}or{a}_{5}or{a}_6=1); \\ (2)若要X\ge 1/8，只要a_1\backsim a_3不全为0即可(a_{1}or{a}_{2}or{a}_3=1)，a_4\backsim a_6可任取0或1; \\ (3)若要1/4\ge X>1/16，只要a_1=0，a_2可任取0或1; \\ 当a_2=0时，若a_3=0，则必须a_4=1，且a_5、a_6不全为0(a_{5}or{a}_6=1);若a_3=1，则a_4\backsim a_6可任取0或1; \\ 当a_2=1时，a_3\backsim a_6取0。 \end{gathered}$$

3.设x为整数，$[x{]}_{补}=1，x_{₁}{x}_{₂}{x}_3{x}_4{x}_5$，若要求$x<-16$，试问$x_1\backsim x_5$应取何值?

答:
$若要x<-16，需x_1=0，x_2\backsim x_5任意。$
(注:负数绝对值大的反而小。)

4.设机器数字长为8位(含1位符号位在内)，写出对应下列各真值的原码、补码和反码。

$-\frac{13}{64}，\frac{29}{128}，100，-87$
答:
真值与不同机器码对应关系如下:

真值（十进制）	真值（二进制）	原码	反码	补码
-13/64	-0.00 1101	1.001 1010	1.110 0101	1.110 0110
29/128	0.001 1101	0.001 1101	0.001 1101	0.001 1101
100	110 0100	0,110 0100	0,110 0100	0,110 0100
-87	-101 0111	1,101 0111	1,010 1000	1,010 1001

5.已知$[x{]}_{补}$，求$[x{]}_{原}$和$x$。

$[x{]}_{补}=1.1100；[x{]}_{补}=1.1001；[x{]}_{补}=0.1110；[x{]}_{补}=1.0000；$
$[x{]}_{补}=1,0101；[x{]}_{补}=1,1100；[x{]}_{补}=0,0111；[x{]}_{补}=1,0000。$
答:
$[x{]}_{补}$、$[x{]}_{原}$和$x$的对应关系如下：

$[x{]}_{补}$	$[x{]}_{原}$	$x$(二进制)	$x$(十进制)
1.1100	1.0100	-0.0100	-1/4
1.1001	1.0111	-0.0111	-7/16
0.1110	0.1110	+0.1110	+7/8
1.0000	无	-1.0000	-1
1,0101	1,1011	-1011	-11
1,1100	1,0100	-0100	-4
0,0111	0,0111	+0111	+7
1,0000	无	-10000	-16

6.设机器数字长为8位(含1位符号位在内)，分整数和小数两种情况讨论真值x为何值时，$[x{]}_{补}=[x{]}_{原}$成立。

答:
$$\begin{gathered} 当x为小数时， \\ 若x\ge 0，则[x{]}_{补}=[x{]}_{原}成立； \\ 当x<0，则当x=-1/2时，[x{]}_{补}=[x{]}_{原}成立。 \\ 当x为整数时， \\ 若x\ge 0，则[x{]}_{补}=[x{]}_{原}成立； \\ 当x<0，则当x=-64时，[x{]}_{补}=[x{]}_{原}成立。 \end{gathered}$$

7.设$x$为真值，$x^{\ast }$为绝对值，说明$[-x^{\ast }{]}_{补}=[-x{]}_{补}$能否成立。

答：
$当x为真值，x^{\ast }为绝对值时，[-x^{\ast }{]}_{补}=[-x{]}_{补}不能成立。$
$[-x^{\ast }{]}_{补}=[-x{]}_{补}的结论只有在x>0时成立。$
$当x<0时，由于[-x^{\ast }{]}_{补}是一个负值，而[-x{]}_{补}是一个正值，因此此时[-x^{\ast }{]}_{补}不等于[-x{]}_{补}。$

8.讨论$[x{]}_{补}>[y{]}_{补}$,是否有$x>y$？

答:
$若[x{]}_{补}>[y{]}_{补}，不一定有x>y。$
$[x{]}_{补}>[y{]}_{补}时，x>y的结论只在x>0、y>0，以及x<0、y<0时成立。$
$当时x>0、y<0，有x>y，但由于负数补码的符号位为1，则[x{]}_{补}<[y{]}_{补}。$
$同样，当时x<0、y>0，有x<y，但[x{]}_{补}>[y{]}_{补}。$
注意：
（1）绝对值小的负数其值反而大，且负数的绝对值越小，其补码值越大。因此，当x<0、y<0时，若$[x{]}_{补}>[y{]}_{补}$，必有x>y 。
（2）补码的符号位和数值位为一体，不可分开分析。
（3）完整的答案应分四种情况分析，但也可通过充分分析一种不成立的情况获得正确答案。
（4）由于补码0的符号位为0，因此x、y=0可归纳到>0的一类情况讨论。

9.当十六进制数9B和FF分别表示为原码、补码、反码、移码和无符号数时，所对应的十进制数各为多少（设机器数采用一位符号位）？

答：
真值和机器数的对应关系如下：

十六进制	真值	无符号数	原码	反码	补码	移码
9BH	二进制	1001 1011	1,001 1011	1,110 0100	1,110 0101	0,001 1011
9BH	十进制	155	-27	-100	-101	27
FFH	二进制	1111 1111	1,111 1111	1,000 0000	1,000 0001	0,111 1111
FFH	十进制	255	-127	-0	-1	127

注意：
（1）9BH、FFH为机器数，本身含符号位。
（2）移码符号位与原、补、反码相反，数值同补码。

10.在整数定点机中，设机器数采用一位符号位，写出$\pm 0$的原码、补码、反码和移码，得出什么结论？

答：
0的机器数形式如下：

真值	原码	补码	反码	移码
+0	0，00…0	0，00…0	0，00…0	1，00…0
-0	1，00…0	0，00…0	1，11…1	1，00…0

结论：补、移码0的表示不唯一，原、反码不唯一。

11.已知机器数字长为4位（其中1位为符号位），写出整数定点机和小数定点机中原码、补码和反码的全部形式，并注明其对应的十进制真值。

答：
机器数与对应的真是形式如下：

	真值（二进制）	真值（十进制）	原码	反码	补码
整数	+111	+7	0,111	0,111	0,111
整数	+110	+6	0,110	0,110	0,110
整数	+101	+5	0,101	0,101	0,101
整数	+100	+4	0,100	0,100	0,100
整数	+011	+3	0,011	0,011	0,011
整数	+010	+2	0,010	0,010	0,010
整数	+001	+1	0,001	0,001	0,001
整数	+000	+0	0,000	0,000	0,000
整数	-1000	-8	无	无	1,000
整数	-111	-7	1,111	1,000	1,001
整数	-110	-6	1,110	1,001	1,010
整数	-101	-5	1,101	1,010	1,011
整数	-100	-4	1,100	1,011	1,100
整数	-011	-3	1,011	1,100	1,101
整数	-010	-2	1,010	1,101	1,110
整数	-001	-1	1,001	1,110	1,111
整数	-000	-0	1,000	1,111	0,000
小数	+0.111	+7/8	0.111	0.111	0.111
小数	+0.110	+6/8	0.110	0.110	0.110
小数	+0.101	+5/8	0.101	0.101	0.101
小数	+0.100	+4/8	0.100	0.100	0.100
小数	+0.011	+3/8	0.011	0.011	0.011
小数	+0.010	+2/8	0.010	0.010	0.010
小数	+0.001	+1/8	0.001	0.001	0.001
小数	+0.000	+0	0.000	0.000	0.000
小数	-1.000	-1	无	无	1.000
小数	-0.111	-7/8	1.111	1.000	1.001
小数	-0.110	-6/8	1.110	1.001	1.010
小数	-0.101	-5/8	1.101	1.010	1.011
小数	-0.100	-4/8	1.100	1.011	1.100
小数	-0.011	-3/8	1.011	1.100	1.101
小数	-0.010	-2/8	1.010	1.101	1.110
小数	-0.001	-1/8	1.001	1.110	1.111
小数	-0.000	-0	1.000	1.111	0.000

12.设浮点数格式为：阶码5位（含1位阶符），尾数11位（含1位数符）。写出51/128、-27/1024、7.375、-86.5所对应的机器数。要求如下：

（1）阶码和尾数均为原码；
（2）阶码和尾数均为补码；
（3）阶码为移码，尾数为补码。
答:
据题意画出该浮点数的格式：

注意：1）正数补码不“取反+1” 。 2）机器数末位为0的不能省。
将十进制数转换为二进制：
$$\begin{gathered} x_1=51/128=(0.0110011{)}_2=2^{-1}\times (0.110011{)}_2 \\ {x}_2=-27/1027=(-0.0000011011{)}_2=2^{-5}\times (-0.11011{)}_2 \\ {x}_3=7.375=(111.011{)}_2=2^3\times (0.111011{)}_2 \\ {x}_4=-86.5=(-1010110.1{)}_2=2^7\times (-0.10101101{)}_2 \end{gathered}$$
则以上各数的浮点规格化数为：
(1)
$[x_1{]}_{浮}=1,0001；0.1100110000$
$[x_2{]}_{浮}=1,0101；1.1101100000$
$[x_3{]}_{浮}=0,0011；0.1110110000$
$[x_4{]}_{浮}=0,0111；1.1010110100$
(2)
$[x_1{]}_{浮}=1,1111；0.1100110000$
$[x_2{]}_{浮}=1,1011；1.0010100000$
$[x_3{]}_{浮}=0,0011；0.1110110000$
$[x_4{]}_{浮}=0,0111；1.0101001100$
(3)
$[x_1{]}_{浮}=0,1111；0.1100110000$
$[x_2{]}_{浮}=0,1011；1.0010100000$
$[x_3{]}_{浮}=1,0011；0.1110110000$
$[x_4{]}_{浮}=1,0111；1.0101001100$

13.浮点数格式同上题，当阶码基值分别取2和16时，

(1)说明2和16在浮点数中如何表示。
(2)基值不同对浮点数什么有影响?
(3)当阶码和尾数均用补码表示，且尾数采用规格化形式，给出两种情况下所能表示的最大正数和非零最小正数真值。
答:
(1)阶码基值不论取何值，在浮点数中均为隐含表示，即:2和16不出现在浮点格式中，仅为人为的约定。

(2)当基值不同时，对数的表示范围和精度都有影响。即:在浮点格式不变的情况下，基越大，可表示的浮点数范围越大，但精度越下降。

(3)r=2时，最大正数的浮点格式为:0,1111；0.111 111 111 1
其真值为:$N_{+max}=2^{15}\times (1-2^{-10})$
非零最小规格化正数浮点格式为:1,0000；0.100 000 000 0
其真值为:$N_{+min}=2^{-16}\times 2^{-1}=2^{-17}$
r=16时，最大正数的浮点格式为:0,1111；0.1111 1111 11
其真值为:$N_{+max}=16^{15}\times (1-2^{-10})$
非零最小规格化正数浮点格式为:1,0000；0.0001 0000 00
其真值为:$N_{+min}=16^{-16}\times 16^{-1}=16^{-17}$

14.设浮点数字长为32位，欲表示$\pm 6$万间的十进制数，在保证数的最大精度条件下，除阶符、数符各取一位外，阶码和尾数各取几位?按这样分配，该浮点数溢出的条件是什么?

答:
若要保证数的最大精度，应取阶的基=2。
若要表示$\pm 6$万间的十进制数，由于$32768(2^{15})<6万<65536(2^{16})$，则:阶码除阶符外还应取5位(向上取2的幂)。
故:尾数位数=32-1-1-5=25位
按此格式，该浮点数上溢的条件为:阶码$\ge 32$该浮点数格式如下:

15.什么是机器零?若要求全0表示机器零，浮点数的阶码和尾数应采取什么机器数形式?

答:
机器零指机器数所表示的零的形式，它与真值零的区别是:机器零在数轴上表示为“0”点及其附近的一段区域，即在计算机中小到机器数的精度达不到的数均视为“机器零”，而真零对应数轴上的一点(0点)。若要求用“全0”表示浮点机器零，则浮点数的阶码应用移码、尾数用补码表示(此时阶码为最小阶、尾数为零，而移码的最小码值正好为“0”，补码的零的形式也为“0”，拼起来正好为一串0的形式)。

16.设机器数字长为16位，写出下列各种情况下它能表示的数的范围。设机器数采用一位符号位，答案均用十进制表示。

(1)无符号数;
(2)原码表示的定点小数;
(3)补码表示的定点小数;
(4)补码表示的定点整数;
(5)原码表示的定点整数;
(6)浮点数的格式为:阶码6位(含1位阶符)，尾数10位(含1位数符)。分别写出正数和负数的表示范围;
(注:加条件:阶原尾原非规格化数。)
(7)浮点数格式同(6)，机器数采用补码规格化形式，分别写出其对应的正数和负数的真值范围。
答:
各种表示方法数据范围如下:
(1)无符号整数:$0\backsim 2^{16}-1$，即:$0\backsim 65535$;

(2)原码定点小数:$-(1-2^{-15})\backsim 1-2^{-15}$

(3)补码定点小数:$-1\backsim 1-2^{-15}$

(4)补码定点整数:$-2^{15}\backsim 2^{15}-1$，即:$-32767\backsim 32768$;

(5)原码定点整数:$-(2^{15}-1)\backsim 2^{15}-1$,即:$-32767\backsim 32767$;

(6)据题意画出该浮点数格式:

由于题意中未指定该浮点数所采用的码制，则不同的假设前提会导致不同的答案，示意如下:
1)当采用阶原尾原非规格化数时，最大正数=0,11 111；0.111 111 111最小正数=1,11 111；0.000 000 001
则正数表示范围为:$2^{31}\times (1-2^{-9})\backsim 2^{-31}\times 2^{-9}$
最大负数=1,11 111；1.000 000 001
最小负数=0,11 111； 1.111 111 111
则负数表示范围为:$2^{-31}\times (-2^{-9})\backsim -2^{31}\times (1-2^{-9})$
2)当采用阶移尾原非规格化数时，
正数表示范围为:
$2^{31}\times (1-2^{-9})\backsim 2^{-32}\times 2^{-9}$
负数表示范围为:
$2^{-32}\times (-2^{-9})\backsim -2^{31}\times (1-2^{-9})$
注:零视为中性数，不在此范围内。

(7)当机器数采用补码规格化形式时，若不考虑隐藏位，则
最大正数=0,11 111；0.111 111 111
最小正数=1,00 000；0.100 000 000
其对应的正数真值范围为:$2^{31}\times (1-2^{-9})\backsim 2^{-32}\times 2^{-1}$
最大负数=1,00 000；1.011 111 111
最小负数=0,11 111；1.000 000 000
其对应的负数真值范围为:$-2^{-32}\times (2^{-1}+2^{-9})\backsim 2^{31}\times (-1)$
注意:
1)应写出可表示范围的上、下限精确值(用$\ge 或\le$，不要用>或<)。
2)应用十进制2的幂形式分阶、尾两部分表示，这样可反映出浮点数的格式特点。括号不要乘开，不要用十进制小数表示，不直观、不精确且无意义。
3)原码正、负域对称，补码正、负域不对称，浮点数阶、尾也如此。特别要注意浮点负数补码规格化范围。(满足条件:$数符\oplus MSB位=1$)